必修一函數(shù)及其表示講義

函數(shù)及其表示一、映照依據(jù)題意填空。（1）（2）（3）（4）映照觀點：一般地，設(shè)A，B是兩個非空的會合，假如按某一個確立的對應(yīng)關(guān)系f，使對于會合A中的任意一個元素x，在會合B中都有獨一確立的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B是會合A到會合B的映射。如上圖：________________是映照。象與原象：給定一個會合A到會合B的映照，且a∈A，b∈B，假如元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。注意：（1）會合A、B、對應(yīng)關(guān)系是一個整體；（2）對應(yīng)關(guān)系有“方向”，重申從A到B；（3）集合A中元素在會合B中都有象并且是獨一的，這個獨一性是組成映照的核心；（4）會合A中不一樣的元素，在會合B中對應(yīng)的象能夠是同一個，會合B中元素對應(yīng)會合A中的元素可能不只一個。對應(yīng)能夠為“一對．．．一”或“多對一”，但不可以是“一對多”；（5）會合B中的元素在A中不必定有原象。（6）假如A．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．有m個元素，B有n個元素，則從會合A中到會合B的映照（不加限制）有nm個。例1：設(shè)會合A＝N＋，B＝N＋，對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝2x，則1）會合A中元素2所對應(yīng)的象是______________。2）會合B中元素2所對對應(yīng)的原象是__________?！痉治觥浚海?）4（2）1變式練習(xí)：設(shè)f：A→B是從會合A到會合B的映照，A＝B＝{(x，y)｜x∈R，y∈R}，若f：（x，y）→（xy，x＋y）（1）求會合A中元素（－1，2）在會合B中對應(yīng)的元素_______________。（2）求會合B中元素（－1，2）在會合A中對應(yīng)的元素_______________。13【分析】：（1）(－3，1)（2）(，)22二、函數(shù)．．（一）、函數(shù)的觀點：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，假如依據(jù)某個確立的對應(yīng)關(guān)系f，使對于會合A中的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．隨意一個數(shù)x，在會合B中都有獨一確立的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從會合A到會合B的一個函數(shù)。記作：y＝f(x)，x∈A。此中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（會合）；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的會合{f(x)｜x∈A}叫做函數(shù)的值域（會合）。定義域、值域與對應(yīng)關(guān)系f統(tǒng)稱為函數(shù)的三因素。例2：下邊哪一個圖形能夠作為函數(shù)的圖象（）AyBCyDyy【分析】：B變式練習(xí)：設(shè)A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{y｜1≤y≤2}，以以下圖，能表示從會合A到會合B的映照是（）OxOxOxOx【分析】：DABCD2222111112121212（二）區(qū)間的觀點：設(shè)a，b是兩個實數(shù)，并且a＜b我們規(guī)定：（1）知足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的會合叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]；（2）知足不等式a＜x＜b的實數(shù)x的會合叫做開區(qū)間，表示為(a，b)；（3）知足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的實數(shù)x的會合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為左閉右開a,b和左開右閉a,b區(qū)間。定義名稱符號數(shù)軸表示定義符號（三）、函數(shù)的定義域：自變量x的取值范圍。1、簡單函數(shù)定義域的種類及求法：1）分式函數(shù)中分母不等于零；2）偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0；3）一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R；（4）y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定義域均為R；（5）y＝tanx的定義域為{x｜x∈R且x≠k＋，k∈Z}；2（6）對數(shù)函數(shù)的定義域是真數(shù)大于0；（7）函數(shù)f(x)＝xa的定義域與指數(shù)a的關(guān)系，對于不一樣的a值，定義域不一樣。（8）由實質(zhì)問題成立的函數(shù)，還要切合實質(zhì)問題的要求。2、對于抽象函數(shù)定義域的求法：（1）若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；（2）若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在[a，b]上的值域。例3：求以下函數(shù)的定義域。（1）f(x)＝2x5（2）f(x)＝1x（3）f(x)＝2＋x135x3x（4）f(x)＝x25x6（6）f(x)＝ln(x23x4)【分析】：（1）x≥－5（2）x≠－5（3）x≥－1且x≠323（4）x≥－2或x≤3－（5）－4＜x＜1變式練習(xí)1：設(shè)A＝{x︱y＝log2(x25x4)}，B＝{x︱y＝x25x6}，則A∩B＝______。【分析】：1,23,4變式練習(xí)2：函數(shù)f(x)＝log0.5(cosx1)的定義域為_____________。－2，2k＋22【分析】：(2k)，k∈Z33變式練習(xí)3：設(shè)A＝{x︱y＝sinx}，B＝{x︱y＝x2x12}，則A∩B＝______?！痉治觥浚篈＝(2k，2k＋)，B＝[－4，3]，則A∩B＝4,3,例4：已知等腰三角形的周長為20，請將底邊y表示為腰x的函數(shù)，并寫出x的取值范圍。【分析】y＝20－2x，5＜x＜10x0x0x0y0202x0x105＜x＜102xy2x202xx5例5：（1）已知函數(shù)f(x)的定義域為[1，4]，則f(x＋2)的定義域為______________。（2）已知函數(shù)f(2x＋1)的定義域為(－1，0)，則f(x)的定義域為____________?！痉治觥浚?）∵1≤x＋2≤4，∴－1≤x≤2（2）∵－1＜x＜0，∴－2＜2x＜0，∴－1＜2x＋1＜1變式練習(xí)：（1）已知函數(shù)f(x)的定義域為[－5，5]，則f(3－2x)的定義域為_______。（2）已知函數(shù)f(x＋1)的定義域為[0，3]，則f(x2)的定義域為__。_____【分析】（1）[－1，4]，（2）0≤x≤3，1≤x＋1≤4，1≤x2≤4，則－2≤x≤－1或1≤x≤2例6：以下說法中正確的選項是()A：y＝f(x)與y＝f(t)表示同一個函數(shù)B：y＝f(x)與y＝f(x＋1)不行能是同一函數(shù)0C：f(x)＝1與f(x)＝x表示同一函數(shù)D：定義域和值域都同樣的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)【分析】A變式練習(xí)：判斷以下各組函數(shù)，哪些是同一函數(shù)（1）f(x)＝x與g(x)＝(x)2（2）f(x)＝x與g(x)＝x2（3）f(x)＝｜x｜與g(x)＝x2（4）f(x)＝x2與g(x)＝(x＋1)2（5）f(x)＝x與g(x)＝3x3（6）f(x)＝x21與g(x)＝x－1x1（7）f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1例7：已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，求（1）f(1)，f(2)（2）f(a)，f(a＋1)（3）f(－1)，f[f(－1)]，f[f(－2)]（4）若g(x)＝2x，則求f[g(x)]和g[f(x)]變式練習(xí)1：已知函數(shù)f(x)＝x2，求x21（1）計算：f(1)，f(2)，f(1)2（2）計算：f(1)＋f(2)＋f(1)＋f(3)＋f(1)＋f(4)＋f(1)＋f(5)＋f(1)＋f(6)＋f(1)23456變式練習(xí)2：定義在R上的函數(shù)f(x)知足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy（x、y∈R），且f(1)＝2，則f(－3)＝（）A：2B：3C：6D：9【分析】：f(1)＝f(1＋0)＝f(1)＋f(0)＋0，得f(0)＝0f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)－2，得f(－1)＝0f(－2)＝f(－1－1)＝f(－1)＋f(－1)＋2，得f(－2)＝2f(－3)＝f(－1－2)＝f(－1)＋f(－2)＋4，得f(－3)＝6變式練習(xí)3：cx，3則常數(shù)c等于（）f(x))知足f[f(x)]x函數(shù)2x3(x2A：3B：3C：3或3D：5或3ccx02c62x3c2x(2c6)x2【分析】：＝xcx9x得29c＝－3B23c2x3三、函數(shù)的值域（一）、值域：函數(shù)yf(x)，xA，我們把函數(shù)值的會合{f(x)/xA}稱為函數(shù)的值域。（二）、基本函數(shù)的值域：1、一次函數(shù)ykxb（a0）的值域為R；2、二次函數(shù)yax2bxc（a0）；xR的值域3、反比率函數(shù)的值域為{y/y0}4、指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域為(0，＋∞)5、對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域為R；6、正弦y＝sinx，余弦函數(shù)y＝cosx的值域[－1，1]；7、正切函數(shù)y＝tanx的值域為R；8、函數(shù)f(x)＝xa的值域與指數(shù)a的關(guān)系，對于不一樣的a值，值域不一樣。（三）求值域的詳細(xì)方法1、察看法（直接法）：例8：求函數(shù)f(x)＝2x＋1，x{1，2，3，4，5}【分析】：y∈{3，5，7，9，11}變式練習(xí)：求函數(shù)的值域：（1）f(x)＝x＋1（2）f(x)＝1x1【分析】：（1）y≥1（2）y≠0．．．．2、配方法：利用二次函數(shù)求值域【二次函數(shù)的對稱軸x＝－b，極點坐標(biāo)(－b，4acb2)】；2a2a4a例9：求函數(shù)f(x)＝x2－6x－7，xR的值域解：f(x)＝x2－6x－7＝(x－3)2－16≥－16，因此函數(shù)的值域{y︱y≥－16}或16，。變式練習(xí)：求函數(shù)的值域（1）f(x)＝x2－4x－3，xR（2）f(x)＝－x2－6x＋7，xR（3）f(x)＝x2－4x－3，x[－1，3]（4）f(x)＝－x2－6x＋7，x[－1，3]（5）設(shè)、是方程4x2－4mx＋m＋2（x∈R）的兩實根，當(dāng)m為什么值時，2＋2有最小值？求出這個最小值。22()22m21m1【分析】：16m216(m2)0,m2或m1,222)min1當(dāng)m1時,(23、分別常數(shù)法：【形如反比率函數(shù)的值域y＝k(k≠0)，】例10：求函數(shù)f(x)＝2x1的值域。xx1【分析】：f(x)＝2x1＝2(x1)3＝2－3y≠3x1x1x1變式練習(xí)：求函數(shù)f(x)＝5x1的值域。9x2【分析】：f(x)＝5＋y≠5x2．．．．．．．．．．．．．．．．4、單一法：先判斷函數(shù)f(x)的區(qū)間上的單一性，再代入端點求值域的方法。例11：已知函數(shù)f(x)＝2(x[2,6])，求函數(shù)的最大值和最小值。x1【分析】：函數(shù)f(x)在[2，6]上是減函數(shù)，因此函數(shù)在區(qū)間上的兩個端點分別獲得最大值與最小值，當(dāng)x＝2函數(shù)取最大值2，當(dāng)x＝6函數(shù)取最小值。變式練習(xí)1：求函數(shù)f(x)＝3x(x[4,6])的值域。x3【分析】：[9，12]變式練習(xí)2：求以下函數(shù)的值域（1）f(x)＝2x22x5（2）f(x)＝(1)x22x52【分析】：（1）f(x)＝2(x1)24（2）f(x)＝(1)(x1)2625、換元法例12：求函數(shù)f(x)＝x＋2x1變式練習(xí)1：分別求以下函數(shù)的值域（1）f(x)＝2x＋2x3（2）f(x)＝2x－3x1變式練習(xí)2：分別求以下函數(shù)的值域（1）f(x)＝4x＋6×2x－3（2）f(x)2＝sinx＋2cosx－36、基本不等式法【基本不等式章節(jié)要點解說】例13：求函數(shù)f(x)＝x＋3(x＞－1)的最小值_____________。x1（0＜x＜3例14：求函數(shù)f(x)＝x×(3－2x)）的最大值___________。27、三角函數(shù)法【三角函數(shù)章節(jié)要點解說】8、導(dǎo)數(shù)法【導(dǎo)數(shù)章節(jié)要點解說】9、三角代換法(參數(shù)法)【極坐標(biāo)與參數(shù)方程章節(jié)要點解說】四、函數(shù)的表示法（一）表示函數(shù)的方法有：有分析法、列表法和圖象法三種。（1）、分析法：假如函數(shù)y＝f(x)（x∈A）中，f(x)是用代數(shù)式（或分析式）來表達的，則這類表達函數(shù)的方法叫做分析法（公式法）。2）列表法：經(jīng)過列出自變量與對應(yīng)函數(shù)值的表格來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。3）、圖象法：用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法，叫做圖像法。（二）求函數(shù)分析式1、拼集法：已知f[g(x)]的分析式，要求f(x)的分析式，從f[g(x)]的分析式中拼集出“g(x)”，兩邊用“x”取代“g(x)”即可獲得f(x)的分析式。例13：若f(1)＝1x，求f(2)xx211xxx22【分析】∵f(x)＝1x2＝1)21∴f(x)＝x21∴f(2)＝221＝3(x變式練習(xí)：（1）已知f(x＋1)＝x2＋1，求f(x)xx2（2）已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)【分析】：（1）f(x)＝x2－2（2）f(x)＝x2－12、換元法：已知函數(shù)f[g(x)]的分析式，令g(x)＝t，求f(t)的分析式，用x取代兩邊全部的t，即可。例14：已知函數(shù)f(2x2＋1)＝x－2x，求f(1)【分析】令2x＋1＝t，則x＝

t12

t12×t1t26t5∴f(t)＝()－22＝42x26x512615∴f(x)＝4∴f(1)＝4＝0變式練習(xí)：（1）已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)（2）已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]1x21＝(x≠0)，求f()x22（3）已知f(ex)＝x＋ex，則f(1)＝___________。（4）已知f(3x)＝4x×log23＋233，則f(2)＋f(4)＋f(8)＋＋f(28)的值等于_________。【分析】：（1）f(x)21)＝15（3）f(1)＝1＝x－1（2）f(2（4）令3x＝t，則x＝log3t，則f(t)＝4log2t＋233，故f(2)＋f(4)＋f(8)＋＋f(28)＝4＋8＋12＋＋32＋233×8＝20083、方程組法：已知f(x)與f[g(x)]知足的關(guān)系式，要求f(x)時，用g(x)取代兩邊全部的x，獲得對于f(x)，f[g(x)]．．．f(x)的方程組，解方程組得。例15：已知函數(shù)f(x)知足，f(x)－2f(1)＝3x＋2，求f(x)的分析式。x【分析】：用1取代x得：f(1)－2f(x)＝3×1＋2xxxf(x)2f(1)3x2∴x解之得：f(x)＝－x－1－2132xf()2f(x)xx變式練習(xí)：已知函數(shù)f(x)知足：f(x)＋2f(2的分析式。－x)＝x＋x，求函數(shù)f(x)【分析】：f(x)＝x23x34、待定系數(shù)法：（1）、初中所學(xué)一次函數(shù)、反比率函數(shù)、二次函數(shù)分析式的求法。一次函數(shù)：f(x)＝kx＋b(k≠0)；反比率函數(shù)：f(x)＝k(k≠0)，xf(x)ax2bxc二次函數(shù)：f(x)a(xh)2k(a0)f(x)a(xx1)(xx2)（2）若已知f(x)函數(shù)的種類，求f(x)的分析式，可依據(jù)種類設(shè)其分析式，而后確立其系數(shù)即可。例16：已知一次函數(shù)f(x)知足f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)的分析式。【分析】設(shè)：f(x)＝kx＋b(k≠0)∴f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋3k24k2k2∴解之得1或3kbb3bb∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3例17：已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且2f(1)＋3f(2)＝3，2f(－1)－3f(0)＝－1，求f(x)的分析式?！痉治觥吭O(shè)：f(x)＝kx＋b(k≠0)，由題意得2(kb)3(2kb)3k4941解之得：∴f(x)＝x－2(kb)3(0b)199b19變式練習(xí)：（1）已知一次函數(shù)f(x)知足f[f(x)]＝9x＋8，求f(x)的分析式。（2）已知一次函數(shù)f(x)知足：3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的分析式?！痉治觥浚?）f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4（2）f(x)＝2x＋7四、分段函數(shù)：在定義域內(nèi)，對于自變量x的不一樣取值范圍，對應(yīng)關(guān)系（對應(yīng)法例）不一樣，這樣函數(shù)往常稱為分段函數(shù)。由此可知，作分段函數(shù)的圖像時，應(yīng)依據(jù)不一樣定義域上的不一樣分析式分別作出。注意：（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)；（2）在分段時端點不重也不漏；（3）分段函數(shù)的定義域為每段范圍的并集，值域也是每個地區(qū)內(nèi)值域的并集。（一）分段函數(shù)的圖象例18：作出函數(shù)f(x)＝｜x｜的圖象。x，x0【分析】：f(x)＝｜x｜＝0x,x變式練習(xí)：作出分段函數(shù)yx1x2的圖像（二）分段函數(shù)的求值。1，x22x例19：已知函數(shù)f(x)＝，2x2x2，x24x

求：（1）f(3)（2）f[f(3)]（3）f{f[f(3)]}【分析】：∵（1）3＞2，∴f(3)＝32－4×3＝－3；（2）∵－3＜2，∴f[f(3)]＝f(－3)＝1×(－3)＝－322（3）∵－2＜－3＜2，∴f{[f(3)]}＝f(－3)＝22x2，x1變式練習(xí)1：已知函數(shù)f(x)＝2x，1x2，1x2，x22（1）求f[f(－1)]（2）若f(a)＝3，求a的值?！痉治觥浚海?）f[f(－1)]＝2（2）a＝3或a＝62變式練習(xí)2：設(shè)a≠0，函數(shù)f(x)4log2(x),x02))＝4，則f(a)等于（＝ax,x，若f(f(－）x20A：8B：4C：2D：1【分析】A課后綜合練習(xí)1、以以下圖（1）（2）（3）（4）四個圖象各表示兩個變量x，y的對應(yīng)關(guān)系，此中表示y是x的函數(shù)關(guān)系的有____________?！痉治觥浚海?）（3）2、函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a的交點的個數(shù)為（）A：必有1個B：1個或2個C：至多1個D：可能2個以上【分析】：C3、若函數(shù)f(x)＝ax22x1的定義域為，則實數(shù)a的取值范圍是__________。R【分析】：a＞04、已知f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy，且f(1)＝1，求f(5)【分析】：f(5)＝15