概率論5分布函數(shù)連續(xù)型課件

為了對離散型的和連續(xù)型的隨機變量以及更廣泛類型的隨機變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，我們引進了分布函數(shù)的概念.為X的分布函數(shù).也常記為FX(x)

設(shè)X為r.v.,x是任意實數(shù),稱函數(shù)一、定義]]xab（]用分布函數(shù)計算X落在(a,b]里的概率:2.3隨機變量的分布函數(shù)及其性質(zhì)

因此,只要知道了隨機變量X的分布函數(shù),它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.定理1.(分布函數(shù)的特征性質(zhì))(1)(非降性)F(x)單調(diào)不減，即(3)(右連續(xù)性)F(x)右連續(xù)，即(2)(有界性)F(x)=P{X≤x}用分布函數(shù)表示概率注2

任一函數(shù)F(x)為分布函數(shù)的充分必要條件為：F(x)滿足上述三條性質(zhì)。注1分布函數(shù)也可定義為這樣定義的分布函數(shù)仍滿足性質(zhì)1－3，但性質(zhì)3應(yīng)改為左連續(xù)性。例1設(shè)離散型隨機量是X的概率分布為

X

01２P0.20.50.3(1)求X的分布函數(shù)F(x),并畫出F(x)的圖形；(2)求P二、舉例解(1)由于X只可能取,0,1,2,故當x<0時,當0≤x<1時,當1≤x<2時,當2≤x時,歸納上述結(jié)果得=0+F(1)－F(－1)=0.7

0.20.71F(x)單調(diào)非降右連續(xù),滿足分布函數(shù)三條基本性質(zhì)不難看出,F(x)的圖形是階梯狀的,在x=0,1,2處有跳躍,其躍度分別等于012X

x1x2…xk

…

P

p1p2…

pk…其中表示對滿足的一切下標i求和。則其分布函數(shù)為一般地,若離散型隨機變量X的分布律為注意:F(x)是(-,+)上的分段階梯函數(shù),間斷點就是隨機變量X的取值點,除最左邊那段是開區(qū)間外,其余各段都是左閉右開的區(qū)間.特別地，若隨機變量以概率1取常數(shù)，即則稱這個分布為單點分布或退化分布，它的分布函數(shù)為例2向平面上半徑為1的圓D內(nèi)任意投擲一個質(zhì)點,以X表示該質(zhì)點到圓心的距離.設(shè)這個質(zhì)點落在D中任意小區(qū)域內(nèi)的概率與這個小區(qū)域的面積成正比,試求X的分布函數(shù).解當

x<0時,當0≤x≤1,可得其中k為比例常數(shù),又因為P{0X1}=1,故k=1.當x>1時,綜上所述,X的分布函數(shù)為11用分布函數(shù)描述隨機變量不如分布律直觀,對非離散型隨機變量,是否有更直觀的描述方法??ab請看下節(jié)！總結(jié)一、定義二、舉例若離散型隨機變量X的分布律為則其分布函數(shù)為作業(yè)：P3310，11，12.上課手機關(guān)了嗎？2.4連續(xù)型隨機變量定義

設(shè)X是隨機變量,F(x)是它的分布函數(shù).若存在一個非負可積函數(shù)

f(x)(－<x<＋),使得則稱X是連續(xù)型r.v.,

f(x)是它的概率密度函數(shù)(p.d.f.)一、連續(xù)型r.v.的概念由定義可知,連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),是密度函數(shù)的變上限的定積分.由上式可得,在f(x)的連續(xù)點,

(2)規(guī)范性Th1(密度函數(shù)的特征性質(zhì))(1)非負性

f(x)0,(－<x<＋);注1改變概率密度函數(shù)f(x)在個別點的函數(shù)值不影響公式(2)規(guī)范性,故對固定的分布函數(shù),概率密度函數(shù)不唯一.注2滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)必是某一隨機變量的密度函數(shù).故常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性r.v.的p.d.f.(求f(x)中未知參數(shù)!)Th2

設(shè)連續(xù)型r.v.X

的分布函數(shù)(c.d.f.)為F(x),概率分布密度函數(shù)為f(x),則(2)若x是f(x)的連續(xù)點,則(1)F(x)為連續(xù)函數(shù);(3)對任意實數(shù)c,則P{X=c}＝0.因為:(4)可見,密度函數(shù)全面描述了連續(xù)型隨機變量的規(guī)律.(——求F(x)中未知參數(shù)!)注1.

幾何意義:它是以(a,b]為底,以曲線y=f(x)為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e.面積為1f(x)注2.由P(A)=0不能推出A=φ;由P(B)=1不能推出B=Ω.注3.當Δx

很小時,EX2設(shè)隨機變量X的概率密度為求常數(shù)a.1證明為概率分布密度函數(shù).1證★密度函數(shù)值f(a)并不反映X取a值的概率.但這個值越大,X取a附近值的概率就越大.也可以說,在某點密度曲線的高度,反映了概率集中在該點附近的程度.1)求X的分布函數(shù)F(x);2)求P{X(0.5,1.5)}解：例1.已知隨機變量X的概率密度為當x<0時,F(x)=當0￡x<1時，

f(x)是分段函數(shù),求F(x)時要分段求.=0P{X(0.5,1.5)}=當1￡x<2時,當x2時,必然事件!=1F(1.5)-F(0.5)=3/4例2.設(shè)X的密度函數(shù)為試確定常數(shù)A,并求解：例3.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為(1)求常數(shù)A的值;(2)求X取值在區(qū)間(0.3,0.7)的概率;(3)求X的概率密度.解:定義p(1)＝2,則(1)∵F(x)為連續(xù)函數(shù)二、幾個常用的連續(xù)型分布則稱X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記作

X~U(a,b)1.均勻分布

U(a,b)若r.v.X的p.d.f.為f(x)abx01注2均勻分布的特征性質(zhì)：X服從均勻分布U(a,b)的充分必要條件是(1)X落在(a,b)概率為1,落在區(qū)間外的概率為0;(2)X落在(a,b)子區(qū)間上概率與子區(qū)間長度成正比.注1

對任意實數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有說明r.v.X落在(a,b)區(qū)間上任一點的可能性都相同.注3均勻分布的分布函數(shù)：P36例12當x≤a時,F(x)=當a<x≤b時，=0當x>b時,必然事件!=1F(x)abx011545解：設(shè)A—乘客候車時間超過10分鐘X—乘客于某時X分鐘到達，則XU(0,60)例4.公共汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車,設(shè)乘客不知發(fā)車時間,于每小時的任意時刻隨機地到達車站,求乘客候車時間超過10分鐘的概率.2.指數(shù)分布

則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布.若r.v.X的p.d.f.為其分布函數(shù):例5.電子元件的壽命X(年)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布.(1)求該電子元件壽命超過2年的概率;(2)已知該電子元件已使用了1.5年,求它還能使用兩年的概率.解1－F(2)

1－F(3.5)1－F(1.5)e－6非負的連續(xù)型r.v.X服從指數(shù)分布的充分必要條件是:無記憶性例6.某公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為T，設(shè)[0，t]時段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為t的泊松分布，求T的概率密度。解當t≤0時，當t>0時，=1-{在t時刻之前無汽車過橋}于是F(t)=P{T≤t}F(t)=

0F(t)=P{T≤t}=1-P{T>t}=1-P{Xt

=0}3.Gamma分布說明其中——α=1的Γ分布即為參數(shù)為λ的指數(shù)分布E(λ)正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯(Gauss)加以推廣,所以通常稱為高斯分布.德莫佛德莫佛（DeMoivre)最早發(fā)現(xiàn)了二項分布的一個近似公式,這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.4.正態(tài)分布(I)正態(tài)分布的定義若X的p.d.f.為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù),亦稱高斯(Gauss)分布(II)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形特點f(+x)=f(-x)在x=

時,f(x)取得最大值曲線

y=f(x)在x=±

對應(yīng)點處有拐點曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀(鐘形曲線)關(guān)于直線x=

對稱,即中間大兩頭小2)決定隨機變量取值的分散程度,固定

,圖形由確定:1)決定圖形的中心位置，固定,圖形形狀不變,改變,圖形平移.越大,圖形越扁平,X落在附近概率越小,即取值越分散;越小,圖形越尖峭,X落在附近概率越大,即取值越集中.實例

年降雨量問題，我們用上海99年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖。從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態(tài)分布。下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的正態(tài)密度曲線可見，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布.人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個方面反映了服從正態(tài)分布的隨機變量的特點。除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高外,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.(III)、設(shè)X~,X的分布函數(shù)是一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為其值有專門的表供查（P.222）——標準正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)x面積為1-xxP{-a<X<a}=Φ(a)－Φ(-a)=Φ(a)－[1－Φ(a)]解例7.設(shè)X～N(0,1),查表計算P222附表1=0.9772對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換即：

~N(0

,1)例8.

設(shè)X~N(1,4),求P(0X1.6)解P222附表1=0.6179-(1-0.6915)=0.3094例9.已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解.由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當X～N(0,1)時，

3準則P(|X|3)=2(3)-1=0.9974P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1