留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用

留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用第一頁，共29頁。一、形如的積分思想方法:封閉路線的積分（圍道積分法）.把定積分化為一個復(fù)變函數(shù)沿某條兩個重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化第二頁，共29頁。當(dāng)歷經(jīng)時,繞行一周.z沿正向單位圓周從而積分化為沿正向單位圓周的積分：第三頁，共29頁。z的有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿足留數(shù)定理的條件.包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn).第四頁，共29頁。例1解故積分有意義.第五頁，共29頁。第六頁，共29頁。第七頁，共29頁。因此第八頁，共29頁。例2計算解令第九頁，共29頁。極點(diǎn)為:(在單位圓內(nèi))(在單位圓外)第十頁，共29頁。二、形如的積分若有理函數(shù)R(x)的分母至少比分子高兩次,并且分母在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).一般設(shè)分析可先討論最后令即可.第十一頁，共29頁。2.

積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線,使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線,并使R(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.

被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動時,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).第十二頁，共29頁。O這里可補(bǔ)線(以原點(diǎn)為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周)與一起構(gòu)成封閉曲線C,R(z)在C及其內(nèi)部(除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析.取R適當(dāng)大,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)都包在這積分路線內(nèi).根據(jù)留數(shù)定理得:z1z2z3-RRxznyCR第十三頁，共29頁。即從而第十四頁，共29頁。例3計算積分解

在上半平面有二級極點(diǎn)一級極點(diǎn)第十五頁，共29頁。第十六頁，共29頁。例4計算積分解

在上半平面有兩個單極點(diǎn)：第十七頁，共29頁。三、形如的積分積分存在要求:R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,并且R(x)在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).z1z2z3zn-RROxyCR同前一類型:補(bǔ)線與曲線C,使R(z)所有的在上半都包在這積分路線內(nèi).一起構(gòu)成封閉平面內(nèi)的極點(diǎn)第十八頁，共29頁。由留數(shù)定理:就可以求出積分第十九頁，共29頁。則約當(dāng)引理：證第二十頁，共29頁。得由約當(dāng)不等式（如右圖）第二十一頁，共29頁。從而根據(jù)約當(dāng)引理及以上的討論得：第二十二頁，共29頁。將實(shí)虛部分開，可得積分第二十三頁，共29頁。例5計算積分解

在上半平面只有二級極點(diǎn)又第二十四頁，共29頁。注意以上兩型積分中被積函數(shù)中的R(z)在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).第二十五頁，共29頁。例6計算積分解

因函數(shù)在實(shí)軸上有一級極點(diǎn)若被積函數(shù)中的R(z)在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)，則第二十六頁，共29頁。第二十七頁，共29頁。小結(jié)與思考