高等量子力學第一章希爾伯特空間

高等量子力學第一章希爾伯特空間第1頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四§1矢量空間§1-1定義§1-2正交性和模§1-3基矢§1-4子空間§1-5右矢和左矢主要內(nèi)容：第2頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四§1-1矢量空間的定義我們討論的對象是很廣泛的，可以是實數(shù)或復(fù)數(shù)，可以是有序的一組數(shù)，可以是有方向的線段，也可以是一種抽象的東西。我們把這些通稱之為數(shù)學對象。同類的許多數(shù)學對象滿足下面所述的一系列要求時，就構(gòu)成一個矢量空間；每一個對象稱為空間的一個元，或稱為矢量。第3頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四加法規(guī)則視不同對象可以不同，但一定要滿足下列四個條件：第4頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四α是實數(shù)時，空間稱為在實數(shù)域上的矢量空間；α是復(fù)數(shù)時，空間稱為在復(fù)數(shù)域上的矢量空間。數(shù)乘要滿足下列四個條件：

第5頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四

在實數(shù)域（復(fù)數(shù)域）上的矢量空間中的內(nèi)積，所得的也是實數(shù)（復(fù)數(shù)）。內(nèi)積與兩個因子的次序有關(guān)，內(nèi)積規(guī)則要滿足下列四個條件：第6頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四在量子力學中所用到的空間，就是復(fù)數(shù)域上的希爾伯特空間。

第7頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四下面我們舉出矢量空間的一些簡單性質(zhì)。（1）在矢量空間中，零矢量是唯一的。第8頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四（2）每個矢量的逆元是唯一的。第9頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四第10頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四第11頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四下面，討論幾個矢量空間的例子。值得注意的是在這個空間中，有的序列的極限超出這一空間之外。例如取以下序列：這個序列的每一項都在我們的空間中，但是當?shù)臉O限是e=2.7182818…,這是一個無理數(shù)，不在有理數(shù)空間中。

第一個例子取數(shù)學對象為所有正負有理數(shù)和零，規(guī)定加法即為算術(shù)中的加法；規(guī)定數(shù)乘中的數(shù)a也限于所有的有理數(shù)，數(shù)乘即是算術(shù)中的乘法；最后規(guī)定內(nèi)積為兩個因子的算術(shù)乘積。這是一個在有理數(shù)域上的矢量空間。因為有理數(shù)相加和相乘所得的都是有理數(shù)，這個空間是封閉的，即所得結(jié)果仍在空間之中。第12頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四

第二個例子取數(shù)學對象為三維位形空間中由一點引出的不同方向不同長短的線段的全體，即理論力學中位置矢量全體。規(guī)定加法服從平行四邊形法則；數(shù)乘中的數(shù)是實數(shù)，以a數(shù)乘的結(jié)果是方向不變，長度乘以a；內(nèi)積是兩矢量的點乘積。這是一個實數(shù)域上的內(nèi)積空間。第13頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四第三個例子取數(shù)學對象為一組有次序的復(fù)數(shù)，例如四個數(shù)，可以把它們寫成一個一列矩陣：加法，數(shù)乘和內(nèi)積的定義分別為這是一個復(fù)數(shù)域上的內(nèi)積空間。如果內(nèi)積定義為：4*43*32*21*1),(mlmlmlmlml+4+3+2=空間是否仍然是一個內(nèi)積空間？第14頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四這樣的函數(shù)全體構(gòu)成一個內(nèi)積空間，平方可積的意思是第15頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四§1-2正交性和模下面我們證明兩個與模有關(guān)的基本關(guān)系。第16頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四Schwartz不等式：

（1.1）證明：

即第17頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四三角形不等式：

（1.2）于是得第18頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四§1-3基矢線性無關(guān)

(1.3)對于無窮個矢量的集合，線性無關(guān)的定義可以推廣為：在無窮個矢量的集合中，若任意有限的子集合都是線性無關(guān)的，則整個集合就是線性無關(guān)的。第19頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四第20頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四定理：

在有限維空間內(nèi)各種不同的完全集中所含矢量的數(shù)目是相同的。證明：

第21頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四仍將是線性無關(guān)的。（1.4）第22頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四（1.4）第23頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四于是我們證明了只有一個可能，即m=n.因此，每一個有限維矢量空間中各種不同完全集所含矢量的數(shù)目是相同的，這個數(shù)目稱為矢量空間的維數(shù)。第24頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四2、基矢正交歸一的完全集稱為這個空間的一個基矢組，或一組基矢。當然一個空間可有不同的多組基矢。，i,j=

1,2,…,n

Schmidt正交化方法：一個矢量空間，只要知道它的一個完全集總可以找到一組基矢。（1.5）第25頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四由此得第26頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四而下面，我們給出一個關(guān)于基矢的重要定理。第27頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四第28頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四于是得這就是（2）。第29頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四證明了（1）與（2）等價之后，下面按（2）、（3）、（4）、（2）的次序，分別證明前者是后者的充分條件，從而證明這四個命題是等價的。第30頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四由（2）到（3）：根據(jù)（2）將分別寫為，

于是這正是（3）。第31頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四第32頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四對此矢量應(yīng)用（4），有但根據(jù)（3），右絕對值號內(nèi)的差式為零，因此知左方我們所構(gòu)造的矢量式為零，即這正是（2）。由此證明了（2）、（3）、（4）三者等價。第33頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四又如在四維一列矩陣中，下列四個基矢是最簡單的基矢：第34頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四§1-4子空間一個矢量空間R，若其中一個矢量的集合S在原空間的運算定義下又構(gòu)成一個矢量空間，那么S稱為R的子空間。原來的空間R相對于子空間來說，稱為大空間。子空間的維數(shù)小于或等于大空間的維數(shù)；當二者維數(shù)相等時，子空間就是大空間本身。大空間中與子空間S中所有矢量都正交的那些矢量全體，又構(gòu)成一個矢量空間，這矢量空間也是大空間一個子空間。這個空間又稱為子空間S的補空間。子空間S中任意矢量同其補空間中任意矢量都是正交的。一個子空間同它的補空間只有一個共同的元，那就是零矢量。設(shè)大空間的維數(shù)是n，它的一個子空間S的維數(shù)是s，則S的補空間的維數(shù)是n－s。第35頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四第3節(jié)第36頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四§1-5右矢和左矢而對于左因子則是反線性的：由此可見，同一個矢量，作為右因子和作為左因子,其地位是不同的。第37頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四為了系統(tǒng)地這樣做，必須重新作一些定義。我們已經(jīng)有一個矢量空間，在其中定義了矢量的加法、數(shù)乘和內(nèi)積三種運算，這個空間仍然有效。我們把這樣的空間稱為單一空間。現(xiàn)在比照這個空間再建立以下兩個空間。第38頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四第39頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四第40頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四第41頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四并且規(guī)定，內(nèi)積的運算應(yīng)該滿足下列四個條件：條件（9）：條件（10）：條件（11）：條件（12）：第42頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四我們看到，在新建的兩個矢量空間中，左矢空間中的事情不能隨意去規(guī)定，需要同右矢空間的事情相互協(xié)調(diào)，而內(nèi)積的四個條件就是聯(lián)系這兩個空間的橋梁。由此又可以證明，若對任意右矢成立，則必有根據(jù)這些，我們證明兩條定理：第43頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四證明：

由條件的第二式有定理得證。第44頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四證明：

取此式兩邊的復(fù)共軛：即第45頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四這兩條定理建立了左矢空間與右矢空間的對應(yīng)關(guān)系，也就是在左矢空間中建立了與右矢空間的運算規(guī)則相協(xié)調(diào)的運算規(guī)則。至此，我們新建立的左矢空間成為一個完全確定的（即有明確加法與數(shù)乘運算規(guī)則的）矢量空間。（1.9）左矢空間和右矢空間是互為對偶的空間，這兩個空間合在一起是與單一空間等價的。我們剛剛建立起來的兩個對偶的空間并不比單一空間多什么，只是同一內(nèi)容改變一個表現(xiàn)方式而已。或第46頁，共49頁，2022年，5月20日，21點42分，星期四現(xiàn)在我們有了兩套數(shù)學工具可供量子力學選用，