二次根式的概念與性質(zhì)

1、人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案二次根式的概念與性質(zhì)編稿：莊永春審稿：邵劍英責(zé)編：張楊一、目標(biāo)認(rèn)知1.學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由；理解并掌握下列結(jié)論：，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡2.重點(diǎn)：；，及其運(yùn)用3.難點(diǎn)：利用，解決具體問題 .二、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：二次根式的概念一般地，我們把形如(a0)?的式子叫做二次根式， “”稱為二次根號頁腳內(nèi)容 1人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案要點(diǎn)詮釋：二次根式的兩個(gè)要素：根指數(shù)為2；被開方數(shù)為非負(fù)數(shù) .知識點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)1.；2.；3.；4. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；5. 商

2、的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.要點(diǎn)詮釋：二次根式(a 0)的值是非負(fù)數(shù)，其性質(zhì)可以正用亦可逆用，正用時(shí)去掉根號起到化簡的作用；逆用時(shí)可以把一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成完全平方的形式，有利于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解 .頁腳內(nèi)容 2人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案知識點(diǎn)三：代數(shù)式形如 5， a， a+b，ab，x3，這些式子，用基本的運(yùn)算符號(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開方 )把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式 (algebraic expression).三、規(guī)律方法指導(dǎo)1.如何判斷一個(gè)式子是否是二次根式？(1)必須含有二次根號，即根指數(shù)為2；(2)被開方數(shù)可以

3、是數(shù)也可以是代數(shù)式但必須是非負(fù)的，否則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義.2.如何確定二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義必須滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).要確定被開方數(shù)中所含字母的取值范圍，可根據(jù)題意列出不等式，通過解不等式確定字母的取值范圍 .當(dāng)二次根式作為分母時(shí)要注意分母不能為零 .經(jīng)典例題透析類型一：二次根式的概念1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：頁腳內(nèi)容 3人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案、(x 0)、(x 0， y 0)思路點(diǎn)撥： 二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號“ ”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或 0解：二次根式有：、(x0)、(x0，y0)

4、；不是二次根式的有：、2、當(dāng) x 是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？思路點(diǎn)撥： 由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以 3x-10，?才能有意義解：由 3x-1 0，得： x當(dāng) x時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義總結(jié)升華： 要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)舉一反三【變式 1】x 是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？頁腳內(nèi)容 4人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案(1)；(2)；解： (1)由 0，解得： x 取任意實(shí)數(shù) 當(dāng) x 取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義 .(2)由 x-10，且 x-1 0，解得： x1 當(dāng) x 1時(shí)，二次根

5、式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義 .【變式 2】當(dāng) x 是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？思路點(diǎn)撥： 要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足中的 2x+30 和中的 x+1 0解：依題意，得由得： x-由得： x-1頁腳內(nèi)容 5人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案當(dāng) x -且 x-1時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義類型二：二次根式的性質(zhì)3、計(jì)算：(1)(2)(3)(4)(5)(b0)(6)思路點(diǎn)撥： 我們可以直接利用(a0)的結(jié)論解題解：(1)(2)= ；(3)；(4)=；(5)；(6)舉一反三【變式 1】計(jì)算：頁腳內(nèi)容 6人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案(1)；(2)

6、；(3)；(4).思路點(diǎn)撥： (1)因?yàn)?x 0，所以 x+1 0；(2)a2 0；(3)a2+2a+1=(a+1) 20；(4)4x2 -12x+9=(2x)2-2 2x3+32=(2x-3)20所以上面的 4 題都可以運(yùn)用的重要結(jié)論解題解： (1)因?yàn)?x 0，所以 x+10；(2)a2 0，；(3)a2+2a+1=(a+1)2又 (a+1)20， a2+2a+1 0，=a 2+2a+1；(4)4x2-12x+9=(2x)2 -22x3+3 2=(2x-3)2又 (2x-3)2 0 4x2-12x+90，=4x2-12x+9.頁腳內(nèi)容 7人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2）

7、教案4、化簡 :(1)；(2)；(3)；(4).思路點(diǎn)撥：因?yàn)?(1)9=32，(2)(-4)2=4 2，(3)25=52，(4)(-3)2=3 2，所以都可運(yùn)用去化簡解：(1)=3；(2)=4；(3)=5；(4)=3.5、填空：當(dāng) a0 時(shí)，=_；當(dāng) a 0 時(shí)，=_，?并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題(1)若=a ，則 a 可以是什么數(shù)？(2)若=-a ，則 a 可以是什么數(shù)？a，則 a 可以是什么數(shù)？思路點(diǎn)撥：=a(a 0)，要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“( )2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)椋?dāng) a 0 時(shí)，=，那么 -a0頁腳內(nèi)容 8人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二

8、次根式（ 2） 教案(1)根據(jù)結(jié)論求條件； (2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析， 逆向思想；(3)根據(jù) (1)、(2)可知，而要大于 a，只有什么時(shí)候才能保證呢？解： (1)因?yàn)?，所?a0；(2)因?yàn)?，所?a0；(3)因?yàn)楫?dāng) a0 時(shí)，要使，即使 aa 所以 a 不存在；當(dāng) a 0 時(shí)，要使，即使 -aa，即 a 0；綜上， a0.類型三：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用6、當(dāng) x=-4 時(shí)，求二次根式的值 .思路點(diǎn)撥： 二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法相同.解：將 x=-4 代入二次根式，得=.7、 (1)已知 y=+5，求的值(2)若+=0 ，求的值頁腳內(nèi)容 9人教版九年級第 2

9、1章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案解： (1)由可得，(2)8、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：23(1)x-5； (2)x -2x；解:(1)原式.(2)原式.學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題頁腳內(nèi)容 10人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案1.下列式子中，不是二次根式的是( )ABCD2.已知一個(gè)正方形的面積是5，那么它的邊長是 ( )A5BCD以上皆不對3.(福建省福州市 )若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x 的取值范圍為 ( )Ax 0Bx 0C x 0D x 0 且 x 14的值是()A0BC 4D以上都不對5a0 時(shí)，、，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是( )ABC

10、D頁腳內(nèi)容 11人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案6.(遼寧省大連市 ) 如圖，數(shù)軸上點(diǎn) N表示的數(shù)可能是()ABCD二、填空題1.若，則 x = _.2.若有意義，則的取值范圍是 _.3-=_4.=_.5.=_.頁腳內(nèi)容 12人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案6.若，則_.7.若，則_；若，則_.8.化簡：=_.9. 計(jì)算： (1)=_；(2)=_；(3)=_。10.(內(nèi)蒙古鄂爾多斯市 )如圖，在數(shù)軸上， A、B 兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有_個(gè)三、解答題1. 求下列二次根式中字母a 的取值范圍：頁腳內(nèi)容 13人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（

11、 2） 教案(1)，(2)；(3).32.某工廠要制作一批體積為 1m 的產(chǎn)品包裝盒，其高為 0.2m，按設(shè)計(jì)需要， ?底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？能力提升一、選擇題1.使式子有意義的未知數(shù)x 有( )個(gè)A0B1C2D無數(shù)2.(山西省臨汾市 ) 若，則與 3 的大小關(guān)系是 ( )ABCD3.下列計(jì)算正確的是 ( )ABCD4.(福建省廈門市 ) 下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是( )頁腳內(nèi)容 14人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案A.B.C.D.二、填空題1.若，則_.2若是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m 的最小值是 _3.已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則_.三、解答題1

12、.當(dāng) x 是多少時(shí)，+x2 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？2.若+有意義，求的值 .3.(北京市海淀區(qū))已知實(shí)數(shù)x，y 滿足頁腳內(nèi)容 15，求代數(shù)式的值 .人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案4.已知，求 x+y 的值 .綜合探究1.(福建省南安市 ) 觀察分析下列數(shù)據(jù)， 尋找規(guī)律：0，3，2，3，那么第 10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是 _.2.(江蘇省蘇州市 )等式中的括號應(yīng)填入 _.3先化簡再求值：當(dāng)a=9 時(shí)，求 a+的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式 =a+=a+(1-a)=1；乙的解答為：原式 =a+=a+(a-1)=2a-1=17兩種解答中， _的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是_4.

13、 若時(shí)，試化簡.5在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:(1)；(2).頁腳內(nèi)容 16人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案答案與解析基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、 1.D2.B3.D4.C5.A6.B二、1.162.3.-0.024.5.2-x6.7.8.9.(1)；(2)6； (3)-610.4三、1.解： (1) 由 a+1 0 ， 得 a -1字母 a 的取值范圍是大于或等于-1的實(shí)數(shù)。 0，得 1-2a 0，即 a字母 a 的取值范圍是小于的實(shí)數(shù)。(3) 因?yàn)闊o論 a 取何值，都有，所以 a 取值范圍是全體實(shí)數(shù)。解：設(shè)底面邊長為，則2=1，解答： x= 2.x0.2x頁腳內(nèi)容 17人教版九年級第 21章第 1 節(jié) 二次根式（ 2） 教案能力提升一、 1