第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-青島科技大學(xué)-自動化與電子工

1、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4 數(shù)學(xué)模型的實(shí)驗測定法1 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型2 控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型3 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的時域域數(shù)學(xué)模模型微分方程程是描述述自動控控制系統(tǒng)統(tǒng)時域動動態(tài)特性性的最基基本模型型，微分分方程又又稱之為為控制系系統(tǒng)時域域內(nèi)的運(yùn)運(yùn)動方程程。例:圖示示是由R、電感感L和電電容C組組成的無無源網(wǎng)絡(luò)絡(luò)，寫出出以為為輸輸入量，以為為輸出量量的網(wǎng)絡(luò)絡(luò)微分方方程。1線線性元元件的微微分方程程圖2.1RLC無源網(wǎng)絡(luò)絡(luò)控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的時域域數(shù)學(xué)模模型解：消去中間間變量得得到微微分方程程：控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的時域域

2、數(shù)學(xué)模模型例求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機(jī)機(jī)械位移移系統(tǒng)的的微分方方程。輸輸入量為為外力F，輸出量為為位移x。mfmFF圖2圖1解：圖1和圖2分別為系系統(tǒng)原理理結(jié)構(gòu)圖圖和質(zhì)量量塊受力力分析圖圖。圖中中，m為質(zhì)量，f為粘性阻阻尼系數(shù)數(shù)，k為彈性系系數(shù)。根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量?？刂葡到y(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的時域域數(shù)學(xué)模模型編寫系統(tǒng)統(tǒng)微分方方程的步步驟：1.確定定系統(tǒng)的的輸入量量和輸出出量；2.將系系統(tǒng)分解解為各環(huán)環(huán)節(jié)，依依次確定定各環(huán)節(jié)節(jié)的輸入入量和輸輸出量量,根根據(jù)各環(huán)環(huán)節(jié)的物物理規(guī)律律寫出各各環(huán)節(jié)的的微分方方程；3.消去去中間

3、變變量，求求出系統(tǒng)統(tǒng)的微分分方程。控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的時域域數(shù)學(xué)模模型2控制系統(tǒng)統(tǒng)微分方方程的建建立負(fù)載-+- + 功率 放大器測速發(fā)電機(jī)例：編寫寫下圖所所示的速速度控制制系統(tǒng)的的微分方方程。解：該系統(tǒng)的組成和原理； 該系統(tǒng)的輸出量是 ，輸入量是 ，擾動量是測速-運(yùn)放運(yùn)放功放電動機(jī)速度控制制系統(tǒng)方方塊圖：各環(huán)節(jié)微分方程：運(yùn)放： ， 運(yùn)放： 功率放大： ，反饋環(huán)節(jié)：電動機(jī)環(huán)節(jié)：消去中間變量：推出 之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速 既與輸入量 有關(guān)，也與干擾 有關(guān)?？刂葡到y(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的時域域數(shù)學(xué)模模型3、線性系系統(tǒng)的基基本特性性線性系統(tǒng)統(tǒng)的重要要性質(zhì)是是可以應(yīng)應(yīng)用疊加加原理。疊加

4、原原理有兩兩重含義義。疊加性均勻性控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的時域域數(shù)學(xué)模模型4、線性方方程的求求解研究控制制系統(tǒng)在在一定的的輸入作作用下，輸出量量的變化化情況。方法有有經(jīng)典法，拉氏變變換法。在自動動系統(tǒng)理理論中主主要使用用拉氏變變換法。拉氏變換換求微分分方程解解的步驟驟：對微分方方程兩端端進(jìn)行拉拉氏變換換，將時時域方程程轉(zhuǎn)換為為s域的代數(shù)數(shù)方程。求拉氏反反變換，求得輸輸出函數(shù)數(shù)的時域域解?？刂葡到y(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的時域域數(shù)學(xué)模模型5非線性微微分方程程的線性性化在經(jīng)典控控制領(lǐng)域域，主要要研究的的是線性定常常控制系系統(tǒng)。如果描描述系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型是是線性常常系數(shù)的的微分方方程，則

5、則稱該系系統(tǒng)為線線性定常常系統(tǒng)，其最重重要的特特性便是是可以應(yīng)應(yīng)用線性性疊加原原理，即即系統(tǒng)的的總輸出出可以由由若干個個輸入引引起的輸輸出疊加加得到。若描述系系統(tǒng)的數(shù)數(shù)學(xué)模型型是非線線性（微微分）方方程，則則相應(yīng)的的系統(tǒng)稱稱為非線線性系統(tǒng)統(tǒng)，這種種系統(tǒng)不不能用線線性疊加加原理。在經(jīng)典典控制領(lǐng)領(lǐng)域?qū)Ψ欠蔷€性環(huán)環(huán)節(jié)的處處理能力力是很小小的。但但在工程程應(yīng)中，除了含含有強(qiáng)非非線性環(huán)環(huán)節(jié)或系系統(tǒng)參數(shù)數(shù)隨時間間變化較較大的情情況，一一般采用用近似的的線性化化方法。對于非線線性方程程，可在在工作點(diǎn)點(diǎn)附近用用泰勒級級數(shù)展開開，取前前面的線線性項。可以得得到等效效的線性性環(huán)節(jié)。控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)

6、的時域域數(shù)學(xué)模模型設(shè)具有連連續(xù)變化化的非線線性函數(shù)數(shù)為:y=f(x)，若取某一一平衡狀狀態(tài)為工工作點(diǎn)，如下圖圖中的。A點(diǎn)附近有點(diǎn)點(diǎn)為，當(dāng)很很小時時，AB段可近似似看做線線性的。AByx0控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的時域域數(shù)學(xué)模模型設(shè)f(x)在 點(diǎn)連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點(diǎn)展開為泰勒級數(shù)，得：若 很小，則 ，即 式中，K為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點(diǎn)附近展開。 AByx0控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的復(fù)域域數(shù)學(xué)模模型傳遞函數(shù)數(shù)是經(jīng)典典控制理理論中最最重要的的數(shù)學(xué)模模型之一一。利用用傳遞函函數(shù)，可可以：不必求解解微分方方

7、程就可可以研究究零初始始條件系系統(tǒng)在輸輸入作用用下的動動態(tài)過程程。了解系統(tǒng)統(tǒng)參數(shù)或或結(jié)構(gòu)變變化時系系統(tǒng)動態(tài)態(tài)過程的的影響-分析可以對系系統(tǒng)性能能的要求求轉(zhuǎn)化為為對傳遞遞函數(shù)的的要求-綜合控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的復(fù)域域數(shù)學(xué)模模型1、傳遞函函數(shù)的定定義和性性質(zhì)定義：線性定定常系統(tǒng)統(tǒng)在零初初始條件件下輸出出量的拉拉氏變換換與輸出出量的拉拉氏變換換之比。式中：x(t)輸入，y(t) 輸出為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：將上式求求拉氏變變化，得得(令初始值值為零）控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的復(fù)域域數(shù)學(xué)模模型稱為環(huán)節(jié)節(jié)的傳遞遞函數(shù)性質(zhì)1)傳遞函數(shù)數(shù)是系統(tǒng)統(tǒng)（或環(huán)環(huán)節(jié)）在在復(fù)數(shù)域域中的數(shù)數(shù)

8、學(xué)模型型，是固固有特性的的描述，反映了了線性定定常系統(tǒng)統(tǒng)輸入量量和輸出出量之間間的一種關(guān)關(guān)系式。2)傳遞函數(shù)數(shù)只取決決于系統(tǒng)統(tǒng)本身的的結(jié)構(gòu)參參數(shù)，與與外界輸輸入無關(guān)關(guān)控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的復(fù)域域數(shù)學(xué)模模型3)傳遞函數(shù)數(shù)是復(fù)變變量s的有理真真分式函函數(shù)，即即mn。（m、n分別別為分子子、分母母的最高高階次次。）4)若輸入為為單位脈脈沖函數(shù)數(shù)，即r(t)=(t)，則R(s)=Lr(t)=1， 則這說明此此時系統(tǒng)統(tǒng)的g(t)與傳遞函函數(shù)G(s)有單值對對應(yīng)關(guān)系系，它們們都可以以用來表表征系統(tǒng)統(tǒng)的動態(tài)態(tài)特性。5)閉環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)傳遞函函數(shù)G(s)的分母并并令其為為0，就是系系統(tǒng)的特特征方程程?？?/p>

9、制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖1.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)構(gòu)圖的組組成和繪繪制圖模型的的一個突突出優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)是直觀觀、形象象，是工工程上用用來分析析復(fù)雜系系統(tǒng)的重重要手段段。方塊塊圖組成成的四個個基本單單元：（a）信號線線；（b）分支點(diǎn)點(diǎn)(又叫測量量點(diǎn))；（c）比較點(diǎn)點(diǎn)(又叫求和和點(diǎn))；（d）方塊（又叫環(huán)環(huán)節(jié)）；系統(tǒng)的方方塊圖實(shí)實(shí)質(zhì)上是是將原理理圖與數(shù)數(shù)學(xué)方程程兩者結(jié)結(jié)合起來來，它一一種對系系統(tǒng)的全全面描寫寫。例利用結(jié)構(gòu)構(gòu)圖等效效變換討討論兩級級RC串聯(lián)電路路的傳遞遞函數(shù)。解：不能把把左圖簡簡單地看看成兩個個RC電路的串串聯(lián),有負(fù)載效效應(yīng)。根根據(jù)電路路定理，有以下下式子：-控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)

10、學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖-總的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖如下下：控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖2、結(jié)構(gòu)圖圖的等效效變換：環(huán)節(jié)的合合并；-串聯(lián)-并聯(lián)-反饋連接接信號分分支點(diǎn)或或相加點(diǎn)點(diǎn)的移動動。原則：變換前后后環(huán)節(jié)的的數(shù)學(xué)關(guān)關(guān)系保持持不變?？刂葡到y(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖1、串聯(lián)運(yùn)運(yùn)算法則則因為結(jié)論：多多個環(huán)節(jié)節(jié)串聯(lián)后后總的傳傳遞函數(shù)數(shù)等于每每個環(huán)節(jié)傳遞函函數(shù)的乘乘積。G(s) =G1(s)G2(s)Gn(s)控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖2、并聯(lián)運(yùn)運(yùn)算法則則因為所以結(jié)論：多個環(huán)節(jié)節(jié)并聯(lián)后后的傳遞遞函數(shù)等等于所有有并聯(lián)環(huán)節(jié)

11、傳遞遞函數(shù)之之和。G(s) =G1(s)+G2(s)+Gn(s)控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖3、反饋運(yùn)運(yùn)算法則則前向通道道和反饋饋通道傳傳遞函數(shù)數(shù)分別為為G(s)、H(s) 結(jié)論：具具有有負(fù)反饋饋結(jié)構(gòu)環(huán)環(huán)節(jié)傳遞遞函數(shù)等等于前向向通的傳遞函函數(shù)除以以1加（若正正反饋為為減）前前向通道道與反饋通道傳傳遞函數(shù)數(shù)的乘積積?？刂葡到y(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)構(gòu)圖如下下，求傳傳遞函數(shù)數(shù)。-+相加點(diǎn)移移動控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的

12、結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖解：結(jié)構(gòu)圖圖等效變變換如下下：-+控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖-+控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖4、閉環(huán)系系統(tǒng)的傳傳遞函數(shù)數(shù)：閉環(huán)控制制系統(tǒng)（也稱反反饋控制制系統(tǒng)）的典型型結(jié)構(gòu)圖圖如下圖圖所示：-+ 圖中， ， 為輸入、輸出信號， 為系統(tǒng)的偏差， 為系統(tǒng)的擾動量，這是不希望的輸入量。 控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖（一）給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：令 ，則有：-輸出量為為：上式中， 稱為前向通道傳遞函數(shù)，前向通道指從輸入端到輸出端沿信號傳送方向的通道。前向通道和反饋通道的乘積稱為開環(huán)傳遞函數(shù) 。含義是主反饋通道斷開時從輸入信號到反饋信號 之間的傳遞函數(shù)。控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖系統(tǒng)偏差差傳遞函函數(shù)：-控制系統(tǒng)統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)模型控制系統(tǒng)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)圖與信信號流圖圖（二）擾動動作用下下的閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)：此時R(s)=0,結(jié)構(gòu)圖如如下：輸出對擾擾動的傳傳遞函數(shù)數(shù)為：-+一般要求由