專題05 導數(shù)與函數(shù)的最值（練習）（教師版）

1、專題5 導數(shù)與函數(shù)的最值A組 基礎鞏固1（2021黑龍江哈爾濱三中高二月考（文）已知在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【分析】由于函數(shù)在開區(qū)間有最小值,則函數(shù)的極小值點在內(nèi), 且在內(nèi)的單調(diào)性是先減再增.【詳解】因為，當時, ，當,所以得極小值為.所以,得到，故選：D.【點睛】易錯點睛：本題考查用導數(shù)求函數(shù)的最值，屬于難題. 根據(jù)題意，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的極小值來，由所給已知條件的分析，極小值點. 本題中的兩個條件都容易漏掉，所以做題時一定要認真分析，充分挖掘題中的隱含條件，才能得到正確的答案.2（2021全國高三月考（理）已知函數(shù)，若，使得在恒成立，則的

2、最大值為（ ）A2B3C4D5【答案】C【分析】首先參變分離得，再設函數(shù)，求導數(shù)，再設，再求導數(shù)，通過函數(shù)恒正，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并判斷的極值點所在的區(qū)間，求得函數(shù)的最小值，同時求得的最大值.【詳解】依題意，令，則令，時，即單調(diào)遞增，設并記其零點為，故且，所以當時，即，單調(diào)遞減；當時，即，單調(diào)遞增，所以，因此，由于且，即，所以，故選:C【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查考生邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，本題的關鍵是構造函數(shù)，并求兩次導數(shù)，通過導數(shù)，逐級判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值.3（2021四川遂寧市高三二模（文）若，則的最大值為（ ）ABCD【答案】C【分析】首先對進行變形

3、，即，由于同構，可構造函數(shù)，知在上單調(diào)遞增，原不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可得，再進行參變分離，求出函數(shù)最值， 即可得解.【詳解】原不等式化為，即，令，知在上單調(diào)遞增，原不等式轉(zhuǎn)化為，所以，即，設，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，故當時取得最小值，所以的最大值為.故選：C.【點睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性解不等式相關問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，有一定的計算量，屬于中檔題.本題關鍵有：（1）找到所給不等式的同構特征，同構特征是解題的關鍵；（2）構造函數(shù)，并求所構造函數(shù)的單調(diào)性；（3）參變分離，轉(zhuǎn)為恒成立問題.4（2021全國高二月考（理）函數(shù)在上的最大值與最小值之和為（ ）A-46B-35C6D

4、5【答案】B【分析】由，求導，先求得的極大值，再由端點值，得到最值求解.【詳解】由得，由可得，當時，當時，所以的極大值為，又，所以的最大值為11，最小值為-46，所以最大值與最小值之和為-35.故選：B【點睛】方法點睛：(1)求解函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)yf(x)在a，b內(nèi)所有使f(x)0的點，再計算函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f(x)0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得(2)已知函數(shù)的最值求參數(shù)，一般先用參數(shù)表示最值，列方程求解參數(shù)5（2021四川遂寧市高三二模（理）若，則的最大值為（ ）ABCD【答案】C【分析】將原不等式化為，構造函數(shù)，由單調(diào)性的性質(zhì)可知，即，構造函數(shù)，利用導數(shù)得出的

5、最小值，即可得出的最大值.【詳解】原不等式化為，即，令，知在上單調(diào)遞增，原不等式轉(zhuǎn)化為，所以，即，設，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，故當時取得最小值，所以的最大值為.故選：C【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵在于利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及導數(shù)證明不等式，從而得出的最大值.6（2020全國高三其他模擬）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則_，函數(shù)的零點個數(shù)為_.【答案】1 2 【分析】（1）由偶函數(shù)的定義，即可得出結(jié)果.（2）對函數(shù)求導，求出函數(shù)的最小值為，再由和，即可得出零點個數(shù).【詳解】（1）為偶函數(shù)，所以，所以，即，（2）所以，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.又，所以在上有唯一零點；

6、又，所以在上有唯一零點.綜上所述，有且僅有2個零點.故答案為：1；2【點睛】方法點睛：確定函數(shù)零點的個數(shù)有兩種基本方法：（1）利用函數(shù)圖象研究其與軸的交點個數(shù)或轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)進行判斷；（2）利用零點存在定理判斷，但還需結(jié)合函數(shù)的圖象和單調(diào)性.7（2021浙江高二課時練習）已知函數(shù).（1）函數(shù)的最大值等于_；（2）若對任意，都有成立，則實數(shù)a的最小值是_.【答案】 1 【分析】（1）求出導函數(shù)，由導函數(shù)確定單調(diào)性，極值，得最大值；（2）若對任意，都有成立，等價于當時，而由（1）在上，因此只要當時，即可得，由此可得的取值范圍，從而得的最小值【詳解】（1）函數(shù)定義域是，時，遞增，時，遞

7、減，時，取得極大值也是最大值；（2）若對任意，都有成立，等價于當時，由（1）當時，且，滿足題意；當，在上遞增，在遞減，只要即可，綜上，的最小值是1.故答案為：；1【點睛】本題考查用導數(shù)求函數(shù)最值，研究不等式恒成立問題，恒成立問題的解題關鍵轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值，由單調(diào)性易得結(jié)論8（2021浙江高二課時練習）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)最小值是_，最大值是_.【答案】 0 【分析】對函數(shù)求導，由導數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性確定極值，再比較極值與函數(shù)端點值，即可確定函數(shù)最值.【詳解】，令，或2，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，而，函數(shù)的最小值是，最大值為0.故答案為：；0.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了

8、計算能力，屬于基礎題目.9（2017浙江高三其他模擬）已知函數(shù)在處的切線的斜率為1，則實數(shù)_；此時函數(shù)在上的最小值為_.【答案】 【分析】求導得到，根據(jù)得到，得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得到函數(shù)最值.【詳解】由題意得，則有，解得，所以，則，當時，由得；由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極小值，即為最小值，所以最小值為.故答案為：；【點睛】本題考查了根據(jù)切線斜率求參數(shù)，函數(shù)的最值，意在考查學生的計算能力和應用能力.B組 能力提升10（2021全國高三專題練習）（多選題）已知函數(shù)，其中正確的結(jié)論是（ ）A當時，函數(shù)有最大值B對于任意的，函數(shù)一定存在最小值C對于任意的

9、，函數(shù)在上單調(diào)遞增D對于任意的，都有函數(shù)【答案】BC【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷ABC的正確，利用特殊值法可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，當時，函數(shù)為增函數(shù)，所以，函數(shù)無最大值，A選項錯誤；對于B選項，對任意的，則，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與在上有且只有一個交點，且交點橫坐標為，當時，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，對于任意的，函數(shù)一定存在最小值，B選項正確；對于C選項，對于任意的且，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，C選項正確；對于D選項，取，則，則，D選項錯誤.故選：BC.【點睛】思路點睛：利用導數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：（

10、1）求函數(shù)的定義域；（2）求導；（3）解方程，當；（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值.11（2021全國高三專題練習）（多選題）關于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）A是的極大值點B函數(shù)有且只有1個零點C存在正實數(shù)，使得成立D對任意兩個正實數(shù)，且，若，則.【答案】BD【分析】A選項借助導數(shù)研究函數(shù)的極值情況；BC選項，構造新函數(shù)研究函數(shù)的零點問題以及參數(shù)取值范圍；D選項根據(jù)新函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，從而得到雙變量的關系.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為（0，+），在（0，2）上，f（x）0，函數(shù)單調(diào)遞減，（2，+）上，f

11、（x）0，函數(shù)單調(diào)遞增，x2是f（x）的極小值點，即A錯誤；對于B，x，y10，函數(shù)在（0，+）上單調(diào)遞減，且，函數(shù)有且只有1個零點，即B正確；對于C，若f（x）kx，可得k，令g（x），則g（x），令，則，在x（0，1）上，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，x（1，+）上函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，h（x） h（1）0，g（x）0，在（0，+）上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，不存在正實數(shù)k，使得f（x）kx恒成立，即C不正確；對于D，令t（0，2），則2t（0，2），2+t2，令 ln， 則，g（t）在（0，2）上單調(diào)遞減，則g（t）g（0）0，令x12t，由f（x1）f（x2），得x22+t，則x1+x22t

12、+2+t4，當x24時，x1+x24顯然成立，對任意兩個正實數(shù)x1，x2，且x2x1，若f（x1）f（x2），則x1+x24，故D正確.故選：BD【點睛】思路點睛：借助導數(shù)研究函數(shù)的極值情況，構造新函數(shù)研究函數(shù)的零點問題以及參數(shù)取值范圍；可以將自變量的大小比較通過構造新函數(shù)，通過單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小比較，從而得到自變量間的關系.12（2021全國高三其他模擬）（多選題）關于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）A的圖象關于直線對稱B的圖象關于點對稱C在上單調(diào)遞減D有最小值【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，判斷函數(shù)對稱性，求導研究函數(shù)單調(diào)性及最值情況.【詳解】由誘導公式，所以，即的圖象關于直線對稱，

13、的圖象關于點對稱，所以A選項、B選項正確；，則在上單調(diào)遞增，C選項錯誤；當趨近時，趨于負無窮大，所以沒有最小值，則D選項錯誤.故選：AB.【點睛】方法點睛：通過函數(shù)解析式及導數(shù)，研究函數(shù)的基本性質(zhì).13（2021全國高三專題練習）（多選題）已知，當且僅當時取等號，則（ ）A的最小值為1B的最小值為1C的最小值為1D的最小值1【答案】AC【分析】分別求導，判斷函數(shù)單調(diào)性并求最值，判斷正誤.【詳解】A：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，A選項正確；B：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，B選項錯誤；C：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，C選項正確

14、；D：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，D選項錯誤；故選：AC.【點睛】在解決類似的問題時，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別求解函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)yf(x)在a，b內(nèi)所有使f(x)0的點，再計算函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f(x)0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得14（2020湖南衡陽市一中高三期中）（多選題）設，的最大值為M，則（ ）A當時，B當時，C當時，D當時，【答案】AB【分析】代入的值，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，從而求出答案即可【詳解】解：對于A：當時，故在遞增，故，故A正確；對于B：時，令，則，在遞減，而，故，在遞減，故，故B

15、正確；對于C：時，則，令，則，故在遞減，而，在遞減，而，即，在遞減，故，故C錯誤；對于D：時，則，令，則，故在遞減，而，在遞減，而，即，在遞減，故，故D錯誤；故選：AB.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解答的關鍵是對導函數(shù)求導說明導函數(shù)的單調(diào)性，從而得到導函數(shù)值的正負，即可得到原函數(shù)的單調(diào)性.15（2021浙江高二期末）已知函數(shù)（1）若在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若是的極值點，求在上的最大值和最小值【答案】（1）a5（2）最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.【分析】（1）轉(zhuǎn)化為在恒成立，即在恒成立，利用單調(diào)性求出在上的最小值即可得解；（2）根據(jù)是的極

16、值點求出，分析單調(diào)性即可求出最值.【詳解】（1）因為在上是增函數(shù)，令f(x)3x22ax30在上恒成立，min在上為增函數(shù)，當時，a5.（2）f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210 x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去).當1x3時，f(x)0，當3x5時，f(x)0，即當x3時，f(x)的極小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1,5上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.【點睛】關鍵點點睛：第（1）問轉(zhuǎn)化為在恒成立是解題關鍵，第（2）問根據(jù)是的極值點求出是解題關鍵.16（2021湖南高三月考）已知函數(shù)，.（1）證明：；（2）若

17、時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）求的最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）1.【分析】（1）由條件轉(zhuǎn)化為證明，即證明，構造函數(shù)，利用導數(shù)證明恒成立；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)（1）可知時，不等式成立，當時，不成立，即不等式不恒成立，即可得結(jié)論；（3）先求，再設函數(shù)，利用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最小值.【詳解】（1），證明即證明即證明.設， 時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減.， 即成立. （2）時，即，由（1）知，當時，成立， 當時，顯然時不成立，綜上，. （3）.設，在上單調(diào)遞增， ，存在使，且時即，遞減；時即，遞增， ， 在是單調(diào)遞增， .【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)證明不等式，以及求函數(shù)的最小值，本題的關鍵是第三問再求得函數(shù)的最小值是，利用求得.17（2021甘肅高三二