五年級奧數(shù)春季班第3講 帶余除法進(jìn)階

五年級奧數(shù)春季班第3講帶余除法進(jìn)階五年級奧數(shù)春季班第3講帶余除法進(jìn)階五年級奧數(shù)春季班第3講帶余除法進(jìn)階V:1.0精細(xì)整理，僅供參考五年級奧數(shù)春季班第3講帶余除法進(jìn)階日期：20xx年X月第三講帶余除法進(jìn)階模塊一、化除為乘一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0），若有a÷b=q……r，或者a=b×q+r，0≤r<b；當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除；當(dāng)r≠0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的商。在帶余除法的算式中，已知三個(gè)量，就可以求出第四個(gè)量。特別注意：0≤r<b.例1．完成下列填空：17÷5=……；÷6=13……4；79÷=9……7；113÷=12……；解：17÷5=3……2；82÷6=13……4；79÷8=9……7；113÷9=12……5；例2．兩個(gè)自然數(shù)相除，商是7，余數(shù)是5，如果兩個(gè)數(shù)相加，和是69，那么這兩個(gè)數(shù)分別是和。解：設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)分別為a、b，且a=7b+5，a+b=69，則7b+5+b=69，解得b=8，a=61.所以這兩個(gè)數(shù)分別是61和8。模塊二、余數(shù)的特征余數(shù)特征：1．末位法——被4、25、8、125、16、625除的余數(shù)特征；2．?dāng)?shù)位和法——被3、9、99除的余數(shù)特征；3．?dāng)?shù)位差法——被11除的余數(shù)特征；4．三位截?cái)喾ā?、11、13除的余數(shù)特征；例3．34567除以3、4、5、7、9、11、13、99、999的余數(shù)分別為；；；；；；；；。解：34567除以3、4、5、7、9、11、13、99、999的余數(shù)分別為1；3；2；1；7；5；0；16；601。例4．（1）23456789+3456789的結(jié)果除以9的余數(shù)為；（2）23456789×3456789的結(jié)果除以9的余數(shù)為；（3）36×37×38+39×40×41的結(jié)果除以7的余數(shù)為；解：（1）23456789+3456789≡8+6≡5(mod9)，所以余數(shù)是5；（2）23456789+3456789≡8×6≡48≡3(mod9)，所以余數(shù)是3；（3）36×37×38+39×40×41≡1×2×3+4×5×6≡126≡0(mod7)，所以余數(shù)是0.模塊三、1．a(chǎn)與b的差除以c的余數(shù)，等于a、b分別除以c的余數(shù)之差（或a的余數(shù)加一個(gè)除數(shù)減b的余數(shù)）；2．a(chǎn)與b的和除以c的余數(shù)，等于a、b分別除以c的余數(shù)之和（或這個(gè)加除以c的余數(shù)）；3．a(chǎn)與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a、b分別除以c的余數(shù)之積（或這個(gè)積除以c的余數(shù)）；例5．（1）若已知358除以7的余數(shù)是4，那么359除以7的余數(shù)是；360除以7的余數(shù)是；（2）3、32、33、34、35、36、37、38、39、310除以7的余數(shù)分別是；；；；；；；；；。（3）發(fā)現(xiàn)規(guī)律，3100除以7的余數(shù)是。解：（1）359≡(358)×3≡4×3≡5(mod7)，360≡(359)×3≡5×3≡1(mod7)，所以那么359除以7的余數(shù)是5，那么360除以7的余數(shù)是1；（2）3、32、33、34、35、36、37、38、39、310除以7的余數(shù)分別是3、2、6、4、5、1、3、2、6、4；（3）3100=(36)16×34≡1×4≡4(mod7)，所以3100除以7的余數(shù)是4。例6．著名的斐波那契數(shù)列1、1、2、3、5、8、13、21、……中，從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它前面兩項(xiàng)的和，現(xiàn)在我們考慮這個(gè)數(shù)列的第2014項(xiàng)：（1）這一項(xiàng)是奇數(shù)還是偶數(shù)；（2）這一項(xiàng)除以9的余數(shù)是。解：（1）斐波那契數(shù)列中各項(xiàng)的奇偶性是奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、……，即第3、6、9、……項(xiàng)為偶數(shù)，其余項(xiàng)為奇數(shù)，2014÷3=671……1，所以這一項(xiàng)是奇數(shù)；（2）依次寫出各項(xiàng)除以9的余數(shù)是1、1、2、3、5、8、4、3、7、1、8、0、8、8、7、6、4、1、5、6、2、8、1、0、1、1、2、3、……，所以這是以24為周期的循環(huán)，2014÷24=83……22，所以第2014項(xiàng)除以9的余數(shù)是1.隨堂測試1．完成下列填空：89÷6=……；÷7=12……5；95÷=8……7；330÷=19…….解：89÷6=14……5；89÷7=12……5；95÷11=8……7；330÷17=19……7。2．兩個(gè)數(shù)相除商是9，余數(shù)是4，兩個(gè)數(shù)相加，和是54，則這兩個(gè)數(shù)的乘積為。解：設(shè)a÷b=9……4，即a=9b+4，又a+b=54，所以9b+4+b=54，b=5，a=49，所以a×b=49×5=245.3．684597除以5、7、9、11、13的余數(shù)分別為；；；；。解：684597除以5的余數(shù)是7÷5的余數(shù)2；684597除以7的余數(shù)，把684597分成684|597，用684?597=87，再算87÷7=12……3，因?yàn)槭怯们懊娴娜粩?shù)減去后面的三位數(shù)，所以除以7的余數(shù)應(yīng)該是7?3=4；684597除以9的余數(shù)是3；684597除以11的余數(shù)，可以用奇數(shù)位的數(shù)字和減去偶數(shù)位的數(shù)字和即(8+5+7)?(6+4+9)=1，所以此時(shí)余數(shù)是1；684597除以13的余數(shù)；把684597分成684|597，用684?597=87，再算87÷13=6……9，因?yàn)槭怯们懊娴娜粩?shù)減去后面的三位數(shù)，所以除以13的余數(shù)應(yīng)該是13?9=4；684597除以5、7、9、11、13的余數(shù)分別為2、4、3、1、4.4．23×24×25×26×27×28×29×30×31的結(jié)果除以11的余數(shù)為。解：23×24×25×26×27×28×29×30×31≡1×2×3×4×5×6×7×8×9≡2×3×4×5×(11?6)×(11