九年級(jí)寒假班第5講：長(zhǎng)方體與三角形-學(xué)生版

1、長(zhǎng)方體與三角形長(zhǎng)方體與三角形知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一：模塊一：長(zhǎng)方體的再認(rèn)識(shí)知識(shí)精講知識(shí)精講長(zhǎng)方體的元素及特征1、元素：長(zhǎng)方體有六個(gè)面，八個(gè)頂點(diǎn)，十二條棱2、特征：（1）長(zhǎng)方體的每個(gè)面都是長(zhǎng)方形（2）長(zhǎng)方體的十二條棱可以分為三組，每組中的四條棱的長(zhǎng)度相等（3）長(zhǎng)方體的六個(gè)面可以分為三組，每組中的兩個(gè)面的形狀和大小相同長(zhǎng)方體的直觀圖畫法：斜二側(cè)畫法水平放置的長(zhǎng)方體直觀圖通常畫法的基本步驟：第一步：畫平行四邊形ABCD，使AB等于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，AD等于長(zhǎng)方體寬的二分之一，（如圖1所示）第二步：過AB分別畫AB的垂線AE、BF，過C、D分別畫CD的垂線CG、DH，使它們的長(zhǎng)度都等于長(zhǎng)方體的高（如圖2所示

2、）第三步：順次聯(lián)結(jié)E、F、G、H（如圖3所示）第四步：將被遮住的線段改用虛線（隱藏線）表示（如圖4所示）AABCDABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH圖1圖2圖3圖4圖4表示的長(zhǎng)方體通常表示為ABCD-EFGH它的六個(gè)面通常表示為：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等它的十二條棱通常分別表示為：棱AB、棱AE、棱EF等長(zhǎng)方體中棱與棱的位置關(guān)系如圖4所示的長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中：棱EH與棱EF所在的直線在同一平面內(nèi)，它們有唯一的公共點(diǎn)，我們稱這兩條棱相交棱EF與棱AB所在的直線在同一平面內(nèi)，但它們沒有公共點(diǎn)，我們稱這兩條棱平行棱EH與棱AB所在的直線既不平行，也不相交，我們

3、稱這兩條棱異面長(zhǎng)方體中棱與平面的位置關(guān)系A(chǔ)BCDPQABCDPQ圖5圖6如圖ABCDPQABCDPQ圖5圖6如圖6，直線PQ平行于平面ABCD，記作：直線PQ/ 平面ABCD，讀作：直線PQ平行于平面ABCD如圖4所示的長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中：棱EF與面BCGF，棱FG與面ABFE，棱BF與面ABCD都給我們以直線與平面垂直的形象棱EF與面ABCD，棱BF與面ADHE，都給我們以直線與平面平行的形象長(zhǎng)方體中平面與平面的位置關(guān)系如圖7，平面垂直于平面，記作平面平面，讀作平面垂直于平面如圖8，平面平行于平面，記作平面/平面，讀作平面平行于平面如圖4所示的長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中：面EFGH，

4、面ABFE與面BCGF三個(gè)面中，任意兩個(gè)都給我們以平面與平面垂直的形象面ABCD與面EFGH，面BCGF與面ADHE，面ABFE與面DCGH，都給我們以平面與平面平行的形象例題解析例題解析AABCDEFGH如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-EFGH（1）哪些棱與AB平行？（2）哪些棱與AB垂直？（3）哪些棱與AB異面？ABCDEFGH如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-EFGH，與平面ADHEABCDEFGH下列關(guān)于長(zhǎng)方體的說法中正確的是( )A長(zhǎng)方體中互相平行的棱不一定相等B長(zhǎng)方體中12條棱的位置關(guān)系只有平行和相交C長(zhǎng)方體中相對(duì)的兩個(gè)面一定平行D長(zhǎng)方體中6個(gè)面的面積都相等關(guān)于長(zhǎng)方體有下列三個(gè)結(jié)論：eq oac

5、(,1)長(zhǎng)方體中每個(gè)面都是長(zhǎng)方形；eq oac(,2)長(zhǎng)方體中每?jī)蓚€(gè)面都互相垂直；eq oac(,3)長(zhǎng)方體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的長(zhǎng)方形其中結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)ABCDEFGH如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-EFGH這個(gè)長(zhǎng)方體中與棱HEABCDEFGH已知一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的比是3 : 2 : 1，它的所有棱長(zhǎng)的和是72 cm，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是_模塊模塊二：相交線與平行線知識(shí)精講知識(shí)精講鄰補(bǔ)角1、鄰補(bǔ)角的概念：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角如圖，與有一條公共邊OD，它們的另一條邊OA、OB互為反向延長(zhǎng)線，則與互為

6、鄰補(bǔ)角AADOB122、若與互為鄰補(bǔ)角，則3、互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角對(duì)頂角1、對(duì)頂角的概念：兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角如圖，與有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，并且的兩邊OB、OC分別與的兩邊OA、OD互為反向延長(zhǎng)線，則與互為對(duì)頂角334ABCDO2、對(duì)頂角相等垂線1、垂線的概念：如果兩條直線的夾角為直角，那么就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足2、垂直的符號(hào)：記作：“”，讀作：“垂直于”，如：，讀作“AB垂直于CD”注：垂直是特殊的相交3、在平面內(nèi)，過直線上或

7、直的一點(diǎn)作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條簡(jiǎn)單地說：過一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線垂直4、聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短5、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離如果一個(gè)點(diǎn)在直線l上，那么就說這個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為零同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角若直線a，b被直線l所截：（1）同位角：兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角叫做同位角如：和aabl12345678（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角如：和（3）同旁內(nèi)角：兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之

8、間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角如和注意：三線八角是位置關(guān)系，數(shù)量上沒有確定的關(guān)系平行線1、平行線的定義：同一平面內(nèi)不想交的兩條直線叫做平行線“平行”用符號(hào)“/”表示2、經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行3、平行線的判定：（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)單地說，同位角相等，兩直線平行（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)單地說，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)單地說，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行4、平行線的性質(zhì)：（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相

9、等；簡(jiǎn)單地說：兩直線平行，同位角相等（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；簡(jiǎn)單地說：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；簡(jiǎn)單地說：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)相等（4）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行（5）兩條平行線中，任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線的距離都是一個(gè)定值，這個(gè)定值叫做這兩條平行線間的距離例題解析例題解析如圖，的鄰補(bǔ)角為_，的對(duì)頂角為_；在圖中，找出一對(duì)同位角，可以是_和_，找出一對(duì)同旁內(nèi)角，可以是_和_AABCDEF在同一平面中，如果直線，那么直線a與c的位置關(guān)系是_；如果直線a / b，那么直線b與c的位置關(guān)系是

10、_ABCDEF如圖，已知AB / CD，BF與CD相交于點(diǎn)E，如果ABCDEF下列說法正確的是( )A直線外一點(diǎn)到這條直線的距離是這點(diǎn)到這條直線的垂線段B同位角相等C如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角D過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線已知直線/，直線分別與直線、直線相交；點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在直線上，點(diǎn)A、B在直線的同側(cè)；點(diǎn)C在直線上，且點(diǎn)C不在與上設(shè)直線AC與所夾的銳角為，直線BC與所夾的銳角為試問、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論模塊模塊三：三角形知識(shí)精講知識(shí)精講三角形的邊與角1、三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊2、三角形的高、中線、角平分線：在

11、三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高；聯(lián)結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線；三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線3、三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和等于180一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中最多有一個(gè)鈍角或直角4、三角形的外角：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（2）三角形的外角和定義：對(duì)于三角形的每個(gè)內(nèi)角，從與它相鄰的兩個(gè)外角中取一個(gè)，這樣取得的三個(gè)外角相加所得的和，叫做三角形的外角和；三角形的外角和等于3605、三角形的分類三角形（按角分）；三角形（按邊分）全等三角形1、

12、全等形的概念：能夠重合的兩個(gè)圖形叫做全等形2、全等三角形的性質(zhì)和判定方法：一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)中線相等，對(duì)應(yīng)高相等，對(duì)應(yīng)角平分線相等注：判定兩個(gè)三角形全等必須有一組邊對(duì)應(yīng)相等；全等三角形面積相等3、證明題的思路：等腰三角形1、等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角2、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊的高互相重合，簡(jiǎn)稱：等腰三角形三線合一3、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是頂角的角平分線所在的直線4、等腰三角形的判定：如果一個(gè)

13、三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，這個(gè)三角形是等腰三角形簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊直角三角形1、直角三角形全等的判定：斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）2、直角三角形的性質(zhì)：（1）兩個(gè)定理定理1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2）兩個(gè)推論推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于303、勾股定理（1）如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（2）勾股定理逆定

14、理：如果三角形的三邊滿足，那么三角形是直角三角形例題解析例題解析（2014學(xué)年楊浦區(qū)二模第4題）下列命題中，真命題是( )A周長(zhǎng)相等的銳角三角形都全等B周長(zhǎng)相等的直角三角形都全等C周長(zhǎng)相等的鈍角三角形都全等D周長(zhǎng)相等的等腰直角三角形都全等（2015學(xué)年閘北區(qū)二模第5題）如圖，已知，則不一定能使的條件是( )CDABABCDCDAB（2015學(xué)年徐匯區(qū)二模第6題）下列命題中假命題是( )A兩邊及第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C兩邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（2014學(xué)年靜安區(qū)、青浦區(qū)二模

15、第6題）三角形的內(nèi)心是( )A三邊垂直平分線的交點(diǎn)B三條角平分線的交點(diǎn)C三條高所在直線的交點(diǎn)D三條中線的交點(diǎn)（2015學(xué)年靜安區(qū)二模第15題）在中，、的平分線相交于點(diǎn)E，那么的度數(shù)是_（2014學(xué)年靜安區(qū)、青浦區(qū)二模第13題）如圖，在中，AB = 2AC，點(diǎn)E在中線CD上，BE平分，那么的度數(shù)是_AABCDE（2014學(xué)年徐匯區(qū)二模第4題）如圖，已知中，CH、CM分別是斜邊AB上的高和中線，則下列結(jié)論不正確的是( )ABABCMHCABCMH（2014學(xué)年徐匯區(qū)二模第16題）如圖，DE為的中位線，點(diǎn)F在DE上，且為直角，若AB= 8，BC= 10，則EF的長(zhǎng)為_BBAEFCD如圖，網(wǎng)格中小正方

16、形的邊長(zhǎng)均為1，的三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上ABC求證：是等腰直角三角形ABCABCD如圖，已知中，AD平分，交邊BC于點(diǎn)D，AB = 10，ABCDAC = 6，求點(diǎn)D到邊AB的距離ABCDEP如圖，等邊三角形ABC的兩條角平分線BD、CE相交于點(diǎn)P，BP = 10 ABCDEPABCEFD（2014學(xué)年崇明縣區(qū)二模第15題）如圖，已知和均為等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，DE與AC相交于點(diǎn)F，如果AB = 9，BD = 3，那么CFABCEFD（2014學(xué)年虹口區(qū)二模第14題）在中，點(diǎn)G是的重心，如果CG = 6，那么斜邊AB的長(zhǎng)等于_如果等腰三角形腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)三角形的頂角的度數(shù)為_

17、（2015學(xué)年寶山區(qū)、嘉定區(qū)二模第21題）如圖，在中，按以下步驟作圖：分別以A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，相交于兩點(diǎn)M，N；聯(lián)結(jié)MN，直線MN交的邊AC于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)BD如果此時(shí)測(cè)得，BC=CD求與的度數(shù)已知中，AC = 4，BC = 3以的邊AC為一邊的等腰三角形，它的第三個(gè)頂點(diǎn)D在的斜邊AB上，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)已知中，AB = AC，D為BC的中點(diǎn)（1）如圖，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE = AF，求證：是等腰直角三角形（2）如果E、F分別是AB和CA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE = AF，那么是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論AABCDEF如圖，在形外作等腰和等腰，使，作于H

18、，延長(zhǎng)HA，交DE于M，求證：DM = MEAABCDEMH如圖，在菱形ABCD中，M、N分別為BC、CD上的點(diǎn)，求證：若有一個(gè)內(nèi)角等于60，則是正三角形AABCDNM隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)（2015學(xué)年奉賢區(qū)二模第5題）下列說法中，正確的是( )A關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)三角形一定全等B兩個(gè)全等三角形一定關(guān)于某條直線對(duì)稱C面積相等的兩個(gè)三角形一定關(guān)于某條直線之間對(duì)稱DCBADCBA（2014學(xué)年長(zhǎng)寧區(qū)、金山區(qū)二模第7題）如圖，已知AD是的邊BC上的高，下列能使的條件是( )ABCD畫一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為3 cm、2 cm、2.5 cm的長(zhǎng)方體的直觀圖AABCDEP如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在

19、邊AB上，點(diǎn)E在邊BC上，AD = BE，那么_（2015學(xué)年崇明縣二模第14題）如圖，在已知的中，DNDNABCM分別以B，C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD若，則的度數(shù)為_AABCI已知中，和兩角的平分線相交于點(diǎn)I，求的度數(shù)已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC BA，AD = DC，BD平分ABCDABCDABCD已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD = DC，BC = 2ABCD求證：點(diǎn)D在的角平分線上已知，在中，AB = AC，點(diǎn)P在直線BC上，PDAB于點(diǎn)D，PEAC于點(diǎn)E，BH是的高（1）當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)（如圖），求證：；ABCDEPH（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探索PDABCDEPHABCDEFG（2014學(xué)年徐匯區(qū)二模第23題）如圖，已知在正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD邊上，過C點(diǎn)作AE的垂線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF，過