集合知識點總結(jié)材料及習題講課稿

1、學習資料學習資料僅供學習與參考僅供學習與參考學習資料學習資料僅供學習與參考僅供學習與參考集合集合與集合(1元素與集合的關(guān)系：屬于(2)(4)集合)和不屬于()集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性集合的分類：按集合中元素的個數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集集合的表示方法：列舉法、描述法(自然語言描述、特征性質(zhì)描述)、圖示法、區(qū)間法 子集：若x A x B,則A B,即A昆B的子集。1、若集合A中有n4元素，則集合A勺子集有2n個，真子集有(2n-1)個。關(guān)系件2、任何一個集合是它本身的子集，即3、對于集合A,B,C,如果A B,且B4、空集是任何集合的(真)子集。A AC,那么A C.運算真

2、子集：若A集合相等：A交集并集B且A B(即至少存在x0B但x0則A是B的真子集。定義:性質(zhì):定義:性質(zhì):Card(A定義:B)x/xAM xA, Ax/xA2 或 x| x-32適用：一般元素較多的有限集合或無限集合用描述法表示注意：常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N=0,1,2,3，正整數(shù)集 N*或N+ = 1,2,3 ,整數(shù)集 Z ，-3 , -2, -1 , 0,1,2,3 ,有理數(shù)集Q實數(shù)集 R有時，集合還用語言描述法和 Venn圖法表示例如：語言描述法： 不是直角三角形的三角形Venn 圖 :4、集合的分類：有限集含有有限個元素的集合無限集含有無限個元素的集合（3

3、）空集不含任何元素的集合例：x C R|x2= 5二、集合間的基本關(guān)系. “包含”關(guān)系子集定義：若對任意的xCA,都有xCB,則稱集合A是集合B的子集，記為 A B （或 B A）注意：A B有兩種可能（1） A是B的一部分，；（2） A與B是同一集合。符號C與的區(qū)別反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A. “相等”關(guān)系：A=B定義：如果A B同時B A那么A=B實例：設A=x|x 2-1=0 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等”.真子集：如果A B,且存在元素xCB/x A,那么就說集合A是集合B的真子集，記作A學B（或BA）.性質(zhì)任何一個集合是它本身的子集。

4、A A如果A B, B C ,那么A C如果A B同時B A那么A=B.不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集o有n個元素的集合，含有2n個子集，2n1個真子集 三、集合的運算運算交集并集補 集舊定由所有屬于A且屬于B的兀由所有屬于集合 A或?qū)僭OS是一個集合，A是S的一個子集，義素所組成的集合，叫做A,B于集合B的元素所組成由S中所用A的兀素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）的交集.記作A B （讀作的集合，叫做A,B的并記作CSA,即A 交 B),即 A B=集.記作：A B （讀作x|x A,且 x B.A 并 B),即 A BCSA

5、=x|x S,且x A=x|xA,或 x B).韋恩 圖A_3o，二N B示圖1圖2A A=AA A=A(CuA)(CuB) = C u (A B)性A 二A 二人(CuA)(CuB) = C u(AB)A B=B AA B=B A質(zhì)ABAABAA (CuA尸U A(CuA尸.ABBABBA B A B=AA B A B=B第一章：集合與函數(shù)的概念學習資料學習資料僅供學習與參考僅供學習與參考僅供學習與參考僅供學習與參考學習資料第一課時：集合集合的含義與表示集合的含義：我們一般把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱集。通常用大寫字母A B、C等表示集合，用小寫字母 a、b、c等

6、表示元素，元素與集合之間的關(guān)系是屬于和不屬于。 元素a屬于集合A,記做aCA,反之，元素a不屬于集合A,記做a A集合中的元素的特征：確定性：如世界上最高的山；互異性：由HAPPY勺字母組成的集合H,A,P,Y;無序性：如集合a、b、c和集合b、a、c是同一個集合。1.1.3集合的表示方法：列舉法；描述法； Venn圖；用數(shù)軸表示集合。常用數(shù)集及記法有非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集NN+或 N*ZQR集合的分類：根據(jù)集合中元素的個數(shù)可分為有限集、無限集和空集。根據(jù)集合中元素的屬性可分為數(shù)集、點集、序數(shù)對等。本節(jié)精講：三.有關(guān)集合中元素的性質(zhì)的問題：集合中的元素有三個性質(zhì)：

7、分別是確定性互異性無序性例：集合A是由元素n2-n , n-1和1組成的，其中nC Z,求n的取值范圍。解：n是不等于1且不等于2的整數(shù)。練習：.已知集合 M=a,a+d,a+2d,N=a,aq,aq2,a w 0,且M與N中的元素完全相同，求 d和q的值。.已知集合 A=x, y,1,B=x 2,x+y,0,若 A=B,貝U x2009+y2010的值為, A=B= . (1)若-3 C a-3,2a-1,a 2-4求實數(shù) a 的值；(2)若 1一m C m,求實數(shù) m的值。1 m.已知集合 M=2, a,b,N=2a2b 2,且 M=N求 a,b 的值。.已知集合 A=x|ax 2+2x+

8、1=0,a R, (1)若A中只有一個元素，求 a的值；(2)若A中至多有一個元素，求 a的取值范圍。四.集合的表示法：三種表示方法練習；.用列舉法表示下列集合。方程Jx 2+y2=2d的解集為 ;x-y=0 | 集合A=y|y=x 2-1,|x| w 2,x e Z用列舉法表示為 ；(3)集合B=8 s Z|x N用列舉法表示為 ;x(4)集合C=x|= 回+回，a, b是非零實數(shù)用列舉法表示為 ; a b.用描述法表示下列集合。(1)大于2的整數(shù)a的集合；八一一1(2)使函數(shù) y=有息義白勺頭數(shù) x的集合；x x 1 x 1(3) 1、22、32、42、3.用Venn圖法表示下列集合及他們

9、之間的關(guān)系：(1) A=四邊形, B=梯形, C=平行四邊形, D=菱形, E=矩形,F=正方形;(2)某班共30人，其中15人喜歡籃球，10人喜歡兵乓球，8人對這兩項運動都不喜歡，則喜歡籃球但不喜歡乒乓球的人數(shù)為 ,用Venn圖表示為：。.有關(guān)集合的分類：.集合概念的綜合問題：練習3 t.若t ,則t的值為 ;t.設集合 A=y|y=x 2+ax+1, x R,B=(x,y)|y= x2+ax+1, x CR ,試求當參數(shù) a=2 時的集合 A 和 B;.已知集合A=x|ax 2-3x+2=0,a C R,求(1)若集合A為空集，則a的取值范圍；(2)若集合A中只有個元素，求a的值，并寫出集

10、合 A; (3)若集合A中至少有一個元素，則 a的取值范圍。1.1課后作業(yè)：.判斷下列各組對象能否組成集合：(1)不等式3x 2 0的整數(shù)解的全體;(2)我班中身高較高的同學；(3)直線y 2x 1上所有的點；學習資料(4)不大于10且不小于1的奇數(shù)。.用符號或填空：(1) 2 N 2_Q(3) 0 0(4)b a,b,c(5) 0 N*(6)2屈 xx TH22(7)3 x x n1,n N (8)1,1 yyx(9)1,1 x, y y x2.寫出下列集合中的元素(并用列舉法表示)：(1)既是素數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)組成的集合(2)大于10而小于20的合數(shù)組成的集合.用適當?shù)姆椒ū硎荆?x +

11、1)2=0 的解集；、， x y 1 (2)方程組 y 的解集；x y 0(3)方程3x2y + 1 = 0的解集；(4)不等式2x- 10的解集；(5)奇數(shù)集；(6)被5除余1的自然數(shù)組成的集合。5.集合1 , a2中a的取值范圍。1.2集合間的基本關(guān)系子集：一般地，兩個集合A和B,如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記做 A B (或B A),讀作“ A包含于B”(或 B包含A )。如右圖示。比如說，集合 A=1、2、3,集合B=1、2、3、4、5,那么，集合 A 中的元素1、2、3都屬于集合B,所以，集合 A為集合B的子集，

12、記做A B (或B A)。集合相等：如果集合 A B且B A時，集合A中的元素與集合 B中的元素是一樣的，因此，集合 A 與集合B相等，記做A=R或A=Bo真子集：如果集合 AB，但存在元素x B,且x A,我們稱集合A是集合B的真子集。記作：aSb (或BA) 也可記作：A B (或B A)空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記做，并規(guī)定：空集是任何非空集合的子集(當然是真子集)本節(jié)精講：一.集合間的包含與相等的問題：對于集合相等，我們要從以下三個方面入手： 若集合A B且B A時，則A=B;反之，如果 A=B,則集合A B且B A。這就給出了我們證明兩個集 合相等的方法，即欲要證明A=

13、B,只需要證明 A B和B A都成立就行了。兩個集合相等，則所含元素完全相同，與集合中元素的順序無關(guān)。要判斷兩個集合是否相等，對于元素較少的有限集合，可以用列舉法將元素列舉出來，看看兩個集合中 的元素是否完全相同；若是無限集合，則因從“互為子集”兩個方面入手。學習資料學習資料僅供學習與參考僅供學習與參考學習資料學習資料僅供學習與參考僅供學習與參考例：若集合A x|x a , B x|2x 5 0,且滿足A B,求實數(shù)a的取值范圍.解：練習：.已知A x|x2 px q 0, B x|x2 3x 2 0且A B,求實數(shù)p、q所滿足的條件. TOC o 1-5 h z .若1,2 x|x2 bx

14、c 0,則().A.b3, c2B.b3, c2C.b2, c3D.b2, c33.已知集合 P= x|x2+x 6 = 0與集合 Q= x|ax+1=0,滿足 Qw P,求a的取值組成的集合 A。 二.有關(guān)子集以及子集個數(shù)的問題：例1 :判定以下關(guān)系是否正確aa(2)1, 2, 3 = 3, 2, 1(3) w0(4)0 0(5)=0(6)0解 根據(jù)子集、真子集以及集合相等的概念知是正確的，后兩個都是錯誤的.說明：含元素0的集合非空.例2:列舉集合1 , 2, 3的所有子集.分析：子集中分別含1, 2, 3三個元素中的0、1、2或者3個.解：含有0個元素的子集有：含有1個元素的子集有1 ,

15、2 , 3;含有2個元素的子集有1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 3;含有3個元素的子集有1 , 2, 3.共有子集8個.例3:已知a、b A a、b、c、d,則滿足條件集合 A的個數(shù)為.分析：A中必含有元素a, b,又A是a , b, c, d子集，所以滿足條件的A有：a, b, a, b, c,a , b, d, a、b、c、d。解：共3個.例 4:設集合 A= x|x =5-4a+a2, aCR, B= y|y =4b2+4b+2, bCR,則下列關(guān)系式中正確的A. A=BB. A BC. A w BD. A w B解：A例5:已知集合 A= 2, 4, 6, 8, 9, B= 1

16、 , 2, 3, 5, 8,又知非空集合 C是這樣一個集合：其各元素都加2后，就變?yōu)锳的一個子集；若各元素都減2后，則變?yōu)锽的一個子集，求集合 C.分析：逆向操作：A中元素減2得0, 2, 4, 6, 7,則C中元素必在其中；B中元素加2得3, 4, 5, 7, 10,則C中元素必在其中；所以 C中元素只能是4或7.答：C= 4或7或4 , 7.練習：1.在以下五個寫法中：0 0, 1, 2 ，00, 1,21, 2, 00G 1Gx|x 1, 2寫法正確的個數(shù)有A. 1個 B.2 個 C.3 個D.4 個.集合 A = (x , y)|y = 1與B = (x , y)|y = x的關(guān)系是x

17、.滿足條件0, 1,M 0, 1, 2, 3, 4的不同集合M的個數(shù) 是A. 8個 B.7 個 C.6 個D.5 個4,設 I=0 , 1, 2, 3, 4, 5, A=0, 1, 3, 5, B=0,則： 0 A 0B q A CI B1CIBCIAAB.已知 A=x|x=(2n + 1)兀，n e Z, B=y|y=(4k 1)兀，k Z,那么 A與 B 的關(guān)系為 .已知集合 A=1,3 , a,B=1,a 2-a+1,且 A B,求 a 的值。.已知集合 A=x e R|x2+3x + 3=0 , B=y e B|y 25y+6=0,A P,B,求滿足條件的集合P.已知集合 A=x|x=

18、a 2+1, aCN, B=x|x=b 24b+5, bCN,求證：A=R課后作業(yè)：A組.寫出集合1 , 2, 3的所有子集，并指出哪些是它的真子集。.下列命題：空集沒有子集；任何集合至少有兩個子集；空集是任何集合的真子集；若 A ,則A 0其中正確的有()A 0個 B 、1個 C 、2個 D、3個.設 x, y R,A (x,y) y 3 x 2, B(x, y) y- 1 ，則 A, B 的關(guān)系是x 2.已知A x 2 x 5 , B x a 1 x 2a 1 , B A,求實數(shù)a的取值范圍。.已知集合A1,3,2m 1，集合B 3,m2 ,若B A,則實數(shù)m的值。.設集合A x 1 x

19、3 , B x x a 0 ,若A是B的真子集，求實數(shù)a的取值范圍。.用適當?shù)姆柼羁眨?a a, b,c 0 x x2 0 x R x2 1 0 0,1 N 0 x x2 x 2,1 x x2 3x 2 08.判斷下列兩個集合之間的關(guān)系：A 1,2,4, B x x是8的約數(shù) 僅供學習與參考僅供學習與參考僅供學習與參考僅供學習與參考學習資料 Axx 3k,k N,B xx 6z,z N Ax x 20m,m N ,B xx是4與10的公倍數(shù) .設集合 A x x2 4x 0 , B x x2 2(a 1)x a2 1 0,x R ,若 B A,求實數(shù) a 的 值。 TOC o 1-5 h z

20、 .下列選項中的 M與P表示同一集合的是()AMxRx20.010 ,Pxx2 0日M(x, y)|yx2 2,x R ,P(x,y)xy2 2, y RCMyyx21,xR ,Px x (y1)21,y RDMyy2k,k Z, Pxx4k 2,kZ.試寫出滿足條件 M g 0,1,2的所有集合m.寫出滿足條件0 M| 0,1,2的所有集合m.已知 1,x 2x 1,1,x2 6 ,求 x.已知集合 Aa,ab,a2b , B a,ac,ac2 ,若 A=B,求 c 的值。.已知集合Ax 1ax2 , Bx 1x1,求滿足AS B的實數(shù)a的取值范圍。.設集合 A 2,8,a , B2,a2

21、3a 4,且 ba,求 a 的值。B組 TOC o 1-5 h z .下列命題：空集沒有子集；任何集合至少有兩個子集；空集是任何集合的真子集；若s A,則A其中正確的是（）A 0個 B 、1個 C 、2個 D 、3個.已知集合A1,2,3,4 ,且A中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合 A有（）A、13 個 B 、12 個 C 、11 個 D 、10 個kk一.設集合 M x x ,k Z , N x x 一，k Z ,則（）2442A、M=N B、帽 n C、M ND 、叵M4.已知集合Ax 3x 2 , Bx 2k1x 2k 1,且b A,則實數(shù)k的取值范圍是學習資料學習資料僅供學習與參考僅供

22、學習與參考學習資料學習資料僅供學習與參考僅供學習與參考5.已知集合2ax2xa Qa R ,若集合A有且僅有2個子集，則a的取值是(、0, 11, 0, 16.設 a,bR,集合1,ab, a0, b,ba，則b aA、 17.已知U1,2,3,4 , A1,3，則 CuA8.已知U1,3 , A 1,3，則 CuA9.已知集合2ax且BA,求實數(shù)a,b的值。10.如果數(shù)集0,1,x 2中有3個元素，那么x不能取哪些值?2x11.不等式組3x00的解集為A, UR,試求A及Cu A12.已知集合m 1 x 2m 1(1)、若A,求實數(shù)m的取值范圍。(2)、若Z ,求A的非空真子集的個數(shù)。1.3

23、集合的基本運算并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記彳AU B,（讀作 “ A并 B）.即 AUB=x|x 6人,或*6 8。如圖 1-3-1所示。例如，設 A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求 AU B.解：A U B=4,5,6,8 U 3,5,7,8=3,4,5,6,7,8再比如說，設集合 A=x|-1x 2,集合B=x|1x3,求AU B.解：A U B=x|-1x 2 U x|1x3 = x|-1x3 1.3.2交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AA B,(讀作“A交B”)，即AA

24、 B=x|x 6人,且*68。如圖1-3-2所示。例如，設 A=4,5,6,8, B=3,5,7,8, 求 AA B.解：A A B.=4,5,6,8 A 3,5,7,8=5 ,8再比如說，新華中學開運動會，設A=x|x是新華中學高一年級參加百米賽跑的同學B=x|x是新華中學高一年級參加跳高比賽的同學，求AA B.僅供學習與參考僅供學習與參考僅供學習與參考僅供學習與參考學習資料解:AAB=x|x是新華中學高一年級既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學.補集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U. 對于一個集合 A,由全集U中不屬于A的所有元素組

25、成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集.記作C UA1 1x3-X 嘰且xA例如，設 U=x|x 是小于 9 的正整數(shù),A=1,2,3, B=3,4,5,6,求 CuA,CuB解：根據(jù)題意可知，U=1,2,3,4,5,6,7,8, 所以 CuA=4,5,6,7,8; CuB=1,2,7,8.集合中，一些常用的運算性質(zhì)：(1) A A A; (2) AAB 則 A BA;AA A; (7) A(1) A A A; (2) AAB 則 A BA;AA A; (7) A；(3) A BA; (8)A B(10)( A B) C A (B C);(11)AB A; (4) A B A

26、, A BB A; (9) A Cu (A) U ;(A B);B;(12 )Cu (A B) (CuA )CuB;(13)Cu (AB) (CuA ) CuB本節(jié)精講一有關(guān)兩個集合的并集、交集的問題.已知集合 沖直線, N= 圓,則Mn N的元素個數(shù)為（）個.（）A. 0A. 0B. 1 C . 2D.不確定 TOC o 1-5 h z .(2010 -江西理，2)若集合A= x|x|w 1, xC R , B= y| y=x：x C R,則 An B=()A.x| - 1x0C , x|0 x 1 D . ?. (09 山東文)集合 A= 0,2 , a, B= 1 , a2.若 AU B

27、= 0,1,2,4,16,則 a 的值為()A. 0B. 1 C . 2D. 4. (2010 福建文，1)若集合 A=x|1 x2,則 An B等于()A.x|2x1 C . x|2x2.設集合 A= x| -1x 2, B= x|xva,若 An Bw ?,則 a 的取值范圍是()A.a- 2C. a-1D.- 1a3 , B= x 7.，則 An b=()A. ?B. (3,4)C. ( -2,1)D. (4, +0o ).設P、Q 為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P+ Q= x|x=a+b, a P, bC,P=0,1,2 ,Q=-1,1,6,則P+ Q中所有元素的和是()A. 9B. 8

28、 C . 27D. 26.，、.一 一 一 * 一 一.已知集合 A= x|x=2k+1, kC N, B= x|x=k+3, k N,則 An B 等于()A. BB. AC. ND. R10.當 xC A10.當 xC A時，若 x-1? A,且 x+ 1? A,則稱x為A的一個“孤立元素”,由A的所有孤立元素組成的集合稱為 A的“孤星集”，若集合M= 0,1,3的孤星集為M，集合N= 0,3,4的孤星集為N ,則MUN=()A. 0,1,3,4 B. 1,4 C . 1,3D. 0,3學習資料二、填空題.若集合A=2,4 , x,B= 2,x2,且AUB= 2,4 ,x,則x =.已知

29、A= x| x2+px+ q = x ,B= x|( x1)2 + p(x1)+ q=x+1，當 A= 2時，集合 B=.(膠州三中 2009 2010 高一期末)設 A= x| x2- px+ 15=0, B= x| x2+qx+r = 0且 AU B= 2,3,5 , AH B= 3,則 p=; q=; r=.三、解答題.已知 A= x|awxwa+ 3 , B= x|xv1 或 x5(1)若An B= ?,求a的取值范圍.(2)若AU B= B, a的取值范圍又如何？.設集合 M= 1,2 , m2-3mv 1 , N= 1,3,若 MA N= 3,求 m.已知 A= 1 , x, 1,

30、 B= -1,1 -x.(1)若 An B= 1 , - 1,求 x.1(2)若 AU B= 1 , - 1, 2,求 An B若B? A,求AU B.1一 .一一 1 一當 x = 2時，AU B= 1 , 5, - 1.某班參加數(shù)學課外活動小組的有22人，參加物理課外活動小組的有18人，參加化學課外活動小組的有16人，至少參加一科課外活動小組的有36人，則三科課外活動小組都參加的同學至多有多少人？.已知集合 A=x|3x 70, B=x|x是不大于8的自然數(shù), C= x| xa, a為常數(shù).(1)求 An B；(2)若An O ?,求a的取值集合；(3)若An C= x| 7x- 2,求a

31、的取值集合；(5)若Bn C= ?,求a的取值集合；(6)若Bn D中含有元素2,求a的取值集合.二.有關(guān)全集、補集、空集的問題例1判定以下關(guān)系是否正確學習資料學習資料僅供學習與參考僅供學習與參考學習資料學習資料僅供學習與參考僅供學習與參考a a ; (2)1 , 2, 3 = 3, 2, 1; (3) w0 ； (4)0 0例2列舉集合1 , 2, 3的所有子集.例3已知a, b Awa, b, c, d,則滿足條件集合 A的個數(shù)為 .例4設U為全集，集合M、N w U,且N M ,則A . CuCN. MU。1rNC. CuMCtfND . Mn&N例5 設集合 A= x|x =5-4a + a2, aC R, B= y|y =4b2+4b + 2, bCR,則下列關(guān)系式中正確的是A. A = BA BA. A = BA w BD. A w B例6設全集U”盧即和集合M。N, P，且M=O則m與的關(guān)系是A.g CUPB. Mk PC. M 1PD. M / P例7下列命題中正確的是A Cu（Cua）=AB.若AH B=B,則A BC.若人=1, 2,則2手AD.若慶=1 , 2, 3, B = x|x A,則AG B例8 已知集合A= 2, 4, 6, 8, 9, B= 1 , 2, 3, 5,