利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件

3.33.3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練考點(diǎn)一考點(diǎn)二第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二考點(diǎn)四3.3理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練考點(diǎn)一考點(diǎn)二第三章利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件3．3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值3．3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件在群山之中，各個(gè)山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近所有點(diǎn)的最高點(diǎn)．同樣，各個(gè)谷底雖然不一定是群山之中的最低處，但它卻是附近所有點(diǎn)的最低點(diǎn)．群山的最高處是所有山峰中的最高者的頂部，群山中的最低處是所有谷底中的最低者的底部．如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖象．在群山之中，各個(gè)山峰的頂端，問題1：y＝f(x)在x＝a處的導(dǎo)數(shù)f′(a)等多少？提示：f′(a)＝0.問題2：當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)取最大值嗎？提示：不是，但f(a)比x＝a附近的函數(shù)值都大．問題3：在x＝a附近兩側(cè)導(dǎo)數(shù)f′(x)的符號(hào)有什么特點(diǎn)？提示：左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0.問題4：當(dāng)x＝d時(shí)，請(qǐng)回答以上問題．提示：①f′(d)＝0；②f(d)比x＝d附近的函數(shù)值都??；③在x＝d附近左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0.問題1：y＝f(x)在x＝a處的導(dǎo)數(shù)f′1．極值點(diǎn)與極值的概念已知函數(shù)y＝f(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x0，對(duì)于存在一個(gè)包含x0的開區(qū)間內(nèi)的所有點(diǎn)x，如果都有

，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極大值，記作

，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；如果都有

，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極小值，記作

，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，

和統(tǒng)稱為極值點(diǎn)．f(x)<f(x0)y極大值＝f(x0)f(x)>f(x0)y極小值＝f(x0)極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)1．極值點(diǎn)與極值的概念f(x)<f(x0)y極

2．求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)極值的步驟

(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；

(2)求方程

的所有實(shí)數(shù)根；

(3)對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)如何變化，如果f′(x)的符號(hào)

，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號(hào)

，則f(x0)是極小值．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右側(cè)符號(hào)

，則f(x0)不是極值．f′(x)＝0由正變負(fù)由負(fù)變正不變2．求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)極值的步驟f′(x)假設(shè)函數(shù)y＝f(x)、y＝g(x)、y＝h(x)在閉區(qū)間[a，b]的圖象都是一條連續(xù)不斷的曲線(如下圖所示)．假設(shè)函數(shù)y＝f(x)、y＝g(x)、y＝h(問題1：這三個(gè)函數(shù)在[a，b]上一定能取得最大值與最小值嗎？提示：能．問題2：函數(shù)的極值一定是最大值或最小值嗎？提示：不一定，最大值或最小值也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值．問題3：如何求函數(shù)的最大值和最小值？提示：比較極值與端點(diǎn)的函數(shù)值，最大的為最大值，最小的為最小值．問題1：這三個(gè)函數(shù)在[a，b]上一定能取得最大1．函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最值假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是

的曲線，該函數(shù)在[a，b]一定能夠取得最大值與最小值，若函數(shù)在(a，b)是可導(dǎo)的，該函數(shù)的最值必在或

取得．

2．求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]的最大(小)值的步驟

(1)求f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)所有

；

(2)計(jì)算函數(shù)f(x)在

和

函數(shù)值，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．一條連續(xù)不斷極值點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)端點(diǎn)的1．函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最值一條連續(xù)不1．一個(gè)點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)不但滿足此點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為零，還要滿足在此點(diǎn)附近左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性相反，單調(diào)性一致時(shí)，不能作為極值點(diǎn)，如f(x)＝x3，x＝0滿足f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)．

2．函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念，它反映的是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值的大小情況．

3．在定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)極大值或極小值并不一定唯一，也可能不存在極值，并且極大值不一定大于極小值．1．一個(gè)點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)不但滿足此點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為4．函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最大(小)值至多只能有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值．4．函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件[思路點(diǎn)撥]解答本題可先求使f′(x)＝0成立的點(diǎn)，再結(jié)合定義域研究這些點(diǎn)附近左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷極值．[思路點(diǎn)撥]解答本題可先求使f′(x)＝0利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件[一點(diǎn)通]

求極值的方法：

(1)求f′(x)＝0在函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(2)用方程f′(x)＝0的根將定義域分成若干小區(qū)間，列表；

(3)由f′(x)在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判斷f′(x)＝0的根處的極值情況．[一點(diǎn)通]求極值的方法：1．函數(shù)y＝2－x2－x3的極值情況是 (

)A．有極大值，沒有極小值B．有極小值，沒有極大值C．既無極大值也無極小值D．既有極大值又有極小值1．函數(shù)y＝2－x2－x3的極值情況是 ()答案：D答案：D解：(1)函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定義域?yàn)镽，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化狀態(tài)如下表：因此，x＝－1是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(－1)＝10；x＝3是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f(3)＝－22.x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗10↘－22↗解：(1)函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定義域?yàn)镽，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件

[例2]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10.求常數(shù)a，b的值．

[思路點(diǎn)撥]由函數(shù)f(x)在x＝1處有極值10，可得f′(1)＝0且f(1)＝10，由此列出方程求a，b的值，但還要注意檢驗(yàn)求出的a，b的值是否滿足函數(shù)取得極值的條件．[例2]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件[一點(diǎn)通]已知函數(shù)極值，確定函數(shù)的解析式中的參數(shù)時(shí)，注意以下兩點(diǎn)：

(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．

(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性．[一點(diǎn)通]已知函數(shù)極值，確定函數(shù)答案：

3答案：34．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時(shí)取得極值，且f(1)＝－1，(1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x＝±1時(shí)函數(shù)取得極小值還是極大值，并說明理由．4．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件[一點(diǎn)通]求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，在熟練掌握求解步驟的基礎(chǔ)上，還須注意以下幾點(diǎn)：

(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)；

(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值；

(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小時(shí)，有時(shí)需要利用作差或作商，甚至要分類討論．[一點(diǎn)通]求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，在熟練掌利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件答案：C答案：C利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件[例4]已知f(x)＝lnx－x＋a，x∈(0,2]．若f(x)<a2－3對(duì)任意的x∈(0,2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[例4]已知f(x)＝lnx－x＋a，x∈利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件

[一點(diǎn)通]解決恒成立問題常用的方法是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，通過分離參數(shù)，要使m>f(x)恒成立，只要m大于f(x)的最大值即可；同理，要使m<f(x)恒成立，只需m<f(x)的最小值即可．[一點(diǎn)通]解決恒成立問題常用的方法是轉(zhuǎn)化為7．已知不等式ex≥x＋a對(duì)任意x∈R恒成立，求a的取值范圍．解：令f(x)＝ex－x，則f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0得x>0，由f′(x)<0得x<0，∴f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)，x＝0時(shí)f(x)取最小值f(0)＝1，由于a≤ex－x對(duì)任意x∈R恒成立．∴a≤1，即a的取值范圍為(－∞，1]．7．已知不等式ex≥x＋a對(duì)任意x∈R恒成立，求a的取值范圍8．設(shè)函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m對(duì)t∈(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴當(dāng)x＝－t時(shí)，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t1＝1，t2＝－1(不符合題意，舍去)．列表：8．設(shè)函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)↗1－m↘

∴g(t)