近世代數(shù)期末考試題(卷)庫(kù)

..一、單項(xiàng)選擇題(本大題共

5

小題，每小題3

分，共

15

分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

A

到

B

的映射則是從

A

到

B

的（ c

）A、滿射而非單射 B、單射而非滿射C、一一映射 D、既非單射也非滿射2、設(shè)集合A

中含有

5

個(gè)元素，集合B

中含有

2

與

B

的積集合

A×B

中含有（ d ）個(gè)元素。A、2 B、5 D、103、在群

G

中方程

ax=b，ya=b，

都有解，這個(gè)解是（b

）乘法來(lái)說(shuō)A、不是唯一 C、不一定唯一的 4、當(dāng)

G

為有限群，子群

H

所含元的個(gè)數(shù)與任一左陪集

aH

所含元的個(gè)數(shù)（c

）A、不相等 C、相等 D、不一定相等。5、n

階有限群

G

的子群

H

的階必須是

n

的（d ）A、倍數(shù) C、約數(shù) 二、填空題(本大題共

10

小題，每空

3

分，共

30

分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。1、設(shè)集合

；

，則有

。2、若有元素

e∈R

使每

a∈A，都有

ae=ea=a，則

e

稱(chēng)為環(huán)

R

的單位元。3、環(huán)的乘法一般不交換。如果環(huán)

R

的乘法交換，則稱(chēng)

R

是一個(gè)交換環(huán)。4、偶數(shù)環(huán)是整數(shù)環(huán)的子環(huán)。5、一個(gè)集合

A

的若干個(gè)--變換的乘法作成的群叫做

A

的一個(gè)變換全。6、每一個(gè)有限群都有與一個(gè)置換群同構(gòu)。7、全體不等于

0

的有理數(shù)對(duì)于普通乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，則這個(gè)群的單位元是

1，元

a的逆元是

8、設(shè)I

和

是環(huán)的理想且I

，如果I

是的最大理想，那么---------。9、一個(gè)除環(huán)的中心是一個(gè)-域三、解答題（本大題共3

小題，每小題

10

分，共

30

分）1、設(shè)置換

和

1、設(shè)置換

和

分別為：

，

，判斷

和

的奇偶性，并把

和

矩陣，且

矩陣，且

C。若令有

，這里

和C

分別為對(duì)稱(chēng)矩陣和反對(duì)稱(chēng)矩陣，則之和。奇

1、解：把

和

寫(xiě)成不相雜輪換的乘積：

可知

為奇置換，

為偶置換。

和

可以寫(xiě)成如下對(duì)換的乘積：

2

解：設(shè)

A

是任意方陣，令 ， ，則

B

是對(duì)稱(chēng)矩陣，而

C ..

，

，所以，表示法唯一。 3、設(shè)集合M

m

,m

m}(m

，定義M

m中運(yùn)算“m”為

am（M

m，m）是不是群，為什么？四、證明題（本大題共2

小題，第

1

題

10

分，第

2

小題

15

分，共

25

分）1、設(shè)是群。證明：如果對(duì)任意的，有

e，則是交換群。2、假定R

是一個(gè)包含

R

的域，那么F

包含

R

的一個(gè)商域。

G

中任意元

(

)

(

)

（對(duì)每個(gè)

e可得

）。2、證明在

F

里

b

b

,

b,

b

,

b,

b

b

顯然是

R

的一個(gè)商域 證畢。近世代數(shù)模擬試題二一、單項(xiàng)選擇題

G

有

6

個(gè)元素的循環(huán)群，a

是生成元，則

G

的子集（c

）是子群。 e e ,

,

e e e ,

）不是群A、G

為整數(shù)集合，*為加法

為偶數(shù)集合，*為加法C、G

為有理數(shù)集合，*為加法

為有理數(shù)集合，*為乘法3、在自然數(shù)集

N

上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？（ b ）A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b}

a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、設(shè)

、

、是三個(gè)置換，其中

則

b

）

5、任意一個(gè)具有

2

個(gè)或以上元的半群，它（ a

）。A、不可能是群 B、不一定是群C、一定是群

是交換群二、填空題(本大題共

10

小題，每空

3

分，共

30

分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。1、凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)子群都同一個(gè)---變換全-------同構(gòu)。2、一個(gè)有單位元的無(wú)零因子-交換環(huán)----稱(chēng)為整環(huán)。3、已知群

中的元素

的階等于

的階等于-25-----。....4、a

的階若是一個(gè)有限整數(shù)

n，那么

G

n

乘余類(lèi)加群-----同構(gòu)。5、A={1.2.3} B={2.5.6}

那么

A∩B=---2--。6、若映射

既是單射又是滿射，則稱(chēng)為---雙射--------------。7、

叫做域

F

的一個(gè)代數(shù)元，如果存在

F

的--不都等于林---

,

,

,n

使得

n

n

。是代數(shù)系統(tǒng)的元素，對(duì)任何

均成立

，則稱(chēng)9、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群，如果滿足對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、--消去律成立-------。10、一個(gè)環(huán)

R

對(duì)于加法來(lái)作成一個(gè)循環(huán)群，則P

是----------。三、解答題（本大題共3

小題，每小題

10

分，共

30

分）1、設(shè)集合

A={1,2,3}G

是

A

上的置換群，H

是

G

的子群，H={I,(1

H

的所有陪集。2、設(shè)E

?”是數(shù)的乘法，則“?”是E

?）是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，問(wèn)（E，?）是不是群，為什么？1、解：H

的

3

個(gè)右陪集為：{I,(1

2

3

3)}，{(1

3

2

3

)}H

的

3

個(gè)左陪集為：{I,(1

2)}

，{(1

2

3

3)}，{(1

3

2

3

)}?）不是群，因?yàn)椋‥，?）中無(wú)單位元。3、解

方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到

(a,b)=17,

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以

p=4,

q=-5.四、證明題（本大題共2

小題，第

1

題

10

分，第

2

小題

15

分，共

25

分）

設(shè)

e

＝b。所以，x＝a－1*b

是

a*x＝b

的解。若

x∈G

也是

的解，則

x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b

是

a*x＝b

的惟一解。2、容易證明這樣的關(guān)系是Z

上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，把這樣定義的等價(jià)類(lèi)集合

記為

個(gè)整數(shù)

a

，稱(chēng)之為模m

剩余類(lèi)。若

m︱a–b

也記為

當(dāng)

m=2

時(shí)，Z2

僅含

2

個(gè)元：[0]與[1]。四、證明題（本大題共2

小題，第

1

題

10

分，第

2

小題

15

分，共

25

分）1、若<G，*>是群，則對(duì)于任意的

a、b∈G，必有惟一的

x∈G

使得

a*x＝b。2、設(shè)

m

是一個(gè)正整數(shù)，利用

m

定義整數(shù)集

Z

上的二元關(guān)系：a b

當(dāng)且僅當(dāng)

....近世代數(shù)模擬試題三一、單項(xiàng)選擇題1、6

階有限群的任何子群一定不是（ c ）。A、2

階 B、3

階 C、4

階

6

階2、設(shè)

G

是群，G

有（

c）個(gè)元素，則不能肯定

G

是交換群。A、4

個(gè)

個(gè)

個(gè)

個(gè)3、有限布爾代數(shù)的元素的個(gè)數(shù)一定等于（ d ）。4、下列哪個(gè)偏序集構(gòu)成有界格（

d ）A、偶數(shù) B、奇數(shù) C、4

的倍數(shù)

的正整數(shù)次冪） ）

(P(A),

)5、設(shè)

S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在

S3

中可以與(123)交換的所有元素有（

a

）A、(1)，(123)，(132) C、(1)，(123)

中的所有元素二、填空題(本大題共

10

小題，每空

3

分，共

30

分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。1、群的單位元是--------的，每個(gè)元素的逆元素是--------的。2、如果

是

與

間的一一映射，

是

的一個(gè)元，則

----a------。3、區(qū)間[1，2]上的運(yùn)算b

,

b}的單位元是--2-----。4、可換群

G

中|a|=6,|x|=8,則|ax|=———24———————。5、環(huán)

Z

的零因子有

--------- --------------。6、一個(gè)子群

H

的右、左陪集的個(gè)數(shù)---相等-------。7、從同構(gòu)的觀點(diǎn)，每個(gè)群只能同構(gòu)于他/它自己的-----商權(quán)----。8、無(wú)零因子環(huán)

R

中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱(chēng)為R

的---特征--------。9、設(shè)群

中元素的階為m，如果n

e，那么m與存在整除關(guān)系為---mIn----。三、解答題（本大題共3

小題，每小題

10

分，共

30

分）1、用

2

種顏色的珠子做成有

5

顆珠子項(xiàng)鏈，問(wèn)可做出多少種不同的項(xiàng)鏈？2、S

，S

是

A

的子環(huán)，則

S

∩S

也是子環(huán)。S

+S

也是子環(huán)嗎？ 3、設(shè)有置換

，

。1．求

和；2．確定置換

和的奇偶性。群論前我們沒(méi)有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫(huà)一下，用黑白兩種珠子，分類(lèi)進(jìn)行計(jì)算：例如，全白只

1

種，四白一黑

1

種，三白二黑

2

種，…等等，可得總共

8種。2、證

由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對(duì)任意

有

a-b,

....因?yàn)?/p>

S1，S2

是

A

的子環(huán)，故

a-b,

和

a-b,

，因而

a-b,

，所以

是子環(huán)。S1+S2

不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：3、解：

，

；2．兩個(gè)都是偶置換。四、證明題（本大題共2

小題，第

1

題

10

分，第

2

小題

15

分，共

25

分）1、一個(gè)除環(huán)

R

只有兩個(gè)理想就是零理想和單位理想。2、M

為含幺半群，證明b=a的充分必要條件是

aba=a和

aba=e。是

R

的一個(gè)理想而

a

，因而

R

的任意元b

b?

這就是說(shuō)

=R，證畢。2、證

必要性：將

b

代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運(yùn)算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2

近世代數(shù)模擬試題四一、單項(xiàng)選擇題(本大題共

5

小題，每小題

3

分，共

15

分)括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.設(shè)集合

A

中含有

5

個(gè)元素，集合

B

中含有

2

個(gè)元素，那么，A

與

B

的積集合

A×B

中含有（ d ）個(gè)元素。A.2 B.5C.7 D.102.設(shè)

A＝B＝R(實(shí)數(shù)集)，如果

A

到

B

的映射：x→x＋2，x∈R，則是從

A

到

B

的（ c ）A.滿射而非單射 B.單射而非滿射C.一一映射 D.既非單射也非滿射3.設(shè)

S

＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在

S

中可以與(123)交換的 所有元素有（ a ）....A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123) D.S

中的所有元素4.設(shè)

Z

是以

15

為模的剩余類(lèi)加群，那么，Z

的子群共有（ d ）個(gè)。 A.2 B.4C.6 D.85.下列集合關(guān)于所給的運(yùn)算不作成環(huán)的是（ b ）A.整系數(shù)多項(xiàng)式全體Z［x］關(guān)于多項(xiàng)式的加法與乘法B.有理數(shù)域

Q

上的

n

級(jí)矩陣全體

M

(Q)關(guān)于矩陣的加法與乘法C.整數(shù)集

Z

關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“

”：m，

n∈Z，

m

n＝0D.整數(shù)集

Z

關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“

”：m，

n∈Z，

m

n＝1二、填空題(本大題共

10

小題，每空

3

分，共

30

分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。6.設(shè)“～”是集合A

的一個(gè)關(guān)系，如果“～”滿足___________，則稱(chēng)“～”是A

的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

a，b∈G，則

也是

G

中的可逆元，而且(ab)＝___________。8.設(shè)σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S

，那么στ＝___________(表示成若干個(gè)沒(méi)有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)。9.如果

G

是一個(gè)含有

15

個(gè)元素的群，那么，根據(jù)Lagrange

定理知，對(duì)于a∈G，則元素a

的階只可能是____5,15,1,3,_______。10.在

3

次對(duì)稱(chēng)群

S

中，設(shè)

H＝{(1)，(123)，(132)}是

S

的一個(gè)不變子群，則商群

G/H 中的元素(12)H＝___________。11.設(shè)

Z

＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以

6

為模的剩余類(lèi)環(huán)，則Z

中的所有零 因子是___2,3,4________。12.設(shè)

R

是一個(gè)無(wú)零因子的環(huán)，其特征n

是一個(gè)有限數(shù)，那么，n

是___________。13.設(shè)

x

___________。14.設(shè)高斯整數(shù)環(huán)

Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中

i

Z［i］中的所有單位是______________________。15.有理數(shù)域

Q

上的代數(shù)元

+

在

Q

上的極小多項(xiàng)式是___________。三、解答題（本大題共

3

小題，每小題

10

分，共

30

分）16.設(shè)

Z

為整數(shù)加群，Z為以

m

為模的剩余類(lèi)加群，是

Z

到

Z的一個(gè)映射，其中

：k→［k］，k∈Z，驗(yàn)證：是

Z

到

Z的一個(gè)同態(tài)滿射，并求的同態(tài)核

Ker。17.求以

6

為模的剩余類(lèi)環(huán)

Z

＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子環(huán)，并說(shuō)明這些子環(huán)都是

Z

的理想。18.試說(shuō)明唯一分解環(huán)、主理想環(huán)、歐氏環(huán)三者之間的關(guān)系，并舉例說(shuō)明唯一分解環(huán)未必..是主理想環(huán)。

..四、證明題（本大題共

3

小題，第

19、20

小題各

10

分，第

21

小題

5

分，共

25

分）19.設(shè)

G＝{a，b，c}，G

的代數(shù)運(yùn)算“

”由右邊的運(yùn)算表給出，證明：(G，

)作成一個(gè)群。 a b ca a b cb b c ac c a b20.設(shè)R

R

d,I

,

b

d

已知

R

關(guān)于矩陣的加法和乘法作成一個(gè)環(huán)。證明：I

是

R

的一個(gè)子環(huán)，但不是理想。

是一個(gè)交換環(huán)。近世代數(shù)模擬試題一 參考答案一、單項(xiàng)選擇題。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空題(本大題共

10

小題，每空

3

分，共

30

分)。,

,

, ,

,

,

, ,構(gòu);7、零、-a

；8、S=I

或

S=R

；9、域；三、解答題（本大題共3

小題，每小題

10

分，共

30

分）1、解：把

和

寫(xiě)成不相雜輪換的乘積：

可知

為奇置換，

為偶置換。

和

可以寫(xiě)成如下對(duì)換的乘積：

2、解：設(shè)A

是任意方陣，令

，

，則B

是對(duì)稱(chēng)矩陣，而C

是反對(duì)稱(chēng)矩陣，且

矩陣，且

C。若令有

，這里

和C

分別為對(duì)稱(chēng)矩陣和反對(duì)稱(chēng)矩陣，則

，

，所以，表示法唯一。 M

m，m）不是群，因?yàn)镸

m中有兩個(gè)不同的單位元素0

和

四、證明題（本大題共2

小題，第

1

題

10

分，第

2

小題

15

分，共

25

分）

G

中任意元

(

)

(

)

（對(duì)每個(gè)

e可得

）。2、證明在

F

里....

b

b

,

b,

b

,

b,

b

b

顯然是

R

的一個(gè)商域 證畢。近世代數(shù)模擬試題二 參考答案一、單項(xiàng)選擇題(本大題共

5

小題，每小題

3

分，共

15

分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空題(本大題共

10

小題，每空

3

分，共

30

分)。1、變換群；2、交換環(huán)；3、25；4、模

n

乘余類(lèi)加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；10、交換環(huán)；三、解答題（本大題共3

小題，每小題

10

分，共

30

分）1、解：H

的

3

個(gè)右陪集為：{I,(1

2

3

3)}，{(1

3

2

3

)}H

的

3

個(gè)左陪集為：{I,(1

2)}

，{(1

2

3

3)}，{(1

3

2

3

)}?）不是群，因?yàn)椋‥，?）中無(wú)單位元。3、解

方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到

(a,b)=17,

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以

p=4,

q=-5.四、證明題（本大題共2

小題，第

1

題

10

分，第

2

小題

15

分，共

25

分）

設(shè)

e

＝b。所以，x＝a－1*b

是

a*x＝b

的解。若

x∈G

也是

的解，則

x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b

是

a*x＝b

的惟一解。2、容易證明這樣的關(guān)系是Z

上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，把這樣定義的等價(jià)類(lèi)集合

記為

個(gè)整數(shù)

a

，稱(chēng)之為模m

剩余類(lèi)。若

m︱a–b

也記為

當(dāng)

m=2

時(shí)，Z2

僅含

2

個(gè)元：[0]與[1]。近世代數(shù)模擬試題三 參考答案一、單項(xiàng)選擇題

二、填空題(本大題共

10

小題，每空

3

分，共

30

分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

m；三、解答題（本大題共3

小題，每小題

10

分，共

30

分）1、解

在學(xué)群論前我們沒(méi)有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫(huà)一下，用黑白兩種珠子，分類(lèi)進(jìn)行計(jì)算：例如，全白只

1

種，四白一黑

1

種，三白二黑

2

種，…等等，..可得總共

8

種。

..2、證

由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對(duì)任意

有

a-b,

因?yàn)?/p>

S1，S2

是

A

的子環(huán)，故

a-b,

和

a-b,

，因而

a-b,

，所以

是子環(huán)。S1+S2

不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：3、解：

，

；2．兩個(gè)都是偶置換。四、證明題（本大題共2

小題，第

1

題

10

分，第

2

小題

15

分，共

25

分）是

R

的一個(gè)理想而

a

，因而

R

的任意元b

b?

這就是說(shuō)

=R，證畢。2、證

必要性：將

b

代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運(yùn)算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2

所以

近

世

代

數(shù)

試

卷

1

分，共

10

分）1、設(shè)

與都是非空集合，那么

。 （

f ）2、設(shè)

、、都是非空集合，則

到

f ）3、只要

是

到

的一一映射，那么必有唯一的逆映射

。 （

t ）4、如果循環(huán)群

中生成元

的階是無(wú)限的，則

與整數(shù)加群同構(gòu)。

（t ）5、如果群的子群是循環(huán)群，那么

也是循環(huán)群。 （ f

）6、群的子群是不變子群的充要條件為

g

,

;g

。

（

t ）7、如果環(huán)的階

，那么的單位元

。 （

t ）8、若環(huán)滿足左消去律，那么必定沒(méi)有右零因子。 （

t ）F(

)中滿足條件

p

的多項(xiàng)式叫做元

在域F

上的極小多項(xiàng)式。

（ f

）EE含有一個(gè)與p

是整數(shù)環(huán)，p是由素?cái)?shù)

p生成的主理想。 （

f ）二、單項(xiàng)選擇題（從下列各題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其號(hào)碼寫(xiě)在題干后面的括號(hào)內(nèi)。答案選錯(cuò)或未作選擇者，該題無(wú)分。每小題1

分，共

10

分）1、設(shè)

,

,

,

和

都是非空集合，而

是

到

的一個(gè)映射，那么（

2 ） n n..8、設(shè)

:

是環(huán)同態(tài)滿射，

b8、設(shè)

:

是環(huán)同態(tài)滿射，

b，那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為（

4 ）39、下列正確的命題是（ 4

）1

①

的同態(tài)核是

的不變子群； ②

的不變子群的逆象是

的不變子群；③

的子群

的象是

的子群； ④

的不變子群的象是

的不變子群。

①若是零元，則b是零元； ②若是單位元，則b是單位元；①集合

,

,

,

,中兩兩都不相同；②

,

,

,

的次序不能調(diào)換； n n③

中不同的元對(duì)應(yīng)的象必不相同； n④一個(gè)元

,

,

,

的象可以不唯一。 n2、指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算（

3 ）4①在整數(shù)集

上，b

b

； ②在有理數(shù)集上，b

；n③在正實(shí)數(shù)集

上，b

b；④在集合

n

上，b

b。n3、設(shè)是整數(shù)集

上的二元運(yùn)算，其中b

max

,

b（即取

與b

在

中（ 4

）3①不適合交換律；②不適合結(jié)合律；③存在單位元；④每個(gè)元都有逆元。4、設(shè)

,為群，其中

是實(shí)數(shù)集，而乘法

:b

b，這里

為中固定的常數(shù)。那么群

,中的單位元e和元的逆元分別是（

4 ）①0

和

； ②1

和

③和； ④和

。5、設(shè),

b,和都是群

中的元素且

,

，那么

（

2 ）1①； ②； ③； ④b。

是群有左陪集分類(lèi)

,,

,

的階

（

3 ）2①6； ②24； 7、設(shè)

:

是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（2 ）4 ③若不是零因子，則b

不是零因子；④若

是不交換的，則

不交換。 ①歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)； ②主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；③唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)； ④唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。II10、若I

是域F

的有限擴(kuò)域，E是I

的有限擴(kuò)域，那么（1 ）4II①

E

:

I

E

:

I

:

F； ②

F

:E

I

:FE

:I；③

I

:F

E

:FF

:I； ④

E

:F

E

:I

:F。三、填空題（將正確的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯(cuò)或未填者，該空無(wú)分。每空

1

分，共

10

分）1、設(shè)集合

；

，則有

。2、如果

是

與

間的一一映射，是

的一個(gè)元，則

a 。

與

是

0 。i j i j i j4、設(shè)群

中元素的階為m，如果

e，那么m與存在整除關(guān)系為 。5、凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)子群都同一個(gè) 同構(gòu)。6、給出一個(gè)

5-循環(huán)置換

，那么

。..8、若

是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，

I

是的一個(gè)理想，那么

是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)

I

是

8、若

是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，

I

是的一個(gè)理想，那么

是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)

I

是

,

,

,

2、設(shè)

,

,

,

,

,

是模

6

(

),g

(

)

。如果

(

)

、構(gòu)成一個(gè)集合

3、設(shè)I

和I

為環(huán)的兩個(gè)理想，試證I

I

和I

I

bI

,

bI

都是的理想。

g

(

)

，計(jì)算

g

、

g

和

g

以及它們的次數(shù)。7、若

I

是有單位元的環(huán)

的由

生成的主理想，那么

I

中的元素可以表達(dá)為x 。I一個(gè)最大理想 。9、整環(huán)

I

的一個(gè)元

p叫做一個(gè)素元，如果

既不是零元，也不是單位，且q

只有平凡因子 。10、若域F

的一個(gè)擴(kuò)域E叫做F

的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域，如果 。四、改錯(cuò)題（請(qǐng)?jiān)谙铝忻}中你認(rèn)為錯(cuò)誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫(xiě)在預(yù)備的橫線上面。指出錯(cuò)誤

1

分，更正錯(cuò)誤

2

分。每小題

3

分，共

15

分）1、如果一個(gè)集合

的代數(shù)運(yùn)算

同時(shí)適合消去律和分配律，那么在

里，元的 n次序可以掉換。結(jié)合律與交換律2、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群，如果滿足對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。消去律成立3、設(shè)I

和

是環(huán)的理想且I

，如果I

是的最大理想，那么

。S=I

或

S=RI

的兩個(gè)元和bd

和d

都是和b的最大公因子，那么必有d

d

。一定有最大公因子；d

和

d′只能差一個(gè)單位因子5、

叫做域

F

的一個(gè)代數(shù)元，如果存在

F

的都不等于零的元

,

,

,

使得 n

n

。 n不都等于零的元五、計(jì)算題（共

15

分，每小題分標(biāo)在小題后）1、給出下列四個(gè)四元置換

組成的群，試寫(xiě)出

的乘法表，并且求出

的單位元及

,

,

,

和的所有子群。 六、證明題（每小題10

分，共

40

分）1、設(shè)和b是一個(gè)群

的兩個(gè)元且

，又設(shè)的階

m，b的階

b

，并且m,n

，證明：的階

mn。2、設(shè)為實(shí)數(shù)集，

,

b,

，令

:

,

b,

，將的所有這樣的變換,b,

b,

，試證明：對(duì)于變換普通的乘法，

作成一個(gè)群。(,b) ....4、設(shè)是有限可交換的環(huán)且含有單位元中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代數(shù)試卷參考解答一、判斷題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10× × √ √ × √ √ √ × ×二、單項(xiàng)選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④三、填空題,

,

, ,

。 。

,

,

, ,5、變換群。

。

,

,

。 8、一個(gè)最大理想。i i i i9、p

既不是零元，也不是單位，且q

只有平凡因子。10、E

的每一個(gè)元都是

F

上的一個(gè)代數(shù)元。四、改錯(cuò)題1、如果一個(gè)集合

的代數(shù)運(yùn)算

同時(shí)適合消去律和分配律，那么在

里，元的 n次序可以掉換。結(jié)合律與交換律2、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群，如果滿足對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。消去律成立3、設(shè)I

和

是環(huán)的理想且I

，如果I

是的最大理想，那么

。S=I

或

S=RI

的兩個(gè)元和bd

和d

都是和b的最大公因子，那么必有

一定有最大公因子；d

和

d′只能差一個(gè)單位因子5、

叫做域

F

的一個(gè)代數(shù)元，如果存在

F

的都不等于零的元

,

,

,

使得 n

n

。 n不都等于零的元測(cè)驗(yàn)題一、 填空題（42

分）1、設(shè)集合

M

與M

分別有代數(shù)運(yùn)算與，且M

~

M

，則當(dāng)

滿足結(jié)合律 時(shí)，也滿足結(jié)合律；當(dāng)

滿足交換律 時(shí)，也滿足交換律。2、對(duì)群中任意元素,

b,

有()= ；3、設(shè)群

G

中元素

a

的階是

n，n|m

則m= e ；4、設(shè)

是任意一個(gè)循環(huán)群，若

，則

與 整數(shù)加群 同構(gòu)；若

n，..

..

則

與 n

次單位根群； 同構(gòu)；

,5、設(shè)G=

為6G的生成元有 ,

；

,

,

,,

,

,,,,,

,子群有 ；6、n

次