二次函數(shù)經(jīng)典難題(含精解)資料

精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔二次函數(shù)經(jīng)典難題（含精解）一．選擇題（共1小題）A．1B．2C．3D．6頂點(diǎn)為P的拋物線y=x2﹣2x+3與y軸相交于點(diǎn)在頂點(diǎn)不變的情況下把該拋物線頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到一個(gè)新的拋物線，且新的拋物線與yA．1B．2C．3D．6二．填空題（共12小題）作拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線C2，將拋物線C22個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是，則拋物線C1是 ．拋物線 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線解析式為 ．將拋物線y=x2+1的圖象繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)則旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式是 ．如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)AB與正方形EFGH的頂點(diǎn)GH拋物線的頂點(diǎn)在CD上，若正方形ABCD10，則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為 ．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)“y=a+bx+cb、c1“是等腰直角三角形的概率為 ．拋物線y=a+bx+c△ABC的頂點(diǎn)A（，B4，直角頂點(diǎn)C在y軸上，若拋物線的頂點(diǎn)△ABC的內(nèi)部（不包括邊界，則a的范圍是 ．已知拋物線y=x2﹣6x+a的頂點(diǎn)在x軸上，則a= ；若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的范圍是 ．拋物線x+a2的頂點(diǎn)在直線y=2上，則a= ．若拋物線x+a2的頂點(diǎn)在直線x=2上，則a的值是 ．若拋物線 的頂點(diǎn)在x軸上方，則m的值是 ．y=ax2+c圖象的頂點(diǎn)為OB為對(duì)角線的正方形ABCO的另兩個(gè)頂點(diǎn)AC也在該拋物線上，則ac的值是 ．拋物線y=a2+b1經(jīng)過(guò)點(diǎn)，5，則代數(shù)式6a+3b+1的值為 ．三．解答題（17小題）已知拋物線C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，求拋物線C2的解析式．將拋物線（x+1）2﹣2繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180゜得到拋物線C2，若拋物線的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時(shí)拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上，求拋物線C2的解析式．如圖，拋物線y1=﹣x2+21個(gè)單位得到拋物線y2，回答下列問(wèn)題：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) ；陰影部分的面積S= ；若再將拋物線繞原點(diǎn)O180°得到拋物線y3，求拋物線的解析式．已知拋物線：y=a+bx+（其中、、c都不等于，它的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是，與y軸的交點(diǎn)是（．我們稱以M為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸是y且過(guò)點(diǎn)P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PML的伴隨直線．請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線y=2x2﹣4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：伴隨拋物線的解析式 ，伴隨直線的解析式 ；若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=﹣x2﹣3y=﹣x﹣3，則這條拋物線的解析式是 ；求拋物線ac0）式；若拋物線L與x軸交于（）1＞，它的伴隨拋物線與x軸交于CD兩點(diǎn)，且AB=CD．請(qǐng)求出ab、c應(yīng)滿足的條件．設(shè)拋物線y=x2+2ax+bx軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)將拋物線沿y軸平移，使所得拋物線在x軸上截得的線段的長(zhǎng)是原來(lái)的2所得拋物線的解析式；通過(guò)中所得拋物線與x拋物線的表達(dá)式．已知拋物線：y=a+bx+＜）過(guò)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（4，A為拋物線C的頂點(diǎn)．1，若∠AOB=60°，求拋物線C的解析式；2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點(diǎn)O180°得到拋物線C′，求拋物線CC′的解析式；在的條件下，設(shè)A′為拋物線C′的頂點(diǎn)，求拋物線C或C′上使得的點(diǎn)P的坐標(biāo)．如圖已知拋物線y=a+bx交x軸正半軸于AB兩點(diǎn)交y軸于點(diǎn)C且CBO=6°，∠CAO=45°，求拋物線的解析式和直線BC的解析式．已知：如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)直線y=﹣x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)AB物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．求此拋物線的解析式；點(diǎn)M△ABM△ABD的面積相等的點(diǎn)M坐標(biāo)．已知拋物線的頂點(diǎn)為P，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱時(shí)，求C3的解析式．如圖，拋物線y=x2+bx﹣c經(jīng)過(guò)直線y=x﹣3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．求此拋物線的解析式；點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使S△△ACD=5：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)．已知一拋物線經(jīng)過(guò)（0）兩點(diǎn)，且解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為﹣（＞0．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ已知點(diǎn)（1AB相交于點(diǎn)x軸相交于點(diǎn)（異于原點(diǎn)a的值為常數(shù)？當(dāng)a的值為常數(shù)？（Ⅲ）若點(diǎn)P（t，t）在拋物線上，則稱點(diǎn)P使其只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)是否在直線y=x﹣上，請(qǐng)說(shuō)明理由．如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2﹣5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是；求a的值；如圖，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2記為C3，拋物線C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)PM關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí)，求拋物線C3的解析式．2．如圖，拋物線y=a+bx+3經(jīng)過(guò)（3，（﹣，）兩點(diǎn)．求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，直線y=﹣2x+9y軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍．如圖，拋物線y=a（x+1）2的頂點(diǎn)為Ay軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且OB=OA．求拋物線的解析式；若點(diǎn)C（﹣3，b）在該拋物線上，求S△ABC的值．如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=x﹣5上．求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及c的值；設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)△ABD的形狀．如果拋物線m的頂點(diǎn)在拋物線n上，同時(shí)拋物線n的頂點(diǎn)在拋物線m稱拋物線mn為交融拋物線．已知拋物線a：y=x2﹣2x+1．判斷下列拋物線與已知拋物線a是否為交融拋物線？并說(shuō)明理由；在直線y=2上有一動(dòng)點(diǎn)P（，2，將拋物線y=2﹣2x+1繞點(diǎn)P（2）旋轉(zhuǎn)18°得到拋物線l，若拋物線a與l為交融拋物線，求拋物線l的解析式；（3）M為拋物線a；y=x2﹣2x+1為拋物線a的交融拋物線的頂點(diǎn)，是否存在以MQ為斜邊的等腰直角三角形SyS若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）通過(guò)以上問(wèn)題的探究解決，相信你對(duì)交融拋物線的概念及性質(zhì)有了一定的認(rèn)識(shí)，請(qǐng)你提出一個(gè)有關(guān)交融拋物線的問(wèn)題．1y=kx+mxy軸分別交于點(diǎn)Cy=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)AC兩點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x=﹣時(shí)，y取最大值 ．求拋物線和直線的解析式；設(shè)點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)，且S△△BPC=1：3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；直線y= x+a與（1）中所求的拋物線交于點(diǎn)、N，兩點(diǎn)，問(wèn)：①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②MO＞9°a（不寫(xiě)過(guò)程，直接寫(xiě)結(jié)論）（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若（1，1，22，則N兩點(diǎn)之間的距）參考答案與試題解析一．選擇題（共1小題）A．1B．2C．3D．6頂點(diǎn)為P的拋物線y=x2﹣2x+3與y軸相交于點(diǎn)在頂點(diǎn)不變的情況下把該拋物線頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到一個(gè)新的拋物線，且新的拋物線與yA．1B．2C．3D．6考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．A和B的坐標(biāo)，再求三角形的面積則可．解：當(dāng)x=0y=，所以A的坐標(biāo)是，3，y=2﹣2x+3（x12+，把它繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到一個(gè)新的拋物線是時(shí)y=，所以B的坐標(biāo)是1P的坐標(biāo)是，，△PAB的面= ×2（32）=1．故選A．難度較大．二．填空題（共12小題）作拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線C2，將拋物線C22個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是，則拋物線C1是y=﹣2（x﹣1）2+2．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．專題：應(yīng)用題．C的頂點(diǎn)，進(jìn)而可得到拋物線B的坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變可得拋物線Bx軸對(duì)稱的兩條拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)可得到拋物線點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)可得到拋物線C1所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．解：根據(jù)題意易得拋物線C的頂點(diǎn)為（1，1，∵是向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到拋物線C的，∴拋物線B的坐標(biāo)為1，，可設(shè)拋物線B的坐標(biāo)為y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2，易得拋物線A的二次項(xiàng)系數(shù)為2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2，∴拋物線A的解析式為y=﹣2（x﹣1）2+2，故答案為y=﹣2（x﹣1）2+2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了討論兩個(gè)二次函數(shù)的圖象的平移問(wèn)題，只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可，關(guān)于x軸對(duì)稱的兩條拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，難度適中．拋物線

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線解析式為 ．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)進(jìn)行解答即可．解答：解：∵關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴拋物線y=﹣x2+x+2+2，即y= x2+x﹣2．故答案為：y= x2+x﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．將拋物線y=x2+1的圖象繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)則旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式是y=﹣x2﹣1 ．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求則可．解答：解：根據(jù)題意，﹣y=（﹣x）2+1，得到y(tǒng)=﹣x2﹣1．故旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式是y=﹣x2﹣1．點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)二次函數(shù)的圖象的變換求拋物線的解析式．如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)AB與正方形EFGH的頂點(diǎn)GH同在一段拋物線上，且拋物線的頂點(diǎn)在CD上若正方形ABCD邊長(zhǎng)為1則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為5 ﹣5 考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．首先建立平面坐標(biāo)系：過(guò)點(diǎn)G作GM⊥x軸于點(diǎn)示出G點(diǎn)坐標(biāo)，再利用FG+MG=10，進(jìn)而求出即可．解：如圖建立平面坐標(biāo)系：過(guò)點(diǎn)G作GM⊥x軸于點(diǎn)∵正方形ABCD10，∴BB點(diǎn)代入y=ax2，則﹣10=25a，解得：a=﹣，設(shè)G（，﹣2，則GF=2a，∴MG=10﹣GF，即a2=10﹣2a，整理的：a2+5a﹣25=0，解得：a1=，a2=（不合題意舍去，∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)FG=2a=5﹣5．故答案為﹣5．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程的解法，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出等式是解題關(guān)鍵．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)“y=a+bx+cb、c1“是等腰直角三角形的概率為．考點(diǎn)考點(diǎn)：列表法與樹(shù)狀圖法；拋物線與x軸的交點(diǎn)．分析：由系數(shù)a、b、c為絕對(duì)值不大于1的整數(shù)，可得系數(shù)a、b、c為：0，1，﹣1；然后根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖，由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與該拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形的情況，再利用概率公式即可求得答案．等腰直角三角形的情況，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：∵系數(shù)a、b、c為絕對(duì)值不大于1的整數(shù)，∴系數(shù)ab、c畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有18”是等腰直角三角形的有（1，0，﹣（，0，∴該拋物線拋物線三角”是等腰直角三角形的概率為：= ．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率與二次函數(shù)的性質(zhì)．注意用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．拋物線y=a+bx+c△ABC的頂點(diǎn)A（，B4，直角頂點(diǎn)C在y△ABC的內(nèi)部（不包括邊界，則a的范圍是﹣＜＜0或0a＜＜．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．專題：壓軸題．AB的坐標(biāo)求出OAOB△ACO和△CBO相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OC軸與直線BC相交于P，與x軸交于Q的正切值求出點(diǎn)P到x軸的距離P，設(shè)拋物線的交點(diǎn)式解析式y(tǒng)=（x+（4，整理求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物△ABC的內(nèi)部分兩種情況列式求出a的取值范圍即可．解：∵點(diǎn)A（，，（，，∴OA=1，OB=4，易得△ACO∽△CBO，∴=，即=，解得OC=2，∵拋物線y=a+bx+c經(jīng)過(guò)（，B4，，∴對(duì)稱軸為直線∴對(duì)稱軸為直線x== ，設(shè)對(duì)稱軸與直線BC相交于P，與x軸交于Q，則BQ=4﹣=2.5，tan∠ABC= =，即=，解得PQ= ，設(shè)拋物線的解析式為y=（x+x﹣，則y=a（x2﹣3x﹣4）=a（x﹣）2﹣ a，當(dāng)點(diǎn)C在y軸正半軸時(shí)，0＜﹣a＜，解得﹣＜a＜0，當(dāng)點(diǎn)Cy軸負(fù)半軸時(shí)，﹣＜﹣a＜0，解得0＜a＜，所以，a的取值范圍是﹣＜a＜0或0＜a＜．故答案為：﹣＜a＜0或0＜a＜．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，把二次函數(shù)的解析式用交點(diǎn)式形式表示更加簡(jiǎn)便，注意要分點(diǎn)C在y正半軸和負(fù)半軸兩種情況討論．已知拋物線y=x2﹣6x+a的頂點(diǎn)在x軸上，則a= 9 ；若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的范圍是a＜9 ．考點(diǎn)考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)．x軸上即拋物線與x0，若拋物線與x△＞0，據(jù)此即可求解．解答：解答：解：△=36﹣4a，則定點(diǎn)在x軸上，則36﹣4a=0，解得：a=9；拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則36﹣4a＞0，解得：a＜9．故答案是：9；a＜9．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判定方法，如果△＞0，則拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；如果△=0，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；如果△＜0，與x軸無(wú)交點(diǎn)．拋物線x+a2的頂點(diǎn)在直線y=2上，則a= 2 ．考點(diǎn)考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．專題：壓軸題．分析：根據(jù)拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于2，列出方程，求出a的值，注意解答：要有意義．解：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）所以=2解得：a1=2，a2=﹣1又因?yàn)?要有意則a≥0所以a=2．點(diǎn)評(píng)此題考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，解題時(shí)要注意別漏條件，特別是一些隱含條件，如： 中a≥0．若拋物線x+a2的頂點(diǎn)在直線x=2上，則a的值是4 ．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．分析：根據(jù)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于2，列出方程，求出a的值，注意解答：要有意義．解：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，，所以﹣=2，解得：a1=4，a2=﹣4，又因?yàn)?要有意義則a≥0，所以a=4．故答案為4．點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，解題時(shí)要注意別漏條件，特別是一些隱含條件，比如： 中a≥0．若拋物線 的頂點(diǎn)在x軸上方，則m的值是2 ．考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的定義．專題：計(jì)算題．分析：先列出關(guān)于m的等式，再根據(jù)拋物線0解答：

的頂點(diǎn)在x軸上方，求得m，解：∵∴m2﹣2=2，解得m=±2，

是拋物線，∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸上方．∴0﹣8（m+2）＜0，∴m＞﹣2，∴m=2．故答案為：2．性．如圖二次函數(shù)y=ax2+c圖象的頂點(diǎn)為若以O(shè)B為對(duì)角線的正方形ABCO的另兩頂點(diǎn)AC也在該拋物線上，則ac的值是﹣2 ．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．拋物線y=a2+c的頂點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)為0，由四邊形ABCO是正方形，則C點(diǎn)坐標(biāo)為標(biāo)為（﹣，，代入拋物線即可解答．解：∵拋物線y=a+c的頂點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)為0，四邊形ABCO是正方形，∴∠COB=90°，CO=BC，∴△COB是等腰直角三角形，∴C點(diǎn)橫縱坐標(biāo)絕對(duì)值相等，且等于BO長(zhǎng)度一半，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，，將點(diǎn)C代入拋物線方程中得ac=﹣2．故答案為：﹣2點(diǎn)評(píng)：本題將幾何圖形與拋物線結(jié)合了起來(lái)，同學(xué)們要找出線段之間的關(guān)系，進(jìn)而求得問(wèn)題的答案．的答案．拋物線y=a2+b1經(jīng)過(guò)點(diǎn)，5，則代數(shù)式6a+3b+1的值為10 ．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．專題：整體思想．把點(diǎn)（2，5）2a+b解：∵拋物線y=a+b1經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴4a+2b﹣1=5，∴2a+b=3，∴6a+3b+1=3（2a+b）+1=3×3+1=10．故答案為：10．本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出、b關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，主要利用了整體思想．三．解答題（17小題）已知拋物線C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，求拋物線C2的解析式．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)解答即可．C2與拋物線C1x﹣y=2x2﹣4x+5，因此所求拋物線C2的解析式是y=﹣2x2+4x﹣5．點(diǎn)評(píng)：利用軸對(duì)稱變換的特點(diǎn)可以解答．考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性求出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)寫(xiě)出拋物線C2的頂點(diǎn)式形式解析式，再把拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入進(jìn)行即可得解．解答：解：∵y= （x+）﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2，2∴繞點(diǎn)P（，2）旋轉(zhuǎn)18゜得到拋物線2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2t+考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性求出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)寫(xiě)出拋物線C2的頂點(diǎn)式形式解析式，再把拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入進(jìn)行即可得解．解答：解：∵y= （x+）﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2，2∴繞點(diǎn)P（，2）旋轉(zhuǎn)18゜得到拋物線2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2t+，6，∴拋物線C2的解析式為y=﹣（x﹣2t﹣1）2+6，∵拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，∴﹣（﹣1﹣2t﹣1）2+6=﹣2，t1=3，t2=﹣5，∴拋物線∴拋物線C2的解析式為y=﹣（x﹣7）2+6（x+9）2+6．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，難度較大，求出旋轉(zhuǎn)后的拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．如圖，拋物線y1=﹣x2+21個(gè)單位得到拋物線y2，回答下列問(wèn)題：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，2）；陰影部分的面積S= 2 ；若再將拋物線繞原點(diǎn)O180°得到拋物線y3，求拋物線的解析式．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：直接應(yīng)用二次函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題．（）讀圖找到最高點(diǎn)的坐標(biāo)即可．故拋物線2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，2分）（6分）由題意可得：拋物線的頂點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O所以拋物線3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，2，于是可設(shè)拋物線3的解析式為：y=a（x+1）2﹣2．由對(duì)稱性得a=1，所以3=（x+）﹣2（10分）點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)還考查了識(shí)圖能力．已知拋物線：y=a+bx+（其中、、c都不等于，它的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是，與y軸的交點(diǎn)是（．我們稱以M為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸是y且過(guò)點(diǎn)P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PML的伴隨直線．請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線y=2x2﹣4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式伴隨拋物線的解析式y(tǒng)=﹣2x2+1 ，伴隨直線的解析式y(tǒng)=﹣2x+1 ；若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，則這條拋物的解析式是y=x2﹣2x﹣3 ；求拋物線ac0）式；若拋物線L與x軸交于（）1＞，它的伴隨拋物線與x軸交于CD兩點(diǎn)，且AB=CD．請(qǐng)求出ab、c應(yīng)滿足的條件．考 二次函數(shù)綜合題點(diǎn)：專 壓軸題；新定義題：分 （1）先根據(jù)拋物線的解析式求出其頂點(diǎn)P和拋物線與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)．然后根析：據(jù)M的坐標(biāo)用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)伴隨拋物線的解析式然后將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋線的解析式中即可求出伴隨拋物線的解析式根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線PM的解析式；y隨直線的交點(diǎn)（與y軸交點(diǎn)除外）是拋物線的頂點(diǎn)，據(jù)此可求出拋物線的解析式；（3）方法同；（4）本題要考慮的a、b、c滿足的條件有：拋物線和伴隨拋物線都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因此△＞0，①由于拋物線L中，x2＞x1＞0，因此拋物線的對(duì)稱軸x＞0，兩根的積大于0．②根據(jù)兩拋物線的解析式分別求出AB、CD的長(zhǎng)，根據(jù)AB=CD可得出另一個(gè)需滿足的條件…③綜合這三種情況即可得出所求的a、b、c需滿足的條件．解 解（）y﹣22+y2x+；（2）將y=﹣x2﹣3y=﹣x﹣3組成方程組得，，解得， 或 ．則原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，﹣．設(shè)原函數(shù)解析式為y=n（x﹣1）2﹣4，將（0，﹣3）代入y=n（x﹣1）2﹣4得，﹣3=n（0﹣1）2﹣4，解得，n=1，則原函數(shù)解析式為y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．（3）∵伴隨拋物線的頂點(diǎn)是，∵設(shè)它的解析式為y=（﹣0+c（≠0，∵此拋物線過(guò)P（﹣ ， ，∴ =m?（﹣ ）2+c，解得m=﹣a，∴伴隨拋物線解析式為y=﹣ax2+c；設(shè)伴隨直線解析式為設(shè)伴隨直線解析式為y=kx+≠0，P（﹣，）在此直線上，∴，∴k= ，∴伴隨直線解析式為y= x+c；（4）∵拋物線L與x軸有兩交點(diǎn)，∴△1=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac；∵x2＞x1＞0，∴x2+x1=﹣＞0，x1?x2= ＞0，∴ab＜0，ac＞0．對(duì)于伴隨拋物線有，得x=±．∴C（﹣，0，（，0CD=2，AB=x2﹣x1====，∵AB=CD，則有：2=，即b2=8ac，綜合b2=8ac，b2﹣4ac＞0，ab＜0，ac＞0可得a、b、c需滿足的條件為：b=8ac且a＜（或=8ac且b＜．點(diǎn) 本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系評(píng)：設(shè)拋物線y=x2+2ax+bx軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)將拋物線沿y軸平移，使所得拋物線在x軸上截得的線段的長(zhǎng)是原來(lái)的2所得拋物線的解析式；通過(guò)中所得拋物線與x拋物線的表達(dá)式．xx軸的交點(diǎn)的距離公式得到

=2 ，解得m=3b﹣3a2，則平移所得拋物線的解析式為y=x2+2ax+4b﹣3a2；（）先確定y=+2ax+b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣2，由于通過(guò)）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，則可設(shè)新拋物線解析式為y=（+2ax+4﹣32，然后把（﹣a，b﹣a2）代入可求出t= ．（）設(shè)平移所得拋物線的解析式為y=+2ax+b+，根據(jù)題意得

=2 ，解得m=3b﹣3a2，所以平移所得拋物線的解析式為y=x2+2ax+b+3b﹣3a2=x2+2ax+4b﹣3a2；（2）y=+2ax+bx+2+﹣2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，∵新拋物線的表達(dá)式過(guò)拋物線y=x2+2ax+4b﹣3a2與x軸兩交點(diǎn)，∴可設(shè)新拋物線解析式為y=（2+2ax+4﹣32，把（，﹣2）代入得=222+432，解得t= ，所以新拋物線的表達(dá)式過(guò)拋物線y= x2+ ax+b﹣a2．x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關(guān)于xy=a+bxcc的交點(diǎn)與一元二次方程a2+bx+c=0根之間的關(guān)系：△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；△=b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．已知拋物線：y=a+bx+＜）過(guò)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（4，A為拋物線C的頂點(diǎn)．1，若∠AOB=60°，求拋物線C的解析式；2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點(diǎn)O180°得到拋物線C′，求拋物線CC′的解析式；在的條件下，設(shè)A′為拋物線C′的頂點(diǎn)，求拋物線C或C′上使得的點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；點(diǎn)的坐標(biāo)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．A點(diǎn)是拋物線CC交x軸于OAO=AB，AOB=6°△ABOA作Ax軸于R△OAE中，求出ODAE的值，即可求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后設(shè)拋物線C的解析式，求出a的值，從而得出拋物線C的解析式；先過(guò)A作AE⊥OB于E，根據(jù)題意得出OE= OB=2，再根據(jù)直線OA的解析式為y=x，得出AE=OE=2，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，求出a的值，得出拋物線C的解析式，再根據(jù)拋物線C、C′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而得出拋物線C′的解析式；先作AB的垂直平分線，分別交ABx軸于、（，，由2）知，拋物線C的頂點(diǎn)為A（，﹣2，得出AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再作M⊥x軸于H，得出△Nl﹣1（，0，得出直線l的解析式，求出x的值，再根據(jù)拋物線C上存在兩點(diǎn)使得C′上也存在兩點(diǎn)使得出P3，P4的坐標(biāo)，即可求出答案．（）連接A．∵A點(diǎn)是拋物線C的頂點(diǎn)，且拋物線C交x軸于O、B，∴AO=AB，又∵∠AOB=60°，∴△ABO是等邊三角形，過(guò)A作AD⊥x軸于D，在Rt△OAD中，∴OD=2，AD= ，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為）設(shè)拋物線C的解析式為將O（0，0）的坐標(biāo)代入求得：a= ，

（≠，∴拋物線C的解析式為 ．過(guò)A作AE⊥OB于E，∵拋物線C：y=a+bx+（＜）過(guò)原點(diǎn)和B（0，頂點(diǎn)為，∴OE= OB=2，又∵直線OA的解析式為y=x，∴AE=OE=2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為2，，將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，∴a= ，∴拋物線C的解析式為 又∵拋物線、C′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴拋物線C′的解析式為 ；作AB的垂直平分線，分別交AB、x軸于、0，由前可知，拋物線C的頂點(diǎn)為A（2，2，故AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為MH⊥x軸于H，∴△MHBH，則M2=HH，即2（n4，∴ ，即N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0．∵直線l過(guò)點(diǎn)（，、（，，∴直線l的解析式為y=﹣3x+2，，解得 ．∴在拋物線C上存在兩點(diǎn)使得PB=PA'，其坐標(biāo)分別為P1（ ，解 得

P2（．

， ；∴在拋物線C′上也存在兩點(diǎn)使得PB=PA'，其坐標(biāo)分別為P3（5+ ，13 P（5﹣ ，17+3 ．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是，（﹣5+ ，173 P

P（，17+3

， P32（199?煙臺(tái)）如圖，已知拋物線y=a2+bx交x軸正半軸于AB兩點(diǎn)，交y軸于C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求拋物線的解析式和直線BC的解析式．考點(diǎn)考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．分析：根據(jù)拋物線的解析式，易求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到OC的長(zhǎng)；可分別在Rt△OBC和Rt△OAC中，通過(guò)解直角三角形求出OB、OA的長(zhǎng)，即可得到A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而可運(yùn)用待定系數(shù)法求得拋物線和直線的解析式．解答解：由題意得C（0， 在Rt△COB中，∵∠CBO=60°，∴OB=OC?cot60°=1∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是，（1分Rt△COA中，∵∠CAO=45°，∴OA=OC=∴A點(diǎn)坐標(biāo)（ ，0）由拋物線過(guò)AB兩點(diǎn)得解得∴拋物線解析式為y=x2﹣（設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，）x+（4分）得n= ，m=﹣∴直線BC解析式為y﹣ x+ （6分）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)解析式的方法．已知：如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)直線y=﹣x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)AB物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．求此拋物線的解析式；點(diǎn)M△ABM△ABD的面積相等的點(diǎn)M坐標(biāo)．y=﹣x+3求出AB出待定系數(shù)的值．（2）根據(jù)中拋物線的解析式可求出△ABM△ABDMD=4此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．（）直線y﹣x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A3，B（，3，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，c=3﹣9+3b+c=0，∴拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+3．（2）①作經(jīng)過(guò)點(diǎn)D與直線y=﹣x+3平行的直線交拋物線于點(diǎn)M．則S△ABM=S△ABD，直線DM的解析式為y=﹣x+t．由拋物線解析式得（，4，∴t=5．設(shè)（，﹣m+，則有則有解得m=（舍去，m=．∴（，3．②易求直線DM關(guān)于直線y=﹣x+3對(duì)稱的直線l的解析式為y=﹣x+1，l交拋物線于M．設(shè)（，﹣m+．由于點(diǎn)M在拋物線y=﹣x2+2x+3上，∴﹣m+1=﹣m2+2m+3．m=，m=∴M（，﹣），）∴使△ABM的面積與△ABD的面積相等的點(diǎn)M的坐標(biāo)分別是（2，（，﹣（，．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法、圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．已知拋物線 的頂點(diǎn)為P，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱時(shí)，求C3的解析式．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．PB的坐標(biāo)，然后根據(jù)對(duì)稱性利用頂點(diǎn)式形式寫(xiě)出C3的解析式即可．解：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，5，令y=0，則（x+2）2﹣5=0，解得x1=1，x2=﹣5，所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)為10，∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，∵拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，拋物線C2向右平移得到C3，∴拋物線C3的解析式為y=﹣（x﹣4）2+5．如圖，拋物線y=x2+bx﹣c經(jīng)過(guò)直線y=x﹣3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．求此拋物線的解析式；點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使S△△ACD=5：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．分析：（1）先根據(jù)直線y=x﹣3求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將它們代入拋物線中即可求出待定系數(shù)的值．（2）根據(jù)中拋物線的解析式可求出△APC△ACDPD=4此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．解答解（）直線y=3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)則 ，解得 ，∴此拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3．（2）拋物線的頂點(diǎn)（，﹣4，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)設(shè)P，22a3，則（××|2﹣23（××）=：．化簡(jiǎn)得|a2﹣2a﹣3|=5．當(dāng)a2﹣2a﹣3=5，得a=4或a=﹣2．P4，）或P（2，當(dāng)a2﹣2a﹣3＜0時(shí)，即a2﹣2a+2=0，此方程無(wú)解．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為4，）或（5．識(shí)點(diǎn)．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．已知一拋物線經(jīng)過(guò)（0）兩點(diǎn)，且解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為﹣（＞0．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ已知點(diǎn)（1AB相交于點(diǎn)x軸相交于點(diǎn)（異于原點(diǎn)a的值為常數(shù)？當(dāng)a的值為常數(shù)？（Ⅲ）若點(diǎn)P（t，t）在拋物線上，則稱點(diǎn)P使其只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)是否在直線y=x﹣上，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．（Ⅰ）首先利用拋物線經(jīng)過(guò)（（）兩點(diǎn)，且解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為﹣求出拋物線解析式，再利用a=1求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（Ⅱ）利用當(dāng)y=0時(shí)，有，求出x的值，進(jìn)而得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用若點(diǎn)M在點(diǎn)B右側(cè)，此時(shí)a＞1，BM=a﹣1；若點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)，此時(shí)0＜a＜1，BM=1﹣a得出答案即可；（Ⅲ）利用平移后的拋物線只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得出判別式，進(jìn)而求出k與在直線上．解答：解：設(shè)該拋物線的解析式為，∵拋物線經(jīng)過(guò)，，1）兩點(diǎn)，∴，解得．∴該拋物線的解析式為（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，該拋物線的解析式為y=﹣x2+2x，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，1；（Ⅱ）∵點(diǎn)N在x軸上，∴點(diǎn)N0．y=0時(shí)，有，解得x1=0，x2=a+1．∵點(diǎn)N異于原點(diǎn)，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為a+，．∴ON=a+1，∵點(diǎn)M在射線AB上，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1．y=1時(shí)，有，整理得出整理得出，x1=1，x2=a．點(diǎn)M的坐標(biāo)為1，）或，．M的坐標(biāo)為時(shí)，M與B重合，a=1，BM=0，ON=2．ON+BM與ON﹣BM2．當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，1）時(shí)，若點(diǎn)M在點(diǎn)B右側(cè)，此時(shí)a＞1，BM=a﹣1．∴ON+BM=（a+1）+（a﹣1）=2a，ON﹣BM=（a+1）﹣（a﹣1）=2．若點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)，此時(shí)0＜a＜1，BM=1﹣a．∴ON+BM=（a+1）+（1﹣a）=2，ON﹣BM=（a+1）﹣（1﹣a）=2a．∴當(dāng)0＜a≤1時(shí)，ON+BM的值是常數(shù)2，當(dāng)a≥1時(shí)，ON﹣BM的值是常數(shù)2．（Ⅲ）設(shè)平移后的拋物線的解析式為，由不動(dòng)點(diǎn)的定義，得方程：，即t2+（a﹣2h）t+h2﹣ak=0．∵平移后的拋物線只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，∴此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．∴判別式△=（a﹣2h）2﹣4（h2﹣ak）=0，a﹣4h+4k=0，即．∴頂點(diǎn)（h，k）在直線上．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根的判別式的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論的思想得出M與B的不同位置關(guān)系得出答案是解題關(guān)鍵．如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2﹣5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是；求a的值；如圖，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2記為C3，拋物線C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)PM關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí)，求拋物線C3的解析式．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：綜合題．分析：（1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線C1的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值．（2）在拋物線平移過(guò)程中，拋物線的開(kāi)口大小沒(méi)有發(fā)現(xiàn)變化，變化的只是拋物線的位置和開(kāi)口方向，所以C3的二次項(xiàng)系數(shù)與C1的互為相反數(shù)，而C3的頂點(diǎn)M與C1的頂點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P點(diǎn)坐標(biāo)易求得，即可得到M點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出拋物線C3的解析式．（）∵點(diǎn)B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，橫坐標(biāo)是，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為1，∴當(dāng)x=1時(shí)，0=a（1+2）2﹣5，∴ ．（2）設(shè)拋物線3解析式為y=（x﹣+k，∵拋物線C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱，且C3C2向右平移得到，∴ ，∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，5，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，∴拋物線C3的解析式為y=﹣（x﹣2）2+5=﹣

x+ ．圖象的關(guān)系，需要熟練掌握．2．如圖，拋物線y=a+bx+3經(jīng)過(guò)（3，（﹣，）兩點(diǎn)．求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，直線y=﹣2x+9y軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；（2）由（1）的解析式求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出直線OD（，h當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)就可以求出hCD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)可以得出，得x2+（﹣2h+2）x+h2+ h﹣9=0，從而得△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+ h﹣9）=0求出h=4，從而得出結(jié)論．（）拋物線解析式y(tǒng)=a+bx+3經(jīng)過(guò)（﹣0（﹣）兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3．（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣，∴直線OD的解析式為y= x，于是可設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為h，，∴平移后的拋物線的解析式為y=（x﹣h）2+ h，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)CC（9，∴h2+ h=9．h=，∴當(dāng)h＜時(shí)，平移后的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)拋物線與直線當(dāng)拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由方程組，得x2+（﹣2h+2）x+h2+ h﹣9=0，∴△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+ h﹣9）=0，解得h=4，此時(shí)拋物線y（x4+2與直線CD唯一的公共點(diǎn)為，，點(diǎn)33）在射線CD上，符合題意．故平移后拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是h＜h=4．點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換及方程組與交點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)用，利用根的判別式判斷得出是解題關(guān)鍵．如圖，拋物線y=a（x+1）2的頂點(diǎn)為Ay軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且OB=OA．求拋物線的解析式；若點(diǎn)C（﹣3，b）在該拋物線上，求S△ABC的值．考點(diǎn)考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．專題：計(jì)算題．由拋物線解析式確定出頂點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)OA=OB確定出B坐標(biāo)，將B入解析式求出a的值，即可確定出解析式；（2）將C坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b的值，確定出C坐標(biāo)，過(guò)CCD垂直于軸，三角形ABC梯形OBCD面積﹣三角形ACD面積﹣三角形AOB面積，求出即可．（）x=0，y=﹣1則拋物線解析式為y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；（2）過(guò)C作CD⊥x軸，將（﹣，）b4，即（﹣，，S△ABC=SOBCD﹣S△ACD﹣S△AOB=×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1=3．點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=x﹣5上．求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及c的值；設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)△ABD的形狀．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．先根據(jù)拋物線的解析式得出其對(duì)稱軸，由此得到頂點(diǎn)Al的解析式中求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣2x+c中，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出c的值；（2）先由拋物線的解析式得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出AB、AD、BD三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可確定△ABD是直角三角形．（）∵y=2x+，∴頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=﹣=1，又∵頂點(diǎn)A在直線y=x﹣5上，∴當(dāng)x=1時(shí)，y=1﹣5=﹣4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，．將A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得﹣4=12﹣2×1+c，解得c=﹣3．故拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，4c的值為；（2）△ABD是直角三角形．理由如下：∵拋物線y=x2﹣2x﹣3與yB，∴（0，3．當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣2x﹣3=0，解得解得x1=﹣1，x2=3，∴（﹣，0D（，0．∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法確定其解析式，勾股定理及其逆定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．如果拋物線m的頂點(diǎn)在拋物線n上，同時(shí)拋物線n的頂點(diǎn)在拋物線m稱拋物線mn為交融拋物線．已知拋物線a：y=x2﹣2x+1．判斷下列拋物線與已知拋物線a是否為交融拋物線？并說(shuō)明理由；在直線y=2上有一動(dòng)點(diǎn)P（，2，將拋物線y=2﹣2x+1繞點(diǎn)P（2）旋轉(zhuǎn)18°得到拋物線l，若拋物線a與l為交融拋物線，求拋物線l的解析式；（3）M為拋物線a；y=x2﹣2x+1為拋物線a的交融拋物線的頂點(diǎn)，是否存在以MQ為斜邊的等腰直角三角形SyS若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）通過(guò)以上問(wèn)題的探究解決，相信你對(duì)交融拋物線的概念及性質(zhì)有了一定的認(rèn)識(shí)，請(qǐng)你提出一個(gè)有關(guān)交融拋物線的問(wèn)題．考點(diǎn)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：綜合題．分析：（1）求出拋物線a的頂點(diǎn)坐標(biāo)，分別代入拋物線b與拋物線c，判斷即可．MM關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)MN作直線y=2的垂線，垂足為、，可求出N的縱坐標(biāo)，代入求出N的橫坐標(biāo)，分類討論即可；設(shè)點(diǎn)（0，則點(diǎn)Q①Q(mào)SS順時(shí)針?lè)植紩r(shí)；分別求解即可．（4）本題答案不唯一，可以自由發(fā)揮．（）∵拋物線：y=2x+1=y（﹣12的頂點(diǎn)坐標(biāo)為0，x=1時(shí)，y=x2﹣2x+2=1﹣2+2=1≠0，∴點(diǎn)M不在拋物線b上∴拋物線a與拋物線b不是交融拋物線；∵當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣x2+4x﹣3=﹣1+4﹣3=0，∴點(diǎn)M在拋物線c上，∵拋物線：y﹣+43=﹣2+1的頂點(diǎn)N2，x=2時(shí)，y=x2﹣2x+1=4﹣4+1=1，∴點(diǎn)N在拋物線a上，∴拋物線a與拋物線c是交融拋物線；（2）拋物線：y=﹣2x+1x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E、F，則ME=NF=2，∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4，當(dāng)y=4時(shí)，x2﹣2x+1=4，解得x1=﹣1，x2=3，∴（1，）或（3，當(dāng)N（﹣1，4）時(shí)，設(shè)拋物線l的解析式為y=a（x+1）2+4，∵點(diǎn)M（1，0）在拋物線l上，∴0=a（1+1）2+4，∴a=﹣1，∴拋物線l的解析式為y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3，當(dāng)N（3，4）時(shí)，設(shè)拋物線l的解析式為y=a（x﹣3）2+4，∵點(diǎn)M（1，0）在拋物線l上，∴0=a（1﹣3）2+4，∴a=﹣1，∴拋物線l的解析式為y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5；∴所求拋物線為y=﹣x2﹣2x+3或y=﹣x2+6x﹣5．（3）設(shè)點(diǎn)S（，，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)分兩類：①當(dāng)QS逆時(shí)針?lè)植紩r(shí)（如圖中Q，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥y軸于D，則△QDS≌△SOM，∴QD=OS=c，OD=DS+OS=c+1，∴點(diǎn)Q，c+，∵點(diǎn)Q