(新高考)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)重難點(diǎn)練習(xí)04《五種平面向量數(shù)學(xué)思想》(解析版)

重難點(diǎn)04五種平面向量數(shù)學(xué)思想題型一：函數(shù)與方程思想一、單選題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0位于線段SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時(shí)，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由已知得SKIPIF1<0，再由向量數(shù)量積的定義表示SKIPIF1<0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最值，再由向量夾角公式可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)樵赟KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，因此在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所以向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的余弦值為SKIPIF1<0，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知向量建立關(guān)于向量的模SKIPIF1<0的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)確定取得最值時(shí)，SKIPIF1<0的值.2．（2020·陜西省洛南中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的坐標(biāo)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設(shè)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，由向量垂直的坐標(biāo)表示和向量的模的計(jì)算求得選項(xiàng).【詳解】設(shè)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，又向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示和向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3．（2020·廣東珠?！じ呷A段練習(xí)）已知P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD邊上或正方形內(nèi)的一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】構(gòu)建A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸的直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示各頂點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0則可用坐標(biāo)表示SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是兩個(gè)相互獨(dú)立的變量，即可將代數(shù)式中含SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的部分分別作為獨(dú)立函數(shù)求最大值，它們的和即為SKIPIF1<0的最大值【詳解】構(gòu)建以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸的直角坐標(biāo)系，如下圖示：由正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，知：SKIPIF1<0，若令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0或SKIPIF1<0有最大值為0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0有最大值為1；∴SKIPIF1<0的最大值為1故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了利用坐標(biāo)表示向量數(shù)量積求最值，首先構(gòu)建直角坐標(biāo)系將目標(biāo)向量用坐標(biāo)表示，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式得到函數(shù)式，進(jìn)而求最大值4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】以SKIPIF1<0的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的解析式，再利用二次函數(shù)求出函數(shù)的最小值即得解.【詳解】如圖所示，以SKIPIF1<0的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算，考查函數(shù)最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，解決本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到建立坐標(biāo)系利用坐標(biāo)來研究.5．（2020·全國(guó)·高三（文））已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題6．（2020·廣東·高三專題練習(xí)）已知不共線的兩個(gè)單位向量SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，則符合上述條件的SKIPIF1<0值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【分析】向量夾角為銳角時(shí)，數(shù)量積應(yīng)大于0，從而求得參數(shù).【詳解】因?yàn)橄蛄縎KIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，觀察各選項(xiàng)可知符合條件的SKIPIF1<0值可以是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：AB．三、雙空題7．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影等于_______.【答案】

SKIPIF1<0

1【解析】根據(jù)條件可求得SKIPIF1<0,進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,便可由SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0,解該方程即可求得SKIPIF1<0的值;

根據(jù)投影的計(jì)算公式即可得出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影.【詳解】根據(jù)條件,SKIPIF1<0;

SKIPIF1<0;

SKIPIF1<0;

解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去);

(2)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；1.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地運(yùn)用相應(yīng)的公式，理解向量數(shù)量積的含義，屬于基礎(chǔ)題.8．（2019·浙江杭州·高三階段練習(xí)）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為________，最大值為________．【答案】

12

SKIPIF1<0【分析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，根據(jù)向量的運(yùn)算，得到所以SKIPIF1<0，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由題意，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值為12，最大值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的模、基本不等式的應(yīng)用，考查考生分析問題、解決問題的能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．四、填空題9．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】利用向量的減法運(yùn)算和數(shù)量積，并借助余弦定理，化簡(jiǎn)SKIPIF1<0，可得到SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)SKIPIF1<0，并利用二次函數(shù)求最值，求出SKIPIF1<0的最小值，且使最小值等于SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，進(jìn)而得出SKIPIF1<0，最后利用余弦定理即可得解.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的減法運(yùn)算和數(shù)量積，余弦定理以及二次函數(shù)求最值問題，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于綜合題，難度較大.利用向量的減法運(yùn)算和數(shù)量積，并借助余弦定理，化簡(jiǎn)SKIPIF1<0，得出三角形三邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.10．（2020·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方形SKIPIF1<0，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0（x，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的最大值為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)邊長(zhǎng)為1，SKIPIF1<0，建立直角坐標(biāo)系，求得SKIPIF1<0的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0，再利用函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，并設(shè)邊長(zhǎng)為1，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，其中解答中將平面向量問題坐標(biāo)化，通過數(shù)形結(jié)合求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力．11．（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)題意要求SKIPIF1<0的值，則要求出SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的值，故考慮以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，然后按照兩向量相等，則對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等，進(jìn)而可求解.【詳解】解:如圖建立直角坐標(biāo)系：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)樵赟KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由題知SKIPIF1<0，是等腰三角形.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，當(dāng)直接運(yùn)用向量的三角形法則與平行四邊形法則較困難時(shí)，可借助坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化成兩向量相等，則對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等，進(jìn)而通過方程思想來求解.題型二：數(shù)形結(jié)合思想一、單選題1．（2022·四川眉山·三模（理））下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡(jiǎn)易側(cè)視圖（為便于計(jì)算，側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點(diǎn)O都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．28m B．20m C．31m D．22m【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則由已知可得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，再結(jié)合已知的數(shù)據(jù)可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：D2．（2021·河南省杞縣高中高三階段練習(xí)（理））若點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】在平面內(nèi)取點(diǎn)D，使得SKIPIF1<0，進(jìn)而得到SKIPIF1<0及SKIPIF1<0間的關(guān)系，進(jìn)而求得各三角形面積的比例.【詳解】在平面內(nèi)取點(diǎn)D，使得SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0.如圖所示：設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0.故選：A.二、多選題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）眾所周知的“太極圖”，其形狀如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”.整個(gè)圖形是一個(gè)圓形SKIPIF1<0.其中黑色陰影區(qū)域在SKIPIF1<0軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓，給出以下命題:其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．在太極圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色陰影部分的概率是SKIPIF1<0；B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0與白色部分有公共點(diǎn)；C．黑色陰影部分（包括黑白交界處）中一點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；D．若點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0的直徑，線段SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0所有過點(diǎn)SKIPIF1<0的弦中最短的弦，則SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.【答案】ACD【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式可判斷A的正誤；計(jì)算直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合可判斷B的正誤；利用點(diǎn)到直線的距離公式以及數(shù)形結(jié)合可判斷C的正誤；求出點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A，設(shè)黑色部分區(qū)域的面積為SKIPIF1<0，整個(gè)圓的面積為SKIPIF1<0，由對(duì)稱性可知，SKIPIF1<0，所以，在太極圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色陰影部分的概率為SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，下方白色小圓的方程為SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，如下圖所示：由圖可知，直線SKIPIF1<0與與白色部分無公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，黑色陰影部分小圓的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，如下圖所示：當(dāng)直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，且圓SKIPIF1<0的圓心坐標(biāo)為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由圖可知，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D，由于SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0中過點(diǎn)SKIPIF1<0的直徑，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0軸時(shí)，SKIPIF1<0取最小值，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，可設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：ACD4．（2021·河北·石家莊一中高三階段練習(xí)）八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的有（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】直接利用向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用結(jié)合圖像求出結(jié)果，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：圖2中的正八邊形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，對(duì)于ASKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于BSKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量即為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0向量上的投影向量SKIPIF1<0，故D正確．故選：ABD．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出點(diǎn)和向量，求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，再利用向量的坐標(biāo)計(jì)算即可【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，對(duì)于A，SKIPIF1<0，所以A正確，對(duì)于B，SKIPIF1<0，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，SKIPIF1<0，所以C正確，對(duì)于D，SKIPIF1<0，所以D正確，故選：ACD6．（2022·山東·高三開學(xué)考試）在△SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，且ABAB?ACAC=12，則△SKIPIF1<0為等邊三角形【答案】ACD【分析】A由正弦定理及等比的性質(zhì)可說明；B令SKIPIF1<0可得反例；C由和角正弦公式及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)有SKIPIF1<0，由正弦定理即可證；D若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)單位向量的定義，向量加法的幾何意義及垂直表示、數(shù)量積的定義易知△SKIPIF1<0的形狀.【詳解】A：由SKIPIF1<0，根據(jù)等比的性質(zhì)有SKIPIF1<0，正確；B：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，錯(cuò)誤；C：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理易得SKIPIF1<0，正確；D：如下圖，SKIPIF1<0是單位向量，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，易知△SKIPIF1<0為等邊三角形，正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，注意應(yīng)用向量在幾何圖形中所代表的線段，結(jié)合向量加法、數(shù)量積的幾何意義判斷夾角、線段間的位置關(guān)系，說明三角形的形狀.三、填空題7．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.【答案】2【分析】首先需要將向量用坐標(biāo)表示，通過題中的已知條件，可以得出向量SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)已知條件SKIPIF1<0可以推斷出SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，作出圖像，結(jié)合圖像進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)橄蛄縎KIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0得運(yùn)動(dòng)軌跡為SKIPIF1<0，如圖所示：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，據(jù)圖可以看出，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值最小為SKIPIF1<0.故答案為：2.8．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量SKIPIF1<0（互不相等），SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】5【分析】構(gòu)圖，設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)題設(shè)條件SKIPIF1<0可以判定SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓E上，運(yùn)用數(shù)量積的幾何意義即可求解【詳解】如圖，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0共線，即SKIPIF1<0三點(diǎn)共線；且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓E上．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，過E作SKIPIF1<0于H，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．9．（2022·浙江·慈溪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再根據(jù)題意得點(diǎn)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的角平分線的交點(diǎn)，得到SKIPIF1<0，進(jìn)而得到SKIPIF1<0，求解計(jì)算即可.【詳解】如下圖所示，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，又由于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，因此點(diǎn)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的角平分線的交點(diǎn).根據(jù)角平分線的性質(zhì)可SKIPIF1<0.過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因此點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)由于SKIPIF1<0，由此當(dāng)直線SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值，SKIPIF1<0有最小值.設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.綜合上述，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】與平面向量有關(guān)的最值問題，常見處理方法有兩種：第一種：利用坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；第二種：利用點(diǎn)的幾何意義轉(zhuǎn)化成軌跡問題求解.10．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)一模）在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心作單位圓，分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)P是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出各個(gè)點(diǎn)以及點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，再利用三角函數(shù)求值域的方法得出SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，并建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．11．（2022·四川達(dá)州·二模（理））如圖，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，利用勾股定理可構(gòu)造方程求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的長(zhǎng)；以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0正方向?yàn)镾KIPIF1<0軸，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.12．（2022·陜西·西安中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若O為SKIPIF1<0外接圓的圓心，則SKIPIF1<0的值為__________．【答案】10【分析】作出邊SKIPIF1<0垂線，利用向量的運(yùn)算將SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，得有向量的數(shù)量積的幾何意義將向量的數(shù)量積表示成一個(gè)向量與另一個(gè)向量的投影的乘積即可求得答案【詳解】過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0，因?yàn)镺為SKIPIF1<0外接圓的圓心，所以SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故答案為：1013．（2022·浙江浙江·高三階段練習(xí)）已知平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為_________.【答案】SKIPIF1<0【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，可知C在以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓上，D在以SKIPIF1<0為圓心3為半徑的圓內(nèi)（含邊界），利用向量的模長(zhǎng)公式及三角不等式，數(shù)形結(jié)合可求解.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如圖建立平面直角坐標(biāo)系，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,知C在以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,知D在以SKIPIF1<0為圓心3為半徑的圓內(nèi)（含邊界）作出圖像，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0取SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0取SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是相反向量，此時(shí)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向時(shí)等號(hào)成立，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由圖像可知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可以同向，此時(shí)SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：平行四邊形法則和三角形法則；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單）．題型三：分類與整合思想一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】D【分析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況討論，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：由向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，取等號(hào)，綜上SKIPIF1<0的最大值為1.故選：D.2．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先判斷是否是充分條件，可令SKIPIF1<0，顯示條件成立，但結(jié)論不成立，故不充分；再證是否是必要條件，不妨假設(shè)SKIPIF1<0最大，則SKIPIF1<0最小，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0再得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0，對(duì)SKIPIF1<0分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0討論，可證得SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，得到答案.【詳解】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，不等式成立，但是SKIPIF1<0不成立；故“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的不充分條件；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，顯然SKIPIF1<0互不相等，設(shè)SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0SKIPIF1<0等價(jià)于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨假設(shè)SKIPIF1<0最大，所以SKIPIF1<0最小，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；綜上知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，故“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要條件.即“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的判斷，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，作差法比較厭，還考查了學(xué)生的分析推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，難度較大.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在四邊形SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由題意分析可知四線性SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，且SKIPIF1<0，只需考慮點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上的運(yùn)動(dòng)情況即可，然后分類討論求出SKIPIF1<0的最小值.【詳解】如圖所示，因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0垂直且平分SKIPIF1<0，則△SKIPIF1<0為等腰三角形，又SKIPIF1<0，所以△SKIPIF1<0為等邊三角形.則四邊形SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，故點(diǎn)SKIPIF1<0在四邊形SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只需考慮點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上的運(yùn)動(dòng)情況即可，因?yàn)镾KIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0；②當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0；綜上，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積及數(shù)量積的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用、分類討論思想的運(yùn)用，難度稍大.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0（含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)于函數(shù)SKIPIF1<0，下列描述正確的是（

）A．SKIPIF1<0的最大值和SKIPIF1<0無關(guān) B．SKIPIF1<0的最小值和SKIPIF1<0無關(guān)C．SKIPIF1<0的值域和SKIPIF1<0無關(guān) D．SKIPIF1<0在其定義域上的單調(diào)性和SKIPIF1<0無關(guān)【答案】A【解析】建立合適的直角坐標(biāo),根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況通過判斷單調(diào)性求SKIPIF1<0時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0最值即可【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示:由題意知,SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0,SKIPIF1<0