線性代數(shù)知識點歸納總結(jié)

1、文檔編碼 : CY4Y1D1B4O8 HU9O2H3M6H3 ZJ9Y10G2F1P9讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思 線性代數(shù)學(xué)問點總結(jié) a11 a12 第一章 行列式 a1n 1. n 階行列式 Da21 a22 a2 n pn 1t p p 1 2 p naa 1 p1 2 p 2 nanpn 2.特殊行列式 p1 p2 a11 a12 an1 an2 ann a11a22 ann a1n ann 1t 12 na11a22 D0a22 a2 n 00ann n , 21n n 1 12121 2 n1 2 n3.行列式的性質(zhì) 定義 記 Da11 a12 a1 n , DT a1

2、1 a 21 a n1 T ,行列式 D 稱為行列式 a21 a22 a2 n a12 a 22 a n 2 an 1 an 2 ann a1 n a 2 n a nn D 的轉(zhuǎn)置行列式； 性質(zhì) 1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等； k 乘此行列式； 性質(zhì) 2互換行列式的兩行 ri rj 或列 ci cj , 行列式變號 ； 推論 3假如行列式有兩行（列）完全相同（成比例） ,就此行列式為零； 行列式某一行 （列）中全部的元素都乘以同一數(shù) kr jk ,等于用數(shù) 性質(zhì) 推論 1D 的某一行（列）中全部元素的公因子可以提到 D的外面 ; 第 1 頁,共 15 頁讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思

3、 推論 2D 中某一行（列）全部元素為零,就 D =0 ； a11 a12 a1i a1i a1n 性質(zhì) 4 如行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,就 D a21 a22 a2i a2i a2n an1 an2 ani ani ann a11 a12 a1i a1n a11 a12 a1 i a1n a21 a22 a2i a2n a21 a22 a2i a2 n an1 an 2 ani ann an1 an2 ani ann 性質(zhì) 6 把行列式的某一列 （行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列 行 對應(yīng)的元素上去, 行列式的值不變； 運算行列式常用方法： 利用定義；利用運算 ri krj

4、 把行列式化為上三角形行列式,從 而算得行列式的值； 4.行列式按行（列）開放 余子式 在 n 階行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列劃去后,留下來的 n 1 階行列 式叫做元素 aij 的余子式,記作 M ij ； i j 代數(shù)余子式 記 Aij 1 M ij ,叫做元素 aij 的代數(shù)余子式； 引理 一個 n 階行列式,假如其中第 i 行全部元素除（ i,j） i , j 元外 aij 都為零,那么這 行列式等于 aij 與它的代數(shù)余子式的乘積,即 D aij Aij ； （高階行列式運算第一把行列上的元素盡可能多的化成 a11 a12 a1n 0,保留一個非零元素,降階

5、） 定理 n 階行列式 Da21 a22 a2 n 等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng) an1 an 2 ann 的代數(shù)余子式的乘積之和,即 Dai 1Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain , i 1,2, , n 或a1jA1ja2 j A2 j anj Anj , j 1,2, , n ； D 第 2 頁,共 15 頁讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思 其次章 矩陣 1.矩陣 A a11 a12 a1n 行列式是數(shù)值,矩陣是數(shù)表, 各個元素組成 a21 a22 a2 n am1 am1 amn 方陣 ： 行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣 A； 記作： An； 行 列 矩陣： 只

6、有一行 列 的矩陣；也稱行 列向量； 同型矩陣： 兩矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等； 相等矩陣： AB 同型 ,且對應(yīng)元素相等；記作： A B 零矩陣： 元素都是零的矩陣（不同型的零矩陣不同） 對角陣： 不在主對角線上的元素都是零； 單位陣： 主對角線上元素都是 1 ,其它元素都是 0,記作： E 留意 矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)分, 行列式是一個算式, 一個數(shù)字行列式經(jīng)過運算可求得 其值,而矩陣僅僅是一個數(shù)表,它的行數(shù)和列數(shù)可以不同； 2.矩陣的運算 a11 b11 a12 b12 a1n b1n b2n bmn 矩陣的加法 A B a21 b21 a22 b22 a2n am1 bm1 am2 b

7、m2 amn 說明 只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時,才能進行加法運算； 矩陣加法的運算規(guī)律 1 A B B A ； 2 A B CA B Ca12 a1n , A 稱為矩陣 A a11 3設(shè)矩陣 A aij m n , 記 A aij m n a21 a22 a2 n am1 am1 amn 的 負(fù)矩陣 第 3 頁,共 15 頁讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思 4 A A 0, A B A B ； 數(shù)與矩陣相乘 數(shù) 與矩陣 A 的乘積記A或, 規(guī)定為 A A a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 作 A am1 am1 amn 數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律（設(shè) A, B 為 m n 矩,

8、 為數(shù)） 陣, 1A A ； 2A A A； 3A B A B ； 矩陣相加與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運算； 矩陣與矩陣相乘 設(shè) B bij 是一個 m s 矩B bij 是一個 s n 矩陣,那么規(guī)定矩 陣 A 與 矩 陣 B 陣, 的 乘 積 是 一 個 mn矩 陣 Cijc, 其中 b1 j ai1 ai 2 ais b2 j ai1b1 j ai 2 b2 j ais bsj s aik bkj , i 1,2, m; j 1,2, , n , k 1 bsj 并把此乘積記作 C AB 留意 1；A 與 B 能相乘的條件是： A 的列數(shù) B 的行數(shù)； 2；矩陣的乘法不中意交換律,即在一

9、般情形下, AB BA ,而且兩個非零矩陣的 乘積可能是零矩陣； 3；對于 n 階方陣 A 和 B,如 AB=BA,就稱 A 與 B 是可交換的； 矩陣乘法的運算規(guī)律 1 AB C A BC ； 2AB A B A B n E mmAm n A m n 3 A B CAB AC , B C A BA CA 4 Am n E n 第 4 頁,共 15 頁讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思 5如 A 是 n 階方陣,就稱 Ak 為 A 的 k 次冪,即 k A A A A ,并且 m k A A m k A , k個 A m k A mk m, k 為正整；規(guī)定： A 0 E （只有方陣才有

10、冪運算） 數(shù) 留意 矩陣不中意交換律,即 AB BA , AB k A B （但也有例外） k k 轉(zhuǎn)置矩陣 把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣,叫做 A 的轉(zhuǎn)置矩陣,記作 A , 1 A T T A ； 2 A B T A T B T ； 3 A T A T ； 4 AB T B A T T ； 方陣的行列式 由 n 階方陣 A 的元素所構(gòu)成的行列式,叫做方陣 A 的行列式,記作 A 留意 矩陣與行列式是兩個不同的概念, n 階矩陣是 n 2 個數(shù)按確定方式排成的數(shù)表, 而 n 階行列式就是這些數(shù)按確定的運算法就所確定的一個數(shù)； n1 A T A ； 2 A A ； 3 AB A B

11、 B A BA 對稱陣 設(shè) A 為 n 階方陣,假如中意 A=A T,那么 A 稱為對稱陣； 相伴矩陣 行 列 式 A 的 各 個 元 素 的 代 數(shù) 余 子 式 Aij 所 構(gòu) 成 的 如 下 矩 陣 A11 A21 An1 A A12 A22 An2 稱為矩陣 A 的相伴矩陣； A1n A2n Ann 性質(zhì) AA A A A E （ 易忘學(xué)問點 ） 總結(jié) （1）只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時,才能進行加法運算； （ 2）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于其次個矩陣的行數(shù)時,兩個矩陣才能相乘 ,且矩 陣相乘不中意交換律； （3）矩陣的數(shù)乘運算與行列式的數(shù)乘運算不同； 逆矩陣：AB BA E,就說矩陣 A

12、 是可逆的, 并把矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣； 即A 1B ； 說明 第 5 頁,共 15 頁讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思 1A , B 互為逆陣, -1 A = B 2 只對方陣定義逆陣； （只有方陣才有逆矩陣） 3.如 A 是可逆矩陣,就 A 的逆矩陣是唯獨的； 定理 1 矩陣 A 可逆的充分必要條件是 A 0 ,并且當(dāng) A 可逆時,有 A 11A * （重要 ） A 神奇矩陣與非神奇矩陣 當(dāng) A 0 時, A 稱為神奇矩陣,當(dāng) A 0 時, A 稱為非神奇矩 陣；即 A 可A 為非神奇矩A 0 ； 逆 陣 1先求 | A| 并判定當(dāng) | A | 0 時逆陣存求逆矩陣方法 （

13、2）求 A ； 在； 3 求 1A *| A | A 1； 初等變換的應(yīng)用 ：求逆矩陣： A | E 初等行變換 1 E | A； 逆矩陣的運算性質(zhì) 11 如 A 可逆 ,就 A 亦可逆 ,且 A 11A 11 1B A ； 2如 A 可逆 ,0, 就 A 可逆 ,A 111 A ； 數(shù) 且 3如 A, B 為同階方陣且均可 逆 , 就 AB 亦可逆 , 且 AB 4T 如 A 可逆 ,就 A 亦可逆 , T A 1A 1T ； 且 5如 A 可逆 ,就有 A 1A 1； 第 6 頁,共 15 頁讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思 3.矩陣的初等變換 初等行（列）變換 1對調(diào)兩行,記作

14、ri r j ； ri krj ； 2以數(shù) k 0 乘以某一行的全部元素,記作 ri k ； 3把某一行全部元素的 k 倍加到另一行對應(yīng)的元素上去,記作 初等列變換： 把初等行變換中的行變?yōu)榱? 即為初等列變換, 所用記號是把 “ r”換成 “ c”； 矩陣等價 假如矩陣 A 經(jīng)有限次初等變換變成矩陣 B,就稱矩陣 A 與 B 等價； 行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線,線的下方全為零, 每個臺階只有一行, 臺階數(shù)即是非零 行的行數(shù)階梯線的豎線 （每段豎線的長度為一行） 后面的第一個元素為非零元, 也是非零行 的第一個非零元； （非零行數(shù)及矩陣的秩） 210321,且這些非零元所在的列的其他元

15、求矩陣 B03125的秩.0004300000RB=3 行最簡形矩陣： 行階梯矩陣中非零行的第一個非零元為 素都為 0. 標(biāo)準(zhǔn)型 ：對行最簡形矩陣再施以初等列變換,可以變換為形如 F Er O 的矩陣,稱 O O mn為標(biāo)準(zhǔn)型；標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是全部與矩陣 初等變換的應(yīng)用 A 等價的矩陣中外形最簡潔的矩陣； 求逆矩陣： A | E 初等行變換 E | A 1或 A 初等列變換 E ； E A 14.矩陣的秩 矩陣的秩 任何矩陣 Am n,總可以經(jīng)過有限次初等變換把它變?yōu)樾须A梯形, 行階梯形矩 陣中非零行的行數(shù)是唯獨確定的； 說明 （非零行的行數(shù)即為矩陣的秩） 1. 矩陣 Am n,就 RA mim

16、n,n;第 7 頁,共 15 頁讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思 T2. RA = RA ;3. RA r的充分必要條件是至少有一個 r階子式不為零 ;4. RA r的充分必要條件是全部 r + 1 階子式都為零 .滿秩和滿秩矩陣 矩陣 A aij m n ,如 R A m ,稱 A 為行滿秩矩陣； 如 R A n , 稱 A 為列滿秩矩陣； 如 A 為 n 階方陣 ,且 R A n,就稱 A 為滿秩矩； 陣 如 n 階方A 滿秩,R A n陣 即 A 0； A 1必存在； A 為非神奇 陣； A 必能化為單位陣 En , 即 A En . 矩陣秩的求法 定理 1矩陣 A 經(jīng)過有限次行

17、 列初等變換后其秩不變；即如 A B,就 RA=RB； 推論 如 P,Q 可逆,就 R PAQ R A 矩陣秩的性質(zhì)總結(jié) 1 0 R Am n min m, n T 2 R A R A R A 3如 A B,就 R A R B 4如 P, Q可逆,就 R P AQ R A RB 5 max R A, R B R A, B 特殊當(dāng) B b 為非零列向量時,RA R A, b R A 1. 有 6 R A B R A R B 7 R AB min R A, RB. 第 8 頁,共 15 頁讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思 8 如n Bn l O,就 R A R B n. Am 9設(shè) AB=

18、O ,如 A 為列滿秩矩陣,就 B=O（矩陣乘法的消去率） ； 第三章 1. n 維向量 n 個數(shù) a1,a2, a,n組成的一個有序數(shù)組 a1,a2, a,n 稱為一個n 維向量 ,記為 a1 a2 列向量形式 或 T a1, a2, , an（ 行向量形式） ,其中第 i個數(shù) ai 稱為向量 . an 的第 i 個重量； 向量組 如干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組； a11a12 a1j a1n設(shè)矩陣 A=aijm n 有 n 個 m 維列向量,即 A a 21 a 22 a 2 j a 2n , am1am2 amj amn向量組 a1 ,a2 , ,an稱為

19、矩陣 A 的列向量；同理,也可說矩陣 A 有 m 個行向量組組成； 組 向量,向量組,矩陣與方程組的關(guān)系 向量組 矩陣： A 1, 2 , , m x2 . a1m xm b1 , a11 a12 向量方程 方程組： a21 x1 a22 a2m b2 可簡寫作 an1 n xn an2 anm bn 1x1 2 x2 第 9 頁,共 15 頁讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思 x1 b1 向量方程 方程組 矩陣形式 Ax b 1, 2, , m x2 b2 xn bn 線性組合 給定向量組 A : 1, 2 , , m 和向量 b,假如存在一組數(shù) 1, 2, , m 使 b 1 1 2

20、 2 m m ,就向量 b 是向量組 A 的線性組合 ,這時稱 b 向量能由向量組 A 線性表示 ； 定理 1 向量 b 能由向量組 A: 1, 2 , , m 線性表示的充分必要條件是矩陣 A a1, a2 , ,am 的秩等于矩陣 B a1 , a2 , , am ,b 的秩；即 RA=RA,b； 向量組的線性表示 設(shè)有兩個向量組 A: 1, 2 , , m及 1, 2 , , s ,如 B 組中每 B : 個向量都能由向量組 A 線性表示,就稱向量組 B 能由向量組 A 線性表示,如向量組 A 與向 量組 B 能相互線性表示,就稱這兩個向量組等價； 向量組的線性相關(guān) 給定向量組 A: 1

21、, 2 , , m ,假如存在不全為零的數(shù) k1 ,k2 , , km 使 k1 1 k2 2 km m 0 ,就稱向量組是線性相關(guān)的,否就稱它線性無關(guān)；如當(dāng)且僅 當(dāng) k1 k2 km 0 時上式成立,就稱向量組 A 線性無關(guān)； 線性相關(guān)：可線性組合表示的,線性無關(guān)：相互獨立,互不代表 留意 1.對于向量組來說,不是線性無關(guān),就是線性相關(guān)； 2.對于兩個向量來說, 線性相關(guān)意味著兩向量的重量對應(yīng)成比例, 幾何含義兩向量共線； 第 10 頁,共 15 頁讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思 三個向量線性相關(guān)意味著三向量共面； 3.向量組只有一個向量 時,如 0 就說 線性相關(guān) ,如 0, 就

22、說 線性無關(guān)； 4.包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的,此時總存在不為零的 k,使得 0 1 0 2 k0 0 n 0線性相關(guān)性的判定 定理 向量組 1 , 2 , , m（當(dāng) m 2 時）線性相關(guān)的充分必要條件是 1 , 2 , , m 中 至少有一個向量可由其余 m-1 個向量線性表示 定理 4 向 量 組 A: a1, a2 , , am 線 性 相 關(guān) 的 充 分 必 要 條 件 是 它 所 構(gòu) 成 的 矩 陣 A a1, a2 , ,am 小于向量的個數(shù) m,向量組線性無關(guān)的充分必要條件是 R（ A） =m； 最大線性無關(guān)向量組 設(shè)有向量組 A,假如在 A 中能選出 r 個向量 1

23、, 2 , , r,中意： （1）向量組 A0 : 1, 2, , r 線性無關(guān) ； 2 向量組 A 中任意 r +1 個向量 假如有的話 都線性相關(guān)； 就稱向量組 A0 : 1, 2 , , r 是向量組 A 的一個最大線性無關(guān)向量組； 2* 向量組 A 中任何一個 其它 向量可由 A0 : 1, 2 , , r 線性表示； 第四章 線性方程組的解 線性方程組 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 假如有解,就稱其為相容的,否就稱為不相容 a21x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm 的； n 元齊次線性方程組 Ax=0 有唯獨解,零解 （無非零解） （ 1） RA = n Ax=0 （ 2） RA n Ax=0 有非零解 . 第 11 頁,共 15 頁讀書之法 , 在循序而漸進 ,熟讀而精思 n 元非齊次線性方程組 Ax b（ 1） 無解的充分必要條件是 RA RA,b （ 2） 有唯獨解的充分必要條件是 RA RA,b n（ 3） 有無限多解的充分必要條件是 RA RA,b n基礎(chǔ)解系 齊次線性方程組 Ax 0 的通解具有形式 x c1 1 c2 2 c1 ,