矩形波導中電磁波的傳播模式

1、矩形波導中電磁波的傳播模式摘要人類進入 21 世紀的信息時代，電子與信息科學技術在飛速發(fā)展，要求人們制造各種高科技的儀器。在電磁學領域，能約束或引導電磁波能 所以我們有必要對波導中的電磁波傳播模式參數(shù)進行研究關鍵詞：矩形波導 TM波 TE波矩形波導由良導體制作而成，一般為了提高導電性能和抗腐蝕性能，在波導內壁鍍上一層高電導率的金或銀，是由矩形波導構成的。為了簡化分TEM波，只能傳輸 TE 波和 TM 波。設矩形波導寬為 a,高為 b,（）沿 Z 軸放置，如圖（1）所示。下面分別求解矩形波導中傳輸?shù)?TE波和 TM 波。1TM 波對于 TM 波，E 可以表示為;HzzE (x,y,z) E (x

2、,y)e jk z(1)zz0式中E (x,y)滿足齊次亥姆霍茲方程，故有0 E (x,y)k E (x,y)022(2)(3)0c0采用分離變量法解此方程，在直角坐標系中，令E (,)X(Y()0將（3）式代入（2）式中，并在等式兩邊同除以 ( ) ( )得：X x Y yX () Y ()k 02(4)X() Y()c上式中第一項僅是 X的函數(shù)，第二項僅是Y的函數(shù)，第三項是與Y無關的常數(shù)，要使上式對任何 、Y都成立，第一和第二項也應分別是常數(shù)，記為：X (x)Y (y) k k22X(x)Y(y)xy這樣就得到兩個常微分議程和 3 個常數(shù)所滿足的方程：X (x)k X(x) 02(5)(6

3、)x2Y (y)k Y(y)0yk k k222(7)cxy常微分方程（5）和（6）的通解為Y(x) C cos(k x)C sin(k x)(8)(9)1x2xY(y)C cos(k y)C sin(k y)3y4y將（8）式和（ 9）式代入（ 3）式，再代入（ 1）式，就得到的通解為EzE (x, y,z) C cos( k x) C sin( k x) C cos( k y) C sin( k y) e zzz1x2x3y4y由矩形波導理想導電壁的邊界條件 0 4 個理想E導電壁上， 是切向分量，因此有：Ez（1） 在 0的波導壁上，由 ( , )0得 0；XE x y zCz1（2）

4、在 0的波導壁上，由 ( , )0得C 0；E x yYz3z（3） 在 ( , , )0有sin(k a) 0X aE x a y zzxk a ，其中mx1.,2,3為整數(shù)，由此得mk （10）xa（4）在 的波導壁上，要使 ( , , )0有，sin( ) 0X bE x y b zk bzy從而必定有k b n，其中 1.,2,3 也為整數(shù)，由此得ynbk (11)y將以上利用邊界條件求出的常數(shù)代入后，波導中 TM 波的電場縱向分量為nmE (x,y,z) E sin( )sin( )（12）z0abE C C ，由電磁波源確定。024在無源區(qū)，麥克斯韋方程組中的兩個旋度方程為：H j

5、 EE j HE(x,y,z) E (x,y,)e zz0H(x,y,z) H (x,y)ejk zz0將 3 個矢量方程分解為 6 個標量方程：H H j Ez（13）yzyxHx jk H j Ez(13b)zxyHH j Eyx（13c)(13d)x yzE jk E j HzyzyxE jk E j Hz（ ）13xzxyEE j Hyx(13f)x yz由（13）和（13）以及（13b）和（13d）可得:1EHyE ( )zz（14a)xkx2zc1EHxE (jk j)z(14b)zyky2zc1EHxH (j jk)zz(14c)(14d)ykx2zc1EHH ( zzxyky2

6、zc將（18）式代入（20）式中，就可以得到波導中波的其他場分量nk mmE (x,y,z) j ( )E cos( x)sin( y)e zz2（14）zk a0abxck nnmE (x,y,z) j ( )E sin( y)cos( x)ejk zzz(14b)k bc0aby2 nnmH (x,y,z) j ( )E sin( y)cos( )e jk zz(14c)k bc0abx2 nmmH (x,y,z) j ( )E x) y)e z（14d)zk ac0aby2n 2 2mk 2其中（15）（15） a b ck k k222zc從式（13）式中可以看出：（1） 矩形波導中的

7、 TM 波 , 至少一個從零開始，否則全部的場分量為零，m n當 , 對應有無限多組解；m n（2） 對于給定 , 值的每一組解，如果 為實數(shù)，其場為沿 Z 方向傳播的非km nz均勻平面波，在 、Y 方向為駐波分布， , 分別表示在寬邊和窄邊上m n駐波的波腹個數(shù)；（3） 對于不同 , 值的場，有兩方面不同：一是橫截面的場分布不同：二是m n沿傳播方向的 不同。我們將波導中一對 , 值對應的一個 TM 模式，km nz記作TM 。mn2TE 波對于 TE波, 0,用求解 TM 波的方法可以得到 TE波各場分量的表達式:Ez mnH (x,y,z) H cos xcos yejk zz(16a

8、)z0 a b nk mmH (x,y,z) j ( )H sin x ye zz2(16b)zk ac0 a b x nk nmH (x,y,z) j ( )H xsin ye zz2（16）zk bc0 a b y nnmE (x,y,z) j ( )H xsin ye z(16d)zk bc0 a b x2 nmmE (x,y,z) j ( )H sin xcos yejk zz (16e)k ac0 a b y2由上式可以看出：(1)矩形波導中的波中的不可同時為零，當 , 值取不同值的m,nm n無限多組解；對于給定值，如果 為實數(shù)，其場為沿方向傳播的非均勻平面波，在km,nz、方向為駐波分布， , 也分別表示在寬邊和窄邊上駐波的波腹的個數(shù)。m nm 或 n 等于零意味著場在對應方向無變化，是均勻的；對于不同值的場，也同樣有兩個方面不同：一是橫截面的場分布不同；m,n二是沿傳播方向的 , km nz模式，記作TE 。如當 對應的模應為TE 。mnmn10上述的TM 和TE 模統(tǒng)稱為矩形波導內的正規(guī)模，具有很重要的特性。容易mnmn看出矩形波導內的正規(guī)模構成了一個完備的正交系。所以，波導內傳輸?shù)娜我怆姶挪梢员硎緸檎?guī)模的線性疊加。這就是正規(guī)模的正交性和完備性。所謂正交性是指正規(guī)模能夠獨立存在，能量互不耦合；所謂完備性是指任意電磁波都可以用