量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)經(jīng)典習(xí)題(大題)

x#其中-代表第i個(gè)格點(diǎn)位置的自旋取值為+1或者-1,分別對(duì)應(yīng)于自旋向上或者向下。,…i，j?表示對(duì)一切可能的…i,j?求和，J為與交換積分成正比的耦合常數(shù)。為了研究上述的模型,N我們引入下列變量：+N：向上的自旋數(shù)+N：向下的自旋數(shù)N：向上的自旋的近鄰對(duì)數(shù)（2）++N：向下的自旋近鄰對(duì)數(shù)N：向上的自旋與向下自旋的近鄰對(duì)數(shù)+-這五個(gè)變量滿足下面的關(guān)系式：N+N=N,+-(3)zN=2N+N(3)q++++-zN=2N+Nq-+++-由此可見，N，N，N，N，N這五個(gè)變量中只有兩個(gè)是獨(dú)立的。我們選+-++--+-N和N為獨(dú)立變量，則有下面的三個(gè)表達(dá)式：+++N=N-N，-+N=zN/2-2N，(4)+-q++N=zN/2+N-zN。--q++q+于是可以得出：,ss=N+N-Nij+++-+-<i,j>⑸=4N-2zN+zN/2++q+q

工s二N-N二2N-Ni,€,i將（5）和（6）帶入（1）中，可以得出：H二—J(4N-2zN+zN/2)-?B(2N-N)++q+q+二H(N,N)+++為了進(jìn)一步研究(7)式，我們來定義長(zhǎng)程序參量…<+1)(6)(7)(8)如果N=N，則…=-1；如果N=0，則…=-1。這兩種情形都具有完全的長(zhǎng)程序。(6)(7)(8),,從（8）可以得到下面的式子：NNTOC\o"1-5"\h\zN=-（1+G，N=-（1-…）。（9）+2-2于是M二（N—N）?=N?（10）,-這樣（7）可以寫成N4NH二--zJ（冷-2g+1）-?BN…（11）2qzN/2q接下來，我們定義一個(gè)短程序參量gN1~^NT^三2(g，1)(-1<g<+1)(12)zN/22q將(12)帶入(11)可以得出：H(N,N)二H(…,g),++N(13)二-—zJ(2g-2…+1)-?BNg2q這樣（13）式就是用長(zhǎng)程序參量和短程序參量表示的伊辛模型的系統(tǒng)哈密頓量。七．單軸各向異性鐵磁體和普通的流體是否具有相同的臨界行為？為什么？解：首先來分析一下各向異性鐵磁體的臨界現(xiàn)象：對(duì)于鐵磁系統(tǒng)而言，它們的四個(gè)熱力學(xué)函數(shù)在臨界點(diǎn)附近的臨界指數(shù)，它們的定義是1)熱容=-T(~i11)熱容=-T(~i11-<P.H2)磁化率x?磁化率x?；(|H)VdHT,p?11l，€態(tài)方程M?H1…（4）上述（1）—（3）式是外場(chǎng)為零的情況下所的得到的臨界指數(shù)，而（4）式是t=0時(shí)的特殊情況。其中（1）—（3）式的t都用絕對(duì)值111，表示t可能大于0,（從高溫接近臨界點(diǎn)）也可能小于0（從低溫接近臨界點(diǎn)），它表示不論系統(tǒng)從高溫還是低溫接近臨界點(diǎn)，臨界行為都相同，因?yàn)樗怯猛慌R界指數(shù)表示的。下面來普通的流體（氣—液）相變的臨界行為序參量巾?匕弋?（,）邛（靠近「的汽液共存區(qū)）(5)熱容C~(-t)7V（在pL?pg?pc的臨界密度處）(6)等溫壓縮率兀T?（t），€(7)序參量Ap~lP—P|1…C(8)在（8）式中的P是之靠近臨界壓強(qiáng)P的壓強(qiáng)值。通過分別求鐵磁相變和普通的相變，我們C都是用了四個(gè)熱力學(xué)函數(shù)的臨界行為的臨界指數(shù)卩Q，九，…來描述兩種臨界行為的，所以說二者具有相同的臨界行為。在加上關(guān)聯(lián)函數(shù)和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度的臨界指數(shù)＜和，所以可以從這六個(gè)指數(shù)算出理解指數(shù)，這也從實(shí)驗(yàn)上證明了，二者具有相同的臨界行為。八.坐標(biāo)空間中的重正化群可以分為哪幾個(gè)步驟？解：在介紹步驟之前，我們來講述一下重正化群的基本思想：在臨界點(diǎn)，關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度接近無窮大。因此，體系應(yīng)具有尺度變換下的不變性。由此，不去直接計(jì)算配分函數(shù)，而是找尺度變換下的不變性，從而確定臨界指數(shù)。坐標(biāo)空間中的重正化群的可以分為八個(gè)步驟：1）劃分Kadaoff集團(tuán)；