空間位置關系證明與空間角的計算限時規(guī)范訓練及解析

文檔編碼:CG2U2L4M6X5——HW1E7S1V2R8——ZR5L4F6X3Y10空間位置關系證明與空間角的運算限時規(guī)范訓練及解析〔建議用時45分鐘〕解答題〔解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟 〕1．如圖,在四棱錐 P-ABCD中,ABCD為平行四邊形,且 BC⊥平面PAB,PA⊥AB,M為PB的中點,PA＝AD＝2.〔1〕求證：PD∥平面AMC；〔2〕如AB＝1,求二面角B-AC-M的余弦值．解：〔1〕證明：連接BD,設BD與AC相交于點O,連接OM,由于四邊形ABCD為平行四邊形,所以點O為BD的中點,又由于M為PB的中點,所以OM為△PBD的中位線,

所以OM∥PD,

又由于OM.平面AMC,PD.平面AMC,所以PD∥平面AMC.〔2〕由于BC⊥平面PAB,AD∥BC,所以AD⊥平面PAB,

又由于PA⊥AB,所以AB,AD,AP兩兩垂直,故可以建立空間直角坐標系 A-xyz〔如圖所示〕,就A〔0,0,0〕,B〔1,0,0〕,D〔0,2,0〕,C〔1,2,0〕,P〔0,0,2〕,M12,0,1.→ → →所以AB＝〔1,0,0〕,AC＝〔1,2,0〕,AM＝12,0,1,→由于PA⊥平面ABCD,故平面ABC的一個法向量為AP＝〔0,0,2〕,設平面AMC的法向量n＝〔x1,y1,z1〕,就 →n·AC＝0,即x1＋2y1＝0,令z1＝1,就x1x1

2＋z1＝0, →n·AM＝0,＝－2,y1＝1,可取n＝〔－2,1,1〕, →

從而cos〈AP → ,n〉＝AP→ ·n ＝|AP|·|n|2× 2

－2 2＋12＋12＝ 6

6,故所求二面角B-AC-M的余弦值為6

6.2．〔2022·河南省鄭州市高三質(zhì)檢〕正△ABC的邊長為2,CD是AB邊上的高,E、F分別是AC和BC的中點〔如圖〔1〕〕．現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B〔如圖〔2〕〕．在圖〔2〕中：〔1〕求證：AB∥平面DEF；〔2〕在線段BC上是否存在一點P,使AP⊥DE？證明你的結論；〔3〕求二面角E-DF-C的余弦值．

解：〔1〕證明：在△ABC中,由于E、F分別是AC、BC的中點,所以EF∥AB,又AB.平面DEF,EF.平面DEF,所以AB∥平面DEF.〔2〕以點D為坐標原點,以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系．就A〔0,0,1〕,B〔1,0,0〕,C〔0,3,0〕,E0,2,12,＝F12,3 →2,0,AB →

＝〔1,0,－1〕,BC＝〔－1, →

3,0〕,DE＝0, →2,12,DF1

2, 3

2,0.→ → → → →設BP＝λBC,就AP＝AB＋BP＝〔1－λ,3λ,－1〕,→ → → →留意到AP⊥DE.AP·DE＝0.λ＝13.BP＝13BC,所以在線段BC上存在點P,使AP⊥DE. →

〔3〕平面CDF的一個法向量DA＝〔0,0,1〕,設平面EDF的法向量為n＝〔x,y,z〕,就→

DF·n＝0,3,3〕,217.→

DE·n＝0,即x＋3y＝0,取n＝〔3,－3y＋z＝0, →cos〈DA →

,n〉＝DA→ ·n|DA|·|n|＝21

7,所以二面角E-DF-C的余弦值為3．如圖,已知在直四棱柱〔側棱垂直底面的棱柱〕ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥DC,AB∥DC,DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.〔1〕求證：DB⊥平面B1BCC1；

〔2〕求BC1與平面A1BD所成角的正弦值．解：〔1〕證明：以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為 x軸,y軸,z軸建立如以下圖的空間直角坐標系,就B1〔1,1,2〕,C〔0,2,0〕．D〔0,0,0〕,B〔1,1,0〕,C1〔0,2,2〕,A1〔1,0,2〕,→ → →DB＝〔1,1,0〕,BC＝〔－1,1,0〕,BB1＝〔0,0,2〕． →＝0,∴BD →

⊥BB1∴BD⊥BB1.→ → →BD·BC＝1－1＝0.BD→ →⊥BC.BD⊥BC,BD →

·BB1又∵B1B∩BC＝B,∴BD⊥平面B1BCC1.〔2〕設n＝〔x,y,z〕為平面A1BD的一個法向量．→ → → →由n⊥DA1,n⊥DB,DA1＝〔1,0,2〕,DB＝〔1,1,0〕,x＋2z＝0,得 取z＝1,就n＝〔－2,2,1〕．x＋y＝0.→又BC1＝〔－1,1,2〕．設BC1與平面A1BD所成的角為θ, →就sinθ＝|cos〈n,BC1 → 〉|＝|n·BC1→ |＝ |BC1||n|6 ＝9 6

3,6×即BC1與平面A1BD所成角的正弦值為6

3.4．在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,BC＝2AD＝4,AB＝CD＝ 10.〔1〕證明：BD⊥平面PAC；〔2〕如二面角A-PC-D的大小為45°,求AP的值．解：〔1〕證明：設O為AC與BD的交點,作DE⊥BC于點E.由四邊形ABCD是等腰梯形得CE＝BC－AD2 ＝1,DE＝ DC2－CE2＝3,所以BE＝DE,從而得∠DBC＝∠BCA＝45°.所以∠BOC＝90°,即AC⊥BD.由PA⊥平面ABCD,得PA⊥BD,又由于PA∩AC＝A,所以BD⊥平面PAC.〔2〕法一：作OH⊥PC于點H,連接DH.由〔1〕知DO⊥平面PAC,故DO⊥PC.所以PC⊥平面DOH,從而得PC⊥DH.故∠DHO是二面角A-PC-D的平面角,所以∠DHO＝45°.由∠DBC＝∠BCA＝45°,BC＝4,得OC＝22.同理可得OA＝ 2,從而得AC＝32.設PA＝x,就PC＝ x2＋18.在Rt△DOH中,由DO＝ 2,∠DHO＝45°,得OH＝ 2.在Rt△PAC中,由PAPC＝OHOC,可得 x2＋18 x ＝22, 2解得x＝ 6,即AP＝ 6.法二：由〔1〕知AC⊥BD.以O為原點,OB,OC所在直線為x軸,y軸,建立空間直角坐標系O-xyz,如以下圖．由題意知各點坐標如下：A〔0,－2,0〕,B〔22,0,0〕,C〔0,22,0〕,D〔－2,0,0〕．由PA⊥平面ABCD,得PA∥z軸,故設點P〔0,－2,t〕〔t＞0〕． →設向量m＝〔x,y,z〕為平面PDC的法向量,由CD＝〔－ →2,－22,0〕,PD＝〔－2,