(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第6講《函數(shù)的單調(diào)性與最值》（解析版）

1、第6講 函數(shù)的單調(diào)性與最值思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1增函數(shù)、減函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：(1)增函數(shù)：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(2)減函數(shù)：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)2單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間若函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間. 3函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于

2、任意的xI，都有f(x)M或f(x)M(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我們稱M是函數(shù)yf(x)的最大值或最小值核心素養(yǎng)分析能用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì)；在現(xiàn)實(shí)問題中，能利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決問題。重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).題型歸納題型1 函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）【例1-1】（2019西湖區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù) SKIPIF 1 0 的單調(diào)遞增區(qū)間為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù)題意，分析可得 SKIPIF 1 0 ，據(jù)此分析可得答案【解答】解：根

3、據(jù)題意，由已知 SKIPIF 1 0 ，所以函數(shù)在 SKIPIF 1 0 上為增函數(shù)，故選： SKIPIF 1 0 【例1-2】（2019秋閔行區(qū)期末）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 判斷 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上的單調(diào)性，并給予證明【分析】先設(shè) SKIPIF 1 0 ，然后利用作差比較 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的大小即可判斷【解答】 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞減證：設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，故 SK

4、IPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞減【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019秋天津期中）函數(shù) SKIPIF 1 0 的單調(diào)遞增區(qū)間是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】解不等式，求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可【解答】解：令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，而函數(shù) SKIPIF 1 0 的對(duì)稱軸是： SKIPIF 1 0 ，由復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，故函數(shù) SKIP

5、IF 1 0 的單調(diào)遞增區(qū)間是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2019秋河西區(qū)期中）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是增函數(shù)（這里 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù)題意，設(shè) SKIPIF 1 0 ，由函數(shù)的解析式可得 SKIPIF 1 0 ，按 SKIPIF 1 0 的取值范圍分情況討論，可得 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 時(shí)，都有 SKIPIF 1 0 ，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義分析可得答案【解答】證明：根據(jù)題意，設(shè) SKIPIF 1 0

6、 ，有 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ，綜合可得： SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 時(shí)，都有 SKIPIF 1 0 ，故函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是增函數(shù)【名師指導(dǎo)】判斷函數(shù)單調(diào)性常用方法(1)定義法：一般步驟為設(shè)元作差變形判斷符號(hào)得出結(jié)論.(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形

7、式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性.(3)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(4)性質(zhì)法：對(duì)于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及f(x)g(x)增減性質(zhì)進(jìn)行判斷；對(duì)于復(fù)合函數(shù)，先將函數(shù)yf(g(x)分解成yf(t)和tg(x)，再討論(判斷)這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判斷.題型2 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例2-1】（2020綿陽模擬）已知 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是減函數(shù)，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPI

8、F 1 0 的大小關(guān)系為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得 SKIPIF 1 0 ，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意， SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是減函數(shù)，則有 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，故選： SKIPIF 1 0 【例2-2】（2020濟(jì)南二模）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范

9、圍是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】由已知可知 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增，結(jié)合單調(diào)性即可求解不等式【解答】解：由分段函數(shù)的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，解可得， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【

10、例2-3】（2020鄭州三模）若函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是單調(diào)函數(shù)，則 SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】先利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增，于是 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增，還需要滿足 SKIPIF 1 0 ，

11、解之即可得 SKIPIF 1 0 的取值范圍【解答】解：當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增，又 SKIPIF 1 0 函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是單調(diào)函數(shù)， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春靜海區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， S

12、KIPIF 1 0 的大小關(guān)系是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上為減函數(shù)，由指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得 SKIPIF 1 0 ，分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù) SKIPIF 1 0 ，區(qū)間 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 為減函數(shù)，且 SKIPIF 1 0 ，區(qū)間 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 ，為減函數(shù)，且 SKIP

13、IF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上為減函數(shù)；又由 SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ；故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019秋金華期末）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和增函數(shù)的定義即可判斷出分段函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是增函數(shù)，從而根據(jù) SKIPIF 1 0 得出 SKIPIF 1 0 ，從而可求出 SKIPIF 1 0 的取值范圍【解答】解： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1

14、 0 ， SKIPIF 1 0 上是增函數(shù)， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是增函數(shù)，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是增函數(shù)， SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 得， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-3】（2019秋黃山期末）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1

15、0 上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 【分析】根據(jù) SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 上的增函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性，以及增函數(shù)的定義即可得出 SKIPIF 1 0 ，解出 SKIPIF 1 0 的范圍即可【解答】解： SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 上的增函數(shù)， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】解函數(shù)不

16、等式的理論依據(jù)是函數(shù)單調(diào)性的定義，具體步驟是：(1)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)f(x2)的形式；(2)考查函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性去掉法則“f”，轉(zhuǎn)化為形如“x1x2”或“x1x2”的常規(guī)不等式，從而得解題型3 函數(shù)的值域（最值）【例3-1】（2019秋歷城區(qū)校級(jí)期末）若函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的最大值與最小值的差為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 或2D SKI

17、PIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 【分析】分 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 兩種情況，求出 SKIPIF 1 0 最大值和最小值，然后由函數(shù)的最大值與最小值的差為 SKIPIF 1 0 ，建立關(guān)于 SKIPIF 1 0 的方程，再解出 SKIPIF 1 0 的值【解答】解：當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上遞增， SKIPIF 1 0 的最大值為 SKIPIF 1 0 ，最小值為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPI

18、F 1 0 上的最大值與最小值的差為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （舍 SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上遞減， SKIPIF 1 0 的最大值為 SKIPIF 1 0 ，最小值為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的最大值與最小值的差為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0

19、，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （舍 SKIPIF 1 0 綜上， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2020遼寧模擬）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 （1），則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的值不可能是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A1B2C3D4【分析】根據(jù)題意，直接將 SKIPIF 1 0 代入，計(jì)算函數(shù)的最小值為 SKIPIF 1 0 （2），不合題意，由此即可得出正確選項(xiàng)【解答】解：當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF

20、1 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 （1）；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)取等號(hào)；綜上，函數(shù)的最小值為 SKIPIF 1 0 （2），不合題意；結(jié)合單項(xiàng)選擇的特征可知，實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的值不可能為1故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020江蘇模擬）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 的最大值為3，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解：函數(shù) SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，恒成立，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，必須 SKIPIF 1 0 恒成立，即： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 時(shí)是減函數(shù)，可得 SKIP