高數(shù)第一章課件1-7無窮小比較

1、 k o() 或 定義. 設 , 是自變量同一變化過程中的無窮小,若 lim 0, 則稱 是比 高階的無窮小, 記作若 lim , 則稱 是比 低階的無窮小;若 lim C 0,則稱 是 的同階無窮小;若 lim C 0,則稱 是關于 的 k 階無窮小;若 lim 1, 則稱 是 的等價無窮小, 記作注:等價無窮小具有反身性,對稱性,傳遞性.sin x x ;tan x x例如 , 當x 0 時x3 o( 6x2 ) ; arcsin x xx2x02又如 ，lim1 cos x 121 cos x 1 x2故 x 0 時 1 cos x 是關于 x 的二階無窮小, 且n例1. 證明: 當 x

2、 0 時, n 1 x 1 1 x證:limx0n 1 x 1n1 x limx0 n 1 x n 1x1nnn1 x n1 1 x n2 1 1當x 0 時,nn 1 x 1 1 xan bn(a b)(an1 an2b bn1)sin x x,arcsin x x,tan x x,arctan x x,a xe xn 1 x 1 x ,n1 cos x 1 x 2 , 1 x ln a,ln(1 x) x,2 1 x.常用等價無窮小: x 0 時,tan x sin x 1 x32 o()定理1.證:lim 1lim( 1) 0, 即 lim 0 o() , 即 o()例如,x 0 時,s

3、in x x,tan x x ,故x 0 時,sin x x o(x),tan x x o(x)設 , ,且 lim 存在 , 則lim lim 證: lim lim lim lim lim lim 例如,lim tan 2x lim 2x 2x0 sin 5xx0 5x5定理2 .(等價無窮小替換定理)注意:不能等價無窮小代換.代數(shù)和中無窮小替換一定要慎重.說明:設對同一變化過程, , 為無窮小 ,由等價無窮小的性質, 可得簡化某些極限運算的下述規(guī)則.例如,sin xlimx0 x3 3x limxx0 3x3 1(1)和差取大規(guī)則:若 = o() , 則 (2)和差代替規(guī)則: 若 , 且

4、與 不等價,則 , 且lim lim 但 時此結論未必成立.例如,limx021 xtan 2x sin x lim 2x x1 x 1x0 2且lim 1則 lim (x) lim (x)(3)因式代替規(guī)則:若 , 且 ( x)為無窮大x3x0 x3x0原式 lim x xx3x012x3x 1 x2lim 2x0原式 lim tan x (1 cos x)例2. 求 lim tan x sin x .解:2nn例lim 2n sin x1 x22 1 x2例3. 求1lim (1 x 2 )3 1.x0cos x 1解:當x 0 時,312(1 x)1 1 x2cos x 1 2 1 x2

5、3原式 limx0233 sin 3xx0例4.求lim tan 5x cos x 1.x0 sin 3xsin 3xx0解:原式 lim tan 5x lim 1 cos x 33 x1 x 2x0 3 xx03 lim 5 x lim 2 5 0 5 .x0練:求lim sinln(1 2 x) sinln(1 x)ln(1 arc sin x)練習2:若 lim a tan x b(1 cos x) 2,2x0 ln(1- 2 x) c(1 - e- x)？a ()- 4內容小結lim klim C 0 ,1. 無窮小的比較設 , 對同一自變量的變化過程為無窮小, 且 00 , 是 的高

6、階無窮小 , 是 的低階無窮小 C ( 0) , 是 的同階無窮小 1 , 是 的等價無窮小 是 的 k 階無窮小2. 等價無窮小替換定理思考與練習1n1 xn1 )1.求極限lim n2 ( xn( x 0 )答案:ln x作業(yè)P593 ;4 (2) , (3) , (4);解答不能例當 x 時xf ( x) 1 ,xg( x) sin x都是無窮小量但xf ( x)limg( x) lim sin xx不存在且不為無窮大故當 x 時f ( x)和g( x)不能比較.思考任何兩個無窮小都可以比較嗎？一、 填空題：x0 sin 2 x1、limtan 3 x=.m(sin x)arcsin x

7、n2、limx0=.xx03、lim ln(1 2x) =.4、limx 2 arctan xx01 x sin x 1=.n5、lim 2n sin x =.x2n1(1 ax) n 16、limx0=.2練 習 題30m n1m nm n2xna7、當 x 0 時，對于 x 是a x 3 a(a 0)階無窮小 .等價，則sin3 xtan x sin x1、limx0； e e2、lim；xx0 x axa3m, n 2 .2二、求下列各 極限：8、當 x 10 時，無窮小 1 cos x 與 mxn12e3、lim sinx sin x ； 4、lim tan x tan a ；sec2 四、設f(x)=lim 2 1nx 2n求：1、 f ( x)的表達式 .2、確定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1)，x1limf ( x) f (1).x1x5lim ln(1 2 x ) ln(1 3 )x三、證明：若, 是無窮小，則 0( ).x 2n1 sin x cos(a bx)3 ln 22nox 11 . fx limx2n1 sin x cosa bx21x 1x 1x 1 x sin 2 xncosa bxx 11cosab 21cosab 22o. f 1 0 lim cosa