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..高二數(shù)學專題:三角函數(shù)變換人教實驗版(B)【本講教育信息】.授課內容:專題:三角函數(shù)變換.重點與難點:三角函數(shù)的圖象與性質;同角三角函數(shù)的基本關系式,引誘公式,和、差、倍、半角公式,和積互化公式等三角公式的應用。.知識剖析:三角函數(shù)是一類重要的初等函數(shù),因其在數(shù)列、不等式、剖析幾何(如直線的傾斜角,參數(shù)方程,極坐標)、立體幾何(如兩條異面直線成角,直線與平面的成角,二面角)中有著寬泛的應用,因此對三角函數(shù)與三角變形要有足夠的認識。2.三角函數(shù)的周期性,以及y=sinx,y=cosx的有界性是試題經(jīng)常察看的重要內容。要掌握形如y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)的函數(shù)的周期的求法;靈便應用y=sinx,y=cosx的有界性研究某些種類的三角函數(shù)的最值(或值域)問題。三角恒等式的證明因其技巧性較強,一度成為數(shù)學的難點,近些年的高考試題對這類題目的察看在減少,要求有所降低,但我們應當充分重視三角變形,由于其中表現(xiàn)了對三角公式的運用能力,特別表現(xiàn)了事物之間互相聯(lián)系,互相轉變的辯證思想。鑒于上述幾點原因,建議同學們在復習這部分內容時,做到“立足課本,落實三基;重視基礎,抓好常例”即復習時以中低檔題目為主,注意求值化簡題以及求取值范圍的習題,其他,注意充分利用單位圓,三角函數(shù)圖象研究問題?!镜湫屠}】例1.已知sincos1,且,則cossin的值為____________842)2剖析:聯(lián)想cossin與sincos的關系式:(cossin12sincos可知,欲求cossin的值,不如先求(cossin)2的值,其他,應注意到,當42時,sincos,故cossin013剖析:(cossin)212sincos1284而24cossin0cossin3342即cossin的值為32DOC版...例2.已知函數(shù)ysin2xasinx1(a為常數(shù),且a0),求函數(shù)的最小2值。剖析:若將sinx換元,則函數(shù)轉變?yōu)槎魏瘮?shù),進而可把三角函數(shù)的最值問題轉變?yōu)槎魏瘮?shù)的最值問題,但要注意到:轉變后所得二次函數(shù)的定義域。剖析:設sinxt,由于xR,故t1,1原函數(shù)化為yt2at12(ta)2a21,t1,1242a2當a1,1,即2a0時,y的最小值為1;242當a,,注意到a0,可知,211當a1,即a2時,y取的最小值為1a22a2綜上,得,當2a0時,ymin1;142當a2時,ymina2議論:在求解三角函數(shù)的最值時,注意三角函數(shù)的有界性。例3.函數(shù)ysin(2x)cos2x的最小正周期是。3剖析:一般地,要求三角函數(shù)的最小正周期,經(jīng)常要用到以下結論:形如yAsin(x)的最小正周期T2。為此,需先把給定的函數(shù)剖析||式經(jīng)過三角公式,變形為上述結論中的函數(shù)形式。剖析:ysin(32x)cos2xsincos2xcossin2xcos2x33(3)cos2x(1)sin2x21223sin(2x)其中角知足:tan23,顯然22最小正周期T|2|或按以下方法化簡剖析式:ysin(2x)cos2x3sin(2x)sin(2x)32DOC版...2sin(52x)cos()12122cossin(2x5)12212顯然最小正周期T2|2|議論:一般地,若是給定的函數(shù)剖析式不是形如y=Asin(ωx+)的形式,在求其最小正周期時,經(jīng)常先將剖析式變形為y=Asin(ωx+)的形式。例4.若tan,則cos2sin2的值.21cos2剖析一:察看角,函數(shù)名稱的關系后,易聯(lián)想到全能公式,于是能夠依照以下方式去求值。剖析:原式cos2sin21cos2122cos2sin23cos21tan22tan21tan21tan231tan21tan21tan22tan242tan221(2)22(2)142(2)26剖析二:聯(lián)想到對于sinθ,cosθ的齊次公式能夠化切,于是能夠依照以下方式求值。剖析:原式(cos2sin2)2sincos(sin2cos2)cos21tan22tan1(2)22(2)1tan22(2)226議論:兩對照較,發(fā)現(xiàn)解法二更加簡捷,事實上,對于已知tanθ的值,而求對于sinθ,cosθ的齊次公式的值時,方法二更擁有通用性。例5.已知ABC的三內角分別為A、B、C,且知足AC2B112,求cosC的值。cosAcosCcosB2剖析:這是一道以三角形為背景資料的三角函數(shù)問題,要注意題中的隱蔽條件:ABC180,又二式聯(lián)立,易得B60,AC120,這對式AC2B子112的變形很有幫助。若把等式左邊通分,積差化積,積cosAcosCcosBcos(AC)的式子,進而可求得cos(AC)的值,化和差后,就會變形獲得對于DOC版...再利用半角公式,即可求得cosAC的值,亦可能變形后,直接獲得cosAC22的式子,進而立刻求值。剖析:AC2B,又ABC180B60,AC12011cosAcosCcosAcosCcosAcosCACAC2cos2cos21C)cos(AC)cos(A2AC2cos60cos1cos1202cos(AC)2ACcos211C)4cos(A2ACcos21(2cos242ACcos2cos2AC324
AC1)22222cosBcos60即cosAC22(cos2AC3),解對于cosAC的二次方程2242得cosAC2或cosAC32()22241cosAC32不合題意,應舍去,故cosAC224122求值:sin22sincos例6.cos208032080解法一:(利用降冪公式sin21cos2,cos21cos2變形)22原式1cos401cos1603sin20cos802211cos40)3sin20cos80(cos160211(2)sin100sin603sin100sin(60)22DOC版...13sin1003sin100312244解法二:806020sin220cos(cos3sin20)8080sin220cos(6020)cos(6020)3sin20sin220(cos60cos20sin60sin20)(cos60cossin60sin20203sin20)sin220(1cos203sin20)(1cos203sin20)2222sin2201cos2203sin220441sin2201cos2201444例7.已知在一半徑為1,圓心角為的扇形中,有一個一邊在半徑上的內接矩形ABCD,3(如圖),求該矩形的最大面積。DCOαAB剖析:欲求矩形的最大面積,依照函數(shù)的思想就是求面積函數(shù)的最大值,因此需要先依照題意,成立面積函數(shù),選哪個量作自變量呢?經(jīng)試一試發(fā)現(xiàn):選用∠COB=α為面積函數(shù)的自變量最優(yōu),于是可成立一個以角α為自變量的三角函數(shù)來表示矩形面積,進而研究該函數(shù)的最值即可。剖析:設COB,(0)3則BCsin,ABOBOAcos3sin3S矩形ABCDABBC(cos3sin)sin31sin23sin223131cos2sin23221sin23cos232663sin(26)336DOC版...當sin(2),即時663S矩形ABCD取最大值6【模擬試題】一.選擇題1.函數(shù)ysin(2x5)的圖象的一條對稱軸方程是()25A.xB.xC.xD.248x42.以下函數(shù)中,以為周期的函數(shù)是()2A.ysin2xcos4xB.ysin2xcos4xC.ysin2xcos2xD.ysin2xcos2x3.函數(shù)ysin(x)在,2上是()22A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.偶函數(shù)D.奇函數(shù)4.函數(shù)ysinxcosx2的最小值為()A.22B.22C.0D.15.函數(shù)yxcosx的部分圖象是()yyyyOOxOxxOxABCD6.若sin2xcos2x,則x的取值范圍是()A.3x2k,kZx|2k44B.x|2kx2k5,kZ44C.x|kxk,kZ44D.x|kxk3,kZ4457.已知是第三象限的角,若sin4cos4,則sin2等于()9A.22B.224D.233C.33DOC版...8.已知是第三象限的角,且sin24,則tan=()252A.43433B.C.D.4349.當x時,函數(shù)ysinx3cosx的()22A.最大值為1,最小值為-1B.最大值為1,最小值為12C.最大值為2,最小值為2D.最大值為2,最小值為1二.填空題10.函數(shù)ysin(x2)的最小正周期為__________11.函數(shù)f(x)3sinxcosx4cos2x的最大值為__________。12.ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若acosBbcosA
,則△ABC的形狀是___________。13.求值:sin7cos15sin8=_______________cos7sin15sin8三.解答題:14.已知tan1)的值,求sin(22615.在ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,設ac2b,AC,求3sinB的值。16.已知函數(shù)y1cos2x3sinxcosx1,xR22(I)當y取最大值時,求自變量x的集合;(II)該函數(shù)的圖象可由y=sinx,(xR)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換獲得?DOC版...參照答案.選擇題選(A)提示:由ysin(2x5)sin(2x)cos2x的圖象可知,若其對稱軸方程為xx0,則y22x0即可獲得對稱軸方程。顯然當取最值,故只要求出使y取最值時的,即k()時,y取最值,對稱軸方程為xk,,2xkx2kZ2(kZ)k時,x。12選(D)提示:把A、B、C、D選擇支中的函數(shù)剖析式變形為
yAsin(x)后,易由2,計算求得TT||2
的只有(D)選(C)提示:ysin(x)cosx2選(A)提示:y2sin(x)2,4當sin(x)時,y有最小值2241選(B)提示:顯然yxcosx為奇函數(shù),故除去(A)、(C)令x0且x0,判斷出相應的y0,即當橫坐標x0且x0時,縱坐標y0,故棄(D)選()B選(D)提示:2222由sinxcos,得cosxsinx0x即cos2x0,進而2k2x2k3223k4xk,kZ47.選(A)提示:sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos211sin225289sin229DOC版...2k23k24k224k3(kZ)sin20sin2223選(C)sin提示:利用半角公式tg21cos選(D)提示:ysinx3cosx2sin(x),而x322x6,5,故sin(x)1,13632ymax2,ymin1.填空題最小正周期T2最大值為123sin2x41cos2x5sin(2x)2提示:f(x)222當sin(2x)1時,f(x)取最大值52122ABC是等腰三角形或直角三角形提示:利用正弦定理,有asinAbsinB進而sinAcosB,故sinBcosAsin2Asin2B,2A2B或2A2B即AB或AB213.原式=23原式sin(158)cos15sin8cos(158)sin15sin83sin15cos8133tan(4530)3cos15tan153323cos8313DOC版...sin71(sin23sin7)sin23sin72sin15cos821cos23cos72cos15cos8cos7(cos23cos7)2tan15三.解答題14.解:由tg12212tg24tg2221231tg12()24,cos3,進而若是第一象限的角,則sin55sin()6sincoscossin6643314335252104,cos3,進而若是第三象限的角,則sin55sin()sincoscossin666(4)3(3)1525243310解:由正弦定理及ac2bsinAsinC2sinB2sinA2CcosAC2sinB2AC2sinB2sin2cos63sinBsinB223BBcosBB180)cos22sin(顯然cos0,否則B2222DOC版...sin
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