幾何三十載-PPT幻燈片

一個質(zhì)點在空間的移動，可以由映射x:[0,T]

R3來描述。它的速度矢量是，它的動能是 。 給定空間中兩點p和q，我們考慮所有連接p和q的質(zhì)點路徑，其中動能最小的路徑就是連結(jié)p和q的直線。1

假如量度速度矢量時不用歐氏度量，而是用隨點變動的內(nèi)積<>x，我們還是可以定義動能 。 在空間每一點都可以變動的內(nèi)積，即是說給出了黎曼度量，可以寫作一個張量 。 而上述的動能可以寫成 。

研究這種內(nèi)積的幾何學叫做黎曼幾何，它推廣了歐氏幾何、雙曲幾何和橢圓幾何。2 在一般的黎曼幾何里，兩點p和q之間可以有超過一條的路徑使得E(x)是極短的。事實上這些路徑一定是測地線，從球上的北極到南極有無窮多條測地線。一般來說，很多測地線不是p和q間最短的線，它們只是局部最短的，即是說在[0,T]的任意一個小的線段上是極短的。在給定p和q時，我們考慮一個包括所有曲線的空間：

這個空間的拓樸性質(zhì)可以由所有的從p到q的測地線和其上的Morseindex指標來決定（Morse指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數(shù)），由p,q的拓樸可以推導空間本身的拓樸，這是Bott在古典群上的工作。3 Laplace算子的譜在近代幾何起著極重要的作用。它們的乘積，通過重整化后就是Laplacian的行列式?，F(xiàn)在來看Laplace算子的古典的處理方法。 我們來看一維空間的情形

所以 其中，當y很小時，f可以看作f的平均值減f的值得出來的算子。6

一般來說，Laplace算子可以看作將函數(shù)不斷采取平均值的一個算子。一個古典問題：在一個領(lǐng)域的邊界上給定一個函數(shù)f，我們希望將f延拓到里，使得極小，這叫Dirichlet邊值問題，這樣得到的f叫調(diào)和函數(shù)，它滿足f=0

。7 一個構(gòu)造調(diào)和函數(shù)的方法為Perron方法，就是不斷的取函數(shù)的局部平均值，直至它變?yōu)檎{(diào)和函數(shù)為止。

以后發(fā)現(xiàn)一個更好的辦法是解熱方程：

我們?nèi)我庋油豧到領(lǐng)域中，使得我們有給定的在邊界上的值，然后解以下的熱方程

此處為Laplace算子。這方程描述在時間為零時，熱的分布由f給出，而到t>0，則由上述方程的解給出。8

當時間趨于無窮時，此問題的解會趨向于一個調(diào)和函數(shù)，并且保持f的邊值，因而解決了Dirichlet邊值問題。 這個熱方程方法在廿世紀下半葉的微分幾何中占了很重要的地位，它給出一個方法將外微分形式漸變?yōu)檎{(diào)和形式，因而給出Hodge理論一個簡單的證明。 這個證明也可以應(yīng)用于Atiyah-Singer指標定理的局部證明。Atiyah和Singer研究一階橢圓線性微分算子D的解空間的維數(shù)。這個算子有對偶算子D*，我們也可考慮它的解空間的維數(shù)，兩個維數(shù)的差叫做算子D的指標。9

我們考慮算子exp(-tD*D)–exp(-tDD*)的跡(trace)。當時間很大時，它給出算子的指標，但我們發(fā)覺在0<t<，它與時間t無關(guān)，因此它又可在t

0時計算。

在t

0，熱方程的核可以用擾動的方法計算出來，它跟空間的曲率有關(guān)，因此指標可由曲率表示，而后者一般可由陳氏類來表達。在這個過程中，我們看到兩個核函數(shù)有重要的消去的性質(zhì)，當參數(shù)大和參數(shù)小時不變，因此描述量子力學的指標雖然在參數(shù)大時計算，但它與參數(shù)小的古典幾何的曲率得出來的陳氏類是一樣的。10

這個方法由Witten和其他作者推廣到更一般的超對稱的算子的計算中。近年的弦理論的對偶性理論與這些消去性有關(guān)，我們發(fā)現(xiàn)有些很難計算的量子場論的量（往往與幾何有關(guān)），可以變成擾動性的計算（強藕合與弱藕合對稱），以后所謂鏡對稱與這個推導有關(guān)。鏡對稱對古典代數(shù)幾何學有很重要的貢獻，它解決了幾個古典問題，例如代數(shù)流形上的曲線的數(shù)量問題。11熱方程是拋物方程的一種，它獨特的性質(zhì)是在時間增長時，解會越來越平均并接近于一個穩(wěn)定的橢圓方程的解。舉個例子：x:MRn是從曲面到歐氏空間的映射。我們也可以定義它的能量我們希望固定它的邊值x:M

Rn，然后不斷的連續(xù)變換x使得E(x)逹到最小值。12

這個變動可以由熱方程逹到

這是一個線性方程，不難了解。但是假如我們對x加上約束，要求x把M映射到Rn里的一個固定子流形N，可以得到一個拋物方程，但卻是一個非線性拋物方程。一般來說，這個方程沒有光滑的解。假如有解的話，讓時間趨于無窮得到的映射叫做調(diào)和映射。當M是二維時，我們對調(diào)和影射有比較深入的認識。13

二維空間在幾何學里起著一個很重要的地位。理由是E(x)有保角不變的性質(zhì)：我們來看這是甚么意思――在M上有黎曼度量gijdxidxj，如果有兩個矢量(a1,a2,…,am)和(b1,…,bm)，我們定義它們的內(nèi)積為

gijaibj。因此它們的夾角的余弦為假如我們將

gijdxidxj改為e

gijdxidxj，這個夾角不變，所以我們稱這種變換為保角變換。14上面說的E(x)用黎曼度量寫成 其中(gij)為(gij)的逆矩陣，而當gij變成egij時，gij變成e-

gij。當M是二維時，變換成，因此E(x)在這個變換下不變。這個事實對近代弦論有很重要的影響。15

這個演講剛開始時我們研究粒子走出一條曲線的軌跡，但是假如粒子本身并非是一點，而是一條閉面線，則走出的軌跡乃是一個曲面。

閉二維的定向曲面已經(jīng)在十九世紀全面了解，它由以下曲面得出

球 環(huán) 虧格>1的曲面

g=2

g=316 在球的情形，任何黎曼度量可以保角變換到單位球。 在環(huán)的情形，任何黎曼度量可以保角變換到曲率為零的環(huán)：在平面上取平行四邊形，然后將對邊連接起來。在虧格g>1時，Poincare證明任何在這種曲面的黎曼度量可以保角的變換為曲率等于負一的曲面。所有曲率負一的曲面可以由6g-6自由度的空間來刻劃，此空間叫做Teichmuller空間。17 這種理論可以與在復變函數(shù)論中學過的單值化定理比較：在R2中，任何一個單連通的領(lǐng)域可以保角地映射到單位圓。比較一般的領(lǐng)域則可以保角的映射到一般如圖中的領(lǐng)域

一個很重要的事實是：在曲面上所有黎曼度量通過保角變換后都有常數(shù)的曲率，通過微分同胚后，這種空間是有限維的，它的維數(shù)是6g-6。18 我們考慮二維曲面如何變化到上述曲率為常數(shù)的空間。我們將黎曼度量全部放在一起，然后用一個類似于上述的拋物型方程來改動黎曼度量其中K乃是gij的曲率（在二維時只有一個曲率）。Hamilton和其他工作者證明這個方程有光滑解并當t，這個解收歛于K=常數(shù)的度量，他引進了熵的觀念并利用Li-Yau不等式。19

Hamilton引入的熵基本上是用來控制方程的收歛性，它隨時間而増長，這是由推廣Li-Yau不等式而得到的。 二維空間的方程由Hamilton推廣到高維的黎曼空間，其想法有兩個不同的根據(jù)。 首先，Einstein已經(jīng)知道引力場是由一個類似于黎曼張量的張量gijdxidxj所決定的，引力由整個曲率張量給出。其中有一部份曲率是由物質(zhì)的分布給出，這部份的張量叫做Ricci張量。20

假如我們用調(diào)和函數(shù)做坐標系統(tǒng)，我們發(fā)覺Ricci張量為Rij

=-gij。影響幾何差不多一百年的Einstein方程就是

其中R是Rij的跡(trace)，而Tij則是描寫物質(zhì)分布的張量。如果沒有物質(zhì)(vacuum)的話，可以證明Rij=0。假如Einstein方程中加上cosmology常數(shù)，在沒有物質(zhì)的情況下會它改變?yōu)镽ij

=Cgij，

其中C是常數(shù)。21

在黎曼幾何學中，研究甚么空間有這種Einstein度量是一個最基本的問題，這個問題可以比喻為在空間上找一個最和階的度量。

最簡單的Einstein度量是常曲率空間，局部來說，它與圓球、歐氏空間或雙曲空間其中一個等價。整體來說，它由離散群來決定，例如在二維的黎曼曲面上存在曲率等于負一的度量，它們是Poincare圓盤D通過SL(2,R)中離散子群作用的商得出的，它可以寫成D/。22

可以證明在二維或三維空間中，Einstein空間一定是常曲率空間。二維空間的拓樸的基本結(jié)構(gòu)就全部由這些度量來決定。 在三維空間的時候，Thurston猜測說任何三維空間都是由有限個擁有簡單的黎曼度量的空間聯(lián)結(jié)而成的，其中最基本的是常曲率空間，其次是一些由二維空間通過圓纖維構(gòu)造出來的三維空間。23

Thurston猜測包含了Poincare猜測。Poincare在二十世紀初猜測任何一個單連通的三維空間都與三維球同胚。單連通的定義是說在此空間中任何一個閉曲線可以連續(xù)收縮成一點。

Thurston和Poincare的猜測可說是三維空間結(jié)構(gòu)的最基本問題。Thurston本人研究傳統(tǒng)的三維拓樸方法和雙曲幾何，其中重要的是Mostow剛性定理和黎曼曲面上的曲線分布的理論，得到漂亮的結(jié)構(gòu)性定理。但是Thurston的方法需要假定存在所謂不可壓縮的曲面，這樣才可能進行空間的切割，除非有新的想法，不大可能將整個猜測證明。24一九八零年，Hamilton企圖推廣Eells和Sampson在調(diào)和映射的方法到黎曼度量去。他建議對度量做一個拋物方程，很自然的想到 但是右方的gij

在坐標變換后變得沒有意義，在調(diào)和坐標系統(tǒng)時它卻是-Rij，所以代之而考慮則是有意義的事情。25

Hamilton以深入的分析方法證明：假如始值的gij有正定的Ricci張量時，上述方程有解，同時在時間趨于無窮時，收歛于一個常曲率空間。這可以說是近代幾何學上的一個奠基性工作。 在一九八一年，我邀請他到普林斯頓研究所作報告后，我立時建議多個研究生做這方面的工作，并考慮復幾何的相應(yīng)情形。在這方面Bando和曹懷東都做了重要的工作。26

在此之前，有不少的幾何學家已經(jīng)考慮平面曲線的變動問題，每一條曲線都有曲率，我們可沿著曲線的法方向來推動曲線，推動的速度是它的曲率，如此得到的方程也是拋物方程與Hamilton的方程極為類似。Grayson、Hamilton和Gage證明任何一個光滑的閉曲線可以光滑地變動為圓形的一點。 這個定理就如同Hamilton流在二維黎曼曲面一樣，在整個變動的過程中并不出現(xiàn)奇異點。27

Hamilton的文章發(fā)表以后，Huisken在一九八四年發(fā)現(xiàn)類似的定理： 在三維歐氏空間里，任何凸閉曲面可以沿著法線，用平均曲率推動，最后會變成球面形狀的點。此處凸曲面與Ricci曲率為正的相類似。

假如曲面開始時不是凸的，則可以出現(xiàn)奇異點，并在奇異點出現(xiàn)后，將曲面分裂。

(1)(2)(3)

我們叫這個流為平均曲率流。28

Hamilton和我在一九八五年在加州大學共事，他的辦公室在我的辦公室旁邊。我建議用他的流來解決Thurston的猜測，一方面與平均曲率流比較，一方面與Sacks-Uhlenbech在二維黎曼曲面上調(diào)和映射的bubbling過程相似。但是最令人擔心的是分裂時的奇異點如何處理，是否有無窮多次的分裂，同時分裂后的幾何如何處理。29

為了控制奇異點的性質(zhì)，我建議Hamilton用我和PeterLi剛完成的關(guān)于熱方程的估值和理論。在幾年內(nèi)，Hamilton將Li-Yau估值發(fā)展成使我驚異的深入理論。他在一九九五年發(fā)表一篇極為重要的文章，解釋Thurston的幾何分解可以在控制奇異點的假設(shè)下推導出來。這篇文章將整個流的研究帶入新的境界。然后，Hamilton與我致力于推廣類似于Li-Yau不等式的估值，希望能夠用來控制Hamilton流的奇異點。 兩年前，Perelman公布了三篇文章，里面的新想法可以用來處理一些奇異點的問題，Ricci流的研究得到極大的進展。30 雖然如何處理流形分裂后的問題還沒有完全解決，但迄今的纍纍成果，已經(jīng)讓我們看到幾何分析的威力。除了HamiltonRicci流對幾何結(jié)構(gòu)的重要貢獻外，我們也期望與它類似的平均曲率流對拓樸學的貢獻，假如它不產(chǎn)生到奇異點的話，它給出一條自然(canonical)路徑將曲面變動成球面，存在這種途徑叫做Smale猜測（它的拓樸證明由Hatcher給出）。31 值得注意的是在研究Hamilton的Ricci流時，大量的偏微分方程的估值問題需要解決。施皖雄的博士論文、Li-Yau-Hamilton不等式，和其他有關(guān)的非線性估值都占據(jù)重要的位置，在這里也用到極小子流形的理論，有部份是Schoen-Yau在解決正質(zhì)量猜想時得出的不等式。事實上在七十年代時Meeks-Yau就曾利用極小子流形來解決重要的三維拓樸問題，在這二十年來拓樸學家利用這個想法得出不少結(jié)果。 這幾年來朱熹平和其合作者用Hamilton流獲得復幾何中很重要的成果，對我作的一個有關(guān)的重要猜想的解決推進了一大步。32

四維空間的主要工具是Donaldson和Seiberg-Witten理論。前者是由Yang-Mills理論里面的self-dual規(guī)范場的?？臻g得出拓樸空間的不變量，以后由比較簡單的Seiberg-Witten方程簡化。這些理論在四維空間有特別意義，其中一個原因是它的保角不變性。四維空間有可能存在的一種幾何結(jié)構(gòu)叫做辛結(jié)構(gòu)。當存在辛結(jié)構(gòu)時，Taubes創(chuàng)造了一個極為重要的理論，他證明了擬全純曲線的個數(shù)可以用來構(gòu)造Seiberg-Witten拓樸不變量。很多重要的辛幾何定理因此得到證明。從這里也可以看到黎曼曲面和高維拓樸的關(guān)系。 辛幾何包含了代數(shù)曲面的理論，但是代數(shù)曲面的內(nèi)容豐富得多，如何去構(gòu)造代數(shù)結(jié)構(gòu)仍是一個重要的命題。33 四維空間的拓樸結(jié)構(gòu)問題至今仍是數(shù)學上一個最困難的問題。一般來說高維空間的拓樸是用切割空間的方法來進行研究的。我們希望將拓樸的問題變成代數(shù)的問題來處理。例如以同調(diào)群、同倫群和特征類作為基本的計算量，我們希望創(chuàng)造一本字典使我們能找出空間的一切拓樸性質(zhì)，而代數(shù)的記錄方法是最為明了的。 因此在給定一個代數(shù)量時，我們要想辦法將它用幾何方法表示出來，例如同調(diào)群里面的元素，可以用浸入到空間的子流形表示。問題是：這些浸入的子流形會自行相交，這些相交的量有一部份可以用代數(shù)方法來代表，我們希望通過一個過程來變動子流形，使得它的幾何相交的點與代數(shù)給出的量一樣，假如這個變動成功的話，幾何意義則可由代數(shù)方法給出。34

這是微分拓樸學中的一個至為要緊的方法，Whitney在研究流形浸入到歐氏空間時就研究這個問題，他發(fā)覺可以利用二維圓盤的嵌入來解決其中的困難。 D

在研究四維空間時重要的工具，乃是尋找有特殊對稱的曲面的存在性。Taubes的工作精義在于在四維空間有辛結(jié)構(gòu)時，存在擬全純曲線。如何決定四維空間存在辛結(jié)構(gòu)卻是極為困難的問題，四維空間的拓樸結(jié)構(gòu)將會是本世紀數(shù)學的一個基本問題。但是如何把二維圓盤嵌入四維空間是一個難題（在高維空間時，圓盤可以通過擾動而成為嵌入的圖形）。35

近代幾何最主要的活動大部份圍繞于帶有內(nèi)對稱的結(jié)構(gòu)而開展，一方面要構(gòu)造這種結(jié)構(gòu)，一方面要尋找這些結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。在二維和三維空間，我們大部時間在尋找常曲率空間的結(jié)構(gòu)，在三維空間，這些結(jié)構(gòu)與紐結(jié)(knot)的拓樸性質(zhì)有關(guān)，例如：Chern-Simons的理論或Yang-Baxter理論都有很豐富的內(nèi)容。除了這些結(jié)構(gòu)外，二維和三維空間還有仿射和投影結(jié)構(gòu)，它們也有精彩的內(nèi)容，很多重要的方向還待開發(fā)。 一般來說，在一個給定的空間上，可能有無窮多個類似的結(jié)構(gòu)，它們本身成為一個新的空間，我們叫它做結(jié)構(gòu)的?？臻g。模空間上的結(jié)構(gòu)可以由原來的結(jié)構(gòu)引出。這些新的結(jié)構(gòu)有時比原來的結(jié)構(gòu)容易計算而甚至更為重要。36

舉個例子來說，在數(shù)學上最重要的?？臻g就是由所有在一個二維曲面上的復結(jié)構(gòu)所組成，就是前面談到的Teichmuller空間，它的商(quotient)叫做曲面的?？臻g，在代數(shù)幾何和近代弦理論起著極為重要的地位。 由于曲面上有不同的結(jié)構(gòu)，因此在?？臻g上亦有不同的幾何結(jié)構(gòu)，例如它有Weil-Peterson的黎曼度量，有Bergman度量，有Kahler-Einstein度量等等。這兩年來，劉克峰、孫小峯和我終于搞清楚這些幾何中間的關(guān)系，這個古典的空間蘊含了種種不同的訊息，有微分幾何的、有代數(shù)幾何的、有算術(shù)幾何的、有弦理論的。37

近代弦理論將曲線的軌跡看成是一個曲面，在其上研究整個軌跡的古典Action而加以量化后，得出極為漂亮的數(shù)學理論。最重要的原動力由弦理論提供，為了對弦振動量子化，他們提出共形場論的重要性，超對稱共形代數(shù)的表示理論提供了極為豐富的數(shù)學啟示，很多極為重要的公式，例如Verlinde公式，例如Witten在?？臻g上發(fā)現(xiàn)關(guān)于陳類積分的公式，將原來古典的由Mumford和其他代數(shù)幾何學家發(fā)展的理論大大提升。38

由于弦理論建基于超對稱的存在性，要求玻子和費子可以對應(yīng)，所以在曲線劃出的軌跡上，古典的能有玻子和費子的對稱性，量化的結(jié)果亦要求時空上有超對稱的觀念?；旧衔覀円髸r空有固定的旋子(spinor)（它的微分等于零），這種空間或者可以叫做超對稱空間。 二十年前就發(fā)現(xiàn)我們熟習已久的復幾何里面的Kahler度量是超對稱的，所以黎曼曲面也是超對稱的。 在考慮弦理論的真空的狀態(tài)時，也要求時空沒有物質(zhì)，因此也要求它的Ricci張量等于零。這種空間的存在是我在1976年時用偏微分方程證明的。39

因此這類空間一般叫做Calabi-Yau空間（它的存在是由Calabi猜測的），這二十年來，這個空間的幾何理論極為豐富，弦論的發(fā)展要求這種空間有所謂鏡對稱的存在性，一個空間的量子場論可