福建省福清元載中學(xué)高中數(shù)學(xué)選修2-1教案32立體幾何中的向量方法空間距離

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2立體幾何中的向量方法空間距離利用向量方法求解空間距離問題，可以回避此類問題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)變成向量間的計算問題．例１如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD,且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離．解析:由題設(shè)可知CG、CB、CD兩兩互相垂直,可以由此建立空間直角坐標(biāo)系．用向量法求解，就是求出過

B且垂直于平面

EFG的向量，它的長即為點(diǎn)

B到平面

EFG的距離．解：如圖，設(shè)

CD

4i，CB

4j，CG

2k，

以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系

C－xyz．由題設(shè)C(0,0,0），A（4,4,0）,B(0,4,0),D(4,0，0),E（2,4，0)，F(xiàn)4,2,0），G(0，0,2)．∴BE(2,0,0)，BF(4,2,0)，BG(0,4,2)，GE(2,4,2)，EF(2,2,0)．設(shè)BM平面EFG，M為垂足，則M、G、E、F四點(diǎn)共面，由共面向量定理知，存在實數(shù)a、b、c，使得BMaBEbBFcBG(abc1),∴BMa(2,0,0)b(4,2,0)c(0,4,2)＝(2a+4b,－2b－4c，2c)．由BM平面EFG，得BMGE，BMEF,于是BMGE0，BMEF0．(2a4b,2b4c,2c)(2,4,2)0∴(2a4b,2b4c,2c)(2,2,0)0abc1a15a5c0117．整理得：a3b2c0,解得babc111c311BM＝(2a+4b，－2b－4c，2c)＝(2,2,6)．111111學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精226211∴222|BM|11111111211故點(diǎn)B到平面EFG的距離為．說明：用向量法求點(diǎn)到平面的距離，常常不用作出垂線段，只要利用垂足在平面內(nèi)、共面向量定理、兩個向量垂直的充要條件解出垂線段對應(yīng)的向量就可以了．例2已知正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1,求直線DA'與AC的距離．解：如圖,設(shè)B'A'i,B'C'j，B'Bk，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系B'－xyz，則有A'(1,0,0),D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1)．∴DA'(0,1,1),AC(1,1,0),A'A(0,0,1)．設(shè)n(x,y,z)是直線l方向上的單位向量，則x2y2z21．∵nDA'，nAC，yz03或xyz3．∴xy0，解得xyzx2y2z2133取n(3,3,3)，則向量A'A在直線l上的投影為A'A(3,3,3)·(0,0,1)3．3333333由兩個向量的數(shù)量積的幾何意義知，直線DA'與AC的距離為3．3向量的內(nèi)積與二面角的計算在《高等代數(shù)與解析幾何》課程第一章向量代數(shù)的授課中，講到幾何空間的內(nèi)積時，有一個例題（見［1］,p53）要求證明以下的公式:cos

cos

cos

sin

sin

cos,

(1)其中點(diǎn)

O是二面角

P—MN-Q的棱

MN

上的點(diǎn)，OA、OB分別在平面

P和平面

Q內(nèi)。

AON

，BON

，

AOB

。為二面角

P—MN-Q（見圖

1).學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精zPDAaNyMObx

BQ圖1公式（1)可以利用向量的內(nèi)積來加以證明：以Q為坐標(biāo)平面,直線MN為y軸,如圖1建立直角坐標(biāo)系。記xOz平面與平面P的交線為射線OD,則ODMN，得AOD，DOx,DOz。22分別沿射線OA、OB的方向上作單位向量a，b，則a,b。由計算知a，b的坐標(biāo)分別為(sincos,cos,sinsin)，(sin,cos,0)，于是,absinsincos.cosabcoscos|a||b|公式（1)在立體幾何計算二面角的平面角時是適用的。我們來介紹以下的兩個應(yīng)用。例1．立方體ABCD—A1B1C1D1的邊長為1,E、F、G、H、I分別為A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中點(diǎn)。求面EFG和面GHI的夾角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。解由于圖2中所畫的兩平面EFG和GHI只有一個公共點(diǎn)，沒有交線，因此我們可以將該立方體沿AB方向平移1個單位.這樣就使平面EFG平移至平面HIG。而就是二面角G-IH—G（見圖3）。利用公式（1)，只要知道了，和的大小，我們就能求出。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精D1C1EHGA1B1FDICAB圖2由已知條件，

GHI

和

HIG

均為等邊三角形，因此

,而

GIG

。因此,3

2D1

C1E

HG

G'A1

B1FDICAB圖3cos

cos

cos

sin

sin

cos

，2

3

3

3

3即1133。022cos22解得cos1，arccos1。33自然，在建立了直角坐標(biāo)系此后，經(jīng)過計算向量的外積可計算出兩平面的法向量，利用法向量同樣也可算出夾角來。例2．計算正十二面體的兩個相鄰面的夾角的大小。解我們知道正十二面體的每個面都是大小相同的正五邊形，且在正十二面體的每個極點(diǎn)上均有3個面圍繞.設(shè)P和Q是兩個相鄰的面，MN是它們的交線(如圖4),則公式（1）中的，，分別為:AMN,BMN，AMB，因此它們均為正五邊形的內(nèi)角.因此學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精108。NPQMAB圖4因此,由公式（1)知cos108cos108cos108sin108sin108cos，或coscos108(1cos108)5.sin21085因此，arccos5，或1163354。5若是不使用公式（1），要求出例2中的夾角的大小在計算上要復(fù)雜很多。利用例2的結(jié)果，我們可以簡單地計算出單位棱長正十二面體的體積V。設(shè)單位棱長正十二面體的中心為O,則該十二面體可以切割成十二個全等的正五棱錐，每個五棱錐以該多面體的一個面為底面、以O(shè)為其極點(diǎn)。設(shè)該正五棱錐為,從而可知：V12V。再設(shè)的底面積為S、高為h,設(shè)O為單位邊長正五邊形（即的底）的中心，A、B為該五邊形的兩個相鄰的極點(diǎn)，H為AB的中點(diǎn)，|OH|a,則O'AH54，a1tanO'AH1tan54，S5a5tan54。2h224仍設(shè)為正十