專題18：將軍飲馬型最值問題（老師版）

1、專題18：將軍飲馬型最值問題-2022年中考數(shù)學(xué)解題方法終極訓(xùn)練一、單選題1已知線段AB及直線l，在直線上確定一點(diǎn)，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)對稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題【詳解】解：點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，作B點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)B，連接AB與l的交點(diǎn)為P，由對稱性可知BP=BP，PA+PB=PB+PA=AB為最小故選：C【點(diǎn)評】本題考查軸對稱求最短距離，掌握兩點(diǎn)在直線同側(cè)時，在直線上找一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離最短的方法是解題的關(guān)鍵2如圖，等邊ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，若AE2，則EMCM的最小值為

2、（）AB3C2D4【答案】C【解析】連接BE，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EFBC交于點(diǎn)F，此時EMCM的值最小，求出BE即可【詳解】解：連接BE，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EFBC交于點(diǎn)F，ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，B點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于AD對稱，BMCM，EMCMEMBMBE，此時EMCM的值最小，AC6，AE2，EC4，在RtEFC中，ECF60，F(xiàn)C2，EF2，在RtBEF中，BF4，BE2，故選：C【點(diǎn)評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵3如圖，在RtABC中，C90，AC6，BC8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF2，點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn)

3、，將CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是（）A1.5B1.2C2.4D以上都不對【答案】B【解析】【詳解】思路引領(lǐng)：先依據(jù)勾股定理求得AB的長，然后依據(jù)翻折的性質(zhì)可知PFFC，故此點(diǎn)P在以F為圓心，以2為半徑的圓上，依據(jù)垂線段最短可知當(dāng)FPAB時，點(diǎn)P到AB的距離最短，然后依據(jù)題意畫出圖形，最后，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可答案詳解：如圖所示：當(dāng)PEAB在RtABC中，C90，AC6，BC8，AB10，由翻折的性質(zhì)可知：PFFC2，F(xiàn)PEC90PEAB，PDB90由垂線段最短可知此時FD有最小值又FP為定值，PD有最小值又AA，ACBADF，AFDABC，即，解得

4、：DF3.2PDDFFP3.221.2故選：B4如圖所示，已知A（1，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y圖象上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A（3，0）B（，0）C（，0）D（，0）【答案】A【解析】【詳解】思路引領(lǐng)：求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是ykx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在ABP中，|APBP|AB，延長AB交x軸于P，當(dāng)P在P點(diǎn)時，PAPBAB，此時線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可答案詳解：把A（1，y1），B（2，y2）代入反

5、比例函數(shù)y得：y12，y21，A（1，2），B（2，1），在ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|APBP|AB，延長AB交x軸于P，當(dāng)P在P點(diǎn)時，PAPBAB，即此時線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，設(shè)直線AB的解析式是ykx+b，把A、B的坐標(biāo)代入得：，解得：k1，b3，直線AB的解析式是yx+3，當(dāng)y0時，x3，即P（3，0）故選：A5如圖，M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P是M上的任意一點(diǎn)，PAPB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則AB的最小值為（）A3B4C5D6【答案】D【解析】【詳解】思路引領(lǐng)：由RtAPB中AB2OP知要使AB取得最小

6、值，則PO需取得最小值，連接OM，交M于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P位于P位置時，OP取得最小值，據(jù)此求解可得答案詳解：連接OP，PAPB，APB90，AOBO，AB2PO，若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交M于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P位于P位置時，OP取得最小值，過點(diǎn)M作MQx軸于點(diǎn)Q，則OQ3、MQ4，OM5，又MP2，OP3，AB2OP6，故選：D6如圖，點(diǎn)，都在雙曲線上，點(diǎn)C，D分別是x軸、y軸上的動點(diǎn)（C，D不同時與原點(diǎn)重合），則四邊形ABCD的周長的最小值為（）ABCD【答案】B【解析】先把A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出a與b的值，確定出A與B坐標(biāo)，再作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P

7、，B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1），PQ分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、D點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得此時四邊形PABQ的周長最小，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解可得【詳解】分別把點(diǎn)，代入，得，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.如圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；連接PQ分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、點(diǎn)D，此時四邊形ABCD的周長最小,四邊形ABCD周長為:.故選B.【點(diǎn)評】考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決有關(guān)幾何圖形周長最短的問題是解題的關(guān)鍵7如圖1

8、，在菱形ABCD中，AB6，BAD120，點(diǎn)E是BC邊上的一動點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線BD上一動點(diǎn)，設(shè)PD的長度為x，PE與PC的長度和為y，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H（a，b）是圖象上的最低點(diǎn)，則a+b的值為（）ABCD36【答案】A【解析】從圖2知，是的最小值，從圖1作輔助線知；接下來求出，設(shè)與交于點(diǎn)，則求出，最后得，所以，選【詳解】解：如下圖，在邊上取點(diǎn)，使得和關(guān)于對稱，連接，得，連接，作，垂足為，由三角形三邊關(guān)系和垂線段最短知，即有最小值，菱形中，在中，解得，是圖象上的最低點(diǎn)，此時令與交于點(diǎn)，由于，在中，又，又的長度為，圖2中是圖象上的最低點(diǎn)，又，故選：A【點(diǎn)評】本題考查動點(diǎn)及最小值問題

9、，解題的關(guān)鍵是在于通過翻折點(diǎn)軸對稱），然后利用三角形三邊關(guān)系及垂線段最短原理，判斷出最小值為8如圖，凸四邊形中，若點(diǎn)M、N分別為邊上的動點(diǎn)，則的周長最小值為（）ABC6D3【答案】C【解析】由軸對稱知識作出對稱點(diǎn)，連接兩對稱點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短證明最短，多次用勾股定理求出相關(guān)線段的長度，平角的定義及角的和差求出角度的大小，最后計(jì)算出的周長最小值為6【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于、的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，連接交和于點(diǎn)和點(diǎn)，連接、；再和上分別取一動點(diǎn)和（不同于點(diǎn)和，連接，和，如圖1所示：，又，時周長最?。贿B接，過點(diǎn)作于的延長線于點(diǎn)，如圖示2所示：在中，又，又，在中，由勾股定理得：，故選：C【點(diǎn)評】本題綜合考

10、查了軸對稱最短路線問題，勾股定理，平角的定義和兩點(diǎn)之間線段最短等相關(guān)知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱最短路線問題，難點(diǎn)是構(gòu)建直角三角形求兩點(diǎn)之間的長度9如圖，在ABC中，AB2，ABC60，ACB45，D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D，AEl，BFl，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）AB2C2D3【答案】A【解析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CKl于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AHBC于點(diǎn)H，在RtAHB中，ABC60，AB2，BH1，AH，在RtAHC中，ACB45，AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，BDCD，在BFD與CKD中，

11、BFDCKD（AAS），BFCK，延長AE，過點(diǎn)C作CNAE于點(diǎn)N，可得AE+BFAE+CKAE+ENAN，在RtACN中，ANAC，當(dāng)直線lAC時，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為故選：A【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵10如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接，則的最大值為（ ）ABCD【答案】B【解析】如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接ON，MN，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知OMON+MN，則當(dāng)ON與MN共線時，OM= ON+MN最大，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線即可解答【詳

12、解】解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接ON，MN，三角形的三邊關(guān)系可知OMON+MN，則當(dāng)ON與MN共線時，OM= ON+MN最大，則ABO為等腰直角三角形，AB=，N為AB的中點(diǎn)，ON=，又M為AC的中點(diǎn)，MN為ABC的中位線，BC=1，則MN=，OM=ON+MN=，OM的最大值為故答案選：B【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)ON與MN共線時，OM= ON+MN最大二、填空題11如圖，正ABC的邊長為2，過點(diǎn)B的直線lAB，且ABC與ABC關(guān)于直線l對稱，D為線段BC上一動點(diǎn)，則AD+CD的最小值是_【答案】4【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對稱

13、的性質(zhì)得到ABC=B=60，B=AB=BC=2，證明CBDBD，得到CD=D，推出當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=B+AB=4【詳解】解：如圖，連接D，正ABC的邊長為2，ABC與ABC關(guān)于直線l對稱，ABC=B=60，B=AB=BC=2，CB=60，CB=B，BD=BD，CBDBD，CD=D，AD+CD=D+CD，當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=B+AB=4，故答案為：4【點(diǎn)評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵12如圖，在等邊ABC中，E為AC邊的中點(diǎn)，AD垂直平分

14、BC，P是AD上的動點(diǎn)若AD=6，則EP+CP的最小值為_【答案】6【解析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP，CP的值，從而找出其最小值求解【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F，連接CF，ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，點(diǎn)E關(guān)于AD的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，CF就是EP+CP的最小值A(chǔ)BC是等邊三角形，E是AC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，CF=AD=6，即EP+CP的最小值為6，故答案為6【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵13如圖所示，在中，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個動點(diǎn)，的面積為12

15、，則周長的最小值是_【答案】8【解析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，故當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時，AM+DM最小，即為AD，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，EF是線段AB的垂直平分線，AM=BM，BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時，AM+DM最小，即為AD，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，ADBC，AD=6，BDM的周長最小值=AD+BD=8，故答案為

16、：8【點(diǎn)評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時，AM+DM最小，即為AD14如圖，將ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動，若AC6，CD3，BD7，則PMB周長的最小值為 _【答案】18【解析】首先明確要使得PMB周長最小，即使得PM+PB最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知PM=PC，從而可得滿足PC+PB最小即可，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定BC即為最小值，從而求解即可【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，AM=AC，PM=PC，M點(diǎn)為AB上一個固定點(diǎn)，則BM長度固定，PMB周長=PM+PB+BM

17、，要使得PMB周長最小，即使得PM+PB最小，PM=PC，滿足PC+PB最小即可，顯然，當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時，滿足PC+PB最小，如圖所示，此時，P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，PC+PB=BC，PMB周長最小值即為BC+BM，此時，作DSAB于S點(diǎn)，DTAC延長線于T點(diǎn)，AQBC延長線于Q點(diǎn)，由題意，AD為BAC的角平分線，DS=DT，即：，解得：AB=14，AM=AC=6，BM=14-6=8，PMB周長最小值為BC+BM=3+7+8=18，故答案為：18【點(diǎn)評】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理求解，理解并熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵15在邊長為

18、2的菱形ABCD中，A60，M是AD邊的中點(diǎn)，若線段MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得線段MA（1）如圖，線段MA的長_（2）如圖，連接AC，則AC長度的最小值是_【答案】 1 【解析】【詳解】思路引領(lǐng)：（）由中點(diǎn)的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求解；（）當(dāng)A在MC上時，線段AC長度最小，作MECD于點(diǎn)E，首先在直角DME中利用三角函數(shù)求得ED和EM的長，然后在直角MEC中利用勾股定理求得MC的長，然后減去MA的長即可求解答案詳解：（）M是AD邊的中點(diǎn)，MA1，線段MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得線段MAMA1，故答案為：1；（）如圖，作MECD于點(diǎn)E菱形ABCD中，A60，EDM60，在直角MDE中，DEMDcosEDM1，MEMDsi

19、nEDM，則ECCD+ED2，在直角CEM中，MC，當(dāng)A在MC上時AC最小，則AC長度的最小值是：1，故答案為116如圖所示，已知A（，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y圖象上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P（x，0）在x正半軸上運(yùn)動，當(dāng)線段AP與線段BP之和達(dá)到最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_；當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_【答案】 【解析】【詳解】思路引領(lǐng)：（1）如圖1，過x軸作點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B，連接AB與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可以求得直線AB的 解析式，根據(jù)該解析式可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖2，求出AB的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是ykx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB

20、的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在ABP中，|APBP|AB，延長AB交x軸于P，當(dāng)P在P點(diǎn)時，PAPBAB，此時線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可答案詳解：把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y得：y12，y2，A（，2），B（2，）（1）如圖1，過x軸作點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B，連接AB與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，則B（2，）設(shè)直線AB為ykx+b（k0），則解得故直線AB的解析式為：yx令y0，解得，x1.7故P（1.7，0）；（2）在ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|APBP|AB，延長AB交x軸于P，當(dāng)P在P點(diǎn)時，PAPBAB，即此時線段AP與線

21、段BP之差達(dá)到最大，設(shè)直線AB的解析式是yax+c（a0）把A、B的坐標(biāo)代入得：，解得：，直線AB的解析式是yx，當(dāng)y0時，x，即P（，0）；故答案是：（1.7，0）；（，0）17如圖，矩形ABCD中，AB2，BC3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，邊BC上運(yùn)動，點(diǎn)G在矩形內(nèi)，且DGCG，EFFG，F(xiàn)G：EF1：2，則線段GF的最小值為_【答案】【解析】取CD的中點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)N，連接GM，GN、NB、BM，根據(jù)矩形的性質(zhì)和題中所給的條件得GM=DM=CM=1，設(shè)FG=a，則EF=2a，因?yàn)镹是EF的中點(diǎn)，所以FN=EN=a，根據(jù)和勾股定理得，因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)B、N、G、M四點(diǎn)共線時，值最小，解得

22、，即可得線段GF的最小值為：【詳解】解：如圖所示，取CD的中點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)N，連接GM，GN、NB、BM，,四邊形ABCD是矩形，CD=AB=2，AD=BC=3，,，GM=DM=CM=1，設(shè)FG=a，則EF=2a，N是EF的中點(diǎn)，F(xiàn)N=EN=a，BN=EN=FN=a，F(xiàn)G=FN=a，在中，根據(jù)勾股定理，在中，BC=3，CM=1，根據(jù)勾股定理，當(dāng)且僅當(dāng)B、N、G、M四點(diǎn)共線時，值最小，則線段GF的最小值為：，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理和直角三角形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，當(dāng)B、N、G、M四點(diǎn)共線時，值最小，則線段GF有最小值18如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為B

23、C上一點(diǎn)，且BE1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，連接CG，則CG的最小值為_【答案】【解析】【詳解】解：由題意可知，點(diǎn)F是主動點(diǎn)，點(diǎn)G是從動點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動將EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60，使EF與EG重合，得到EFBEHG從而可知EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上作CMHN，則CM即為CG的最小值作EPCM，可知四邊形HEPM為矩形，則CMMP+CPHEEC1故答案為19在綜合實(shí)踐課上，小明把邊長為2cm的正方形紙片沿著對角線AC剪開，如圖l所示然后固定紙片ABC，把紙片ADC沿AC的方向平移得到ADC，連AB，DB，DC，在平移過程中：（1）四邊形ABCD的形狀始終是 _；（2）AB+DB的最小值為 _【答案】 平行四邊形 2【解析】（1）利用平移的性質(zhì)證明即可（2）如圖2中，作直線DD，作點(diǎn)C關(guān)于直線DD的對稱點(diǎn)C，連接D