量子力學(xué)2015第3章一維定態(tài)問(wèn)題

1、2、設(shè)粒子處于一維無(wú)限深方勢(shì)阱中，證明處于定態(tài)的粒子。討論的情況，并與經(jīng)典力學(xué)計(jì)算結(jié)果比較。解 根據(jù)題意得定態(tài)波函數(shù)為： 當(dāng)時(shí)，在經(jīng)典情況：在區(qū)域內(nèi)間隔中找到粒子的幾率為，故有 3、設(shè)粒子處于無(wú)限深方勢(shì)阱中，粒子波函數(shù)為，為歸一化常數(shù)。試求：(1)、歸一化常數(shù)，(2)、粒子處于能量本征態(tài)的概率及粒子的平均能量； (3)、設(shè)粒子處于基態(tài)，在時(shí)刻阱寬突然變?yōu)?，粒子波函?shù)未來(lái)得及改變，即 ，問(wèn)是否還是能量本征態(tài)？求測(cè)得粒子能量仍為的概率。解 (1)、由歸一化條件得：(2)、由及得。計(jì)算能量的平均值及能量的平方的平均值: 或者, 利用公式: 以及 得(3)、粒子處于阱寬為勢(shì)阱中時(shí)，能級(jí)和本征函數(shù)分別為

2、 、可見(jiàn)不是能量本征態(tài)。當(dāng)粒子能量為時(shí)，對(duì)應(yīng)波函數(shù)為由及得 所以，測(cè)得粒子能量仍為的概率。4、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子，設(shè)初始時(shí)刻處于狀態(tài)，其中和分別為基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)。求(1)、和；(2)、能量平均值和能量平方平均值；(3)、能量的漲落；(4)、計(jì)算體系的特征時(shí)間(即幾率密度隨時(shí)間變化的周期)及的值。解 由題意得：粒子處在能量本征態(tài)下具有的能量為。(1)、將初始狀態(tài)波函數(shù)按能量本征態(tài)展開(kāi)知，在本題中展開(kāi)系數(shù)為： 、。對(duì)于任意時(shí)刻時(shí)狀態(tài)為。(2)、解法一由得。同理， 由得。解法二 由平均值公式及能量本征函數(shù)的正交歸一性得 (3)、將上面得到的結(jié)果代入得(4)、由上面求出的幾率密度表達(dá)式得所以，

3、特征時(shí)間，從而。5、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子，設(shè)處于態(tài)。求粒子的動(dòng)量分布。解 根據(jù)題意知，波函數(shù)和能級(jí)分別為： 和由傅立葉變換得粒子的動(dòng)量幾率分布函數(shù)為：6、求不對(duì)稱(chēng)勢(shì)中粒子的能量本征值。 或者證明: 對(duì)于的狀態(tài)，能量具有關(guān)系式：，其中。解 當(dāng)粒子處在束縛態(tài)。能量本征方程為: 令及, 則能量本征方程變?yōu)?滿(mǎn)足束縛條件的解為: 由處波函數(shù)及一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)得: 由得令，則上式變?yōu)椋?這就是能量關(guān)系式， 其中和是待定常數(shù)。下面求角度和，由得 ，代入能量關(guān)系式，得到最終結(jié)果為 。9、設(shè)粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)。求粒子作用于阱壁上的平均壓力。解 在阱寬為無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子的能量為。設(shè)阱壁分別在和處，粒

4、子對(duì)阱壁的平均作用力為。假定處阱壁在該力作用下沿正方向移動(dòng)了距離。粒子對(duì)外做功為，它等于粒子的能量減少，即。10、把傳導(dǎo)電子限制在金屬內(nèi)部的是金屬內(nèi)勢(shì)的一種平均勢(shì)，對(duì)下列一維模型，試計(jì)算情況下，接近金屬表面的傳導(dǎo)電子的反射率。解 能量本征方程為由于粒子從左邊入射，故。(1)、，令及，則能量本征方程變?yōu)?其解為： 在點(diǎn)波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)得：接近金屬表面的傳導(dǎo)電子的反射率為 11、對(duì)于任意型的一維位壘（如右圖所示），僅就粒子的入射能量時(shí)，證明：關(guān)系式總是自動(dòng)滿(mǎn)足。式中反射系數(shù)，是透射系數(shù)。證明 由于勢(shì)壘是一條任意的曲線(xiàn)， 沒(méi)有給定， 則不能確定。 因而無(wú)法計(jì)算各種幾率流密度。但由圖可知：以及及。由能量本征方程為得 ，其中和由此可得。由粒子幾率流守恒可知：15、設(shè)，求反射系數(shù)。解 能量本征方程為作變量替換：令，則及，此時(shí)能量本征方程變?yōu)?, 其中及。當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于。此時(shí)漸進(jìn)方程為： ， 解得 。對(duì) 波函數(shù)做變換：令，有及代入能量本征方程得令，則上式變?yōu)槌瑤缀挝?/p>