合肥工業(yè)大學(xué)電磁場和電磁波孫玉發(fā)版第4章答案及解析

..第四章習(xí)題解答★[4.1]如題4.1圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽,槽可視為無限長,其上有一塊與槽相絕緣的蓋板,槽的電位為零,上邊蓋板的電位為,求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解根據(jù)題意,電位滿足的邊界條件為①；②；③題4.1圖根據(jù)條件①和②,電位的通解應(yīng)取為由條件③,有題4.1圖兩邊同乘以,并從0到對(duì)積分,得到故得到槽內(nèi)的電位分布4.2兩平行無限大導(dǎo)體平面,距離為,其間有一極薄的導(dǎo)體片由到。上板和薄片保持電位,下板保持零電位,求板間電位的解。設(shè)在yoyboydy題4.2圖薄片平面上,從到,電位線性變化,yoyboydy題4.2圖解應(yīng)用疊加原理,設(shè)板間的電位為其中,為不存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間〔電壓為的電位,即；是兩個(gè)電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時(shí)的電位,其邊界條件為：①②③；根據(jù)條件①和②,可設(shè)的通解為；由條件③有兩邊同乘以,并從0到對(duì)積分,得到故得到4.4如題4.4圖所示的導(dǎo)體槽,底面保持電位,其余兩面電位為零,求槽內(nèi)的電位的解。解根據(jù)題意,電位滿足的邊界條件為題4.4圖題4.4圖②③根據(jù)條件①和②,電位的通解應(yīng)取為；由條件③,有兩邊同乘以,并從0到對(duì)積分,得到；故得到★[4.5]一長、寬、高分別為、、的長方體表面保持零電位,體積內(nèi)填充密度為的電荷。求體積內(nèi)的電位。解在體積內(nèi),電位滿足泊松方程〔1長方體表面上,電位滿足邊界條件。由此設(shè)電位的通解為,代入泊松方程〔1,可得由此可得或；〔2由式〔2,得；故★[4.6]如題4.6圖所示的一對(duì)無限大接地平行導(dǎo)體板,板間有一與軸平行的線電荷,其位置為。求板間的電位函數(shù)。解由于在處有一與軸平行的線電荷,以為界將場空間分割為和兩個(gè)區(qū)域,則這兩個(gè)區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上,可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度。題4.6題4.6圖①,②,③,由條件①和②,可設(shè)電位函數(shù)的通解為由條件③,有〔1〔2由式〔1,可得〔3；將式〔2兩邊同乘以,并從到對(duì)積分,有〔4由式〔3和〔4解得故b題4.7圖4.7如題4.7b題4.7圖解由于在處有一與軸平行的線電荷,以為界將場空間分割為和兩個(gè)區(qū)域,則這兩個(gè)區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上,可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度,電位的邊界條件為①,,②,③由條件①和②,可設(shè)電位函數(shù)的通解為由條件③,有〔1〔2由式〔1,可得〔3將式〔2兩邊同乘以,并從到對(duì)積分,有〔4由式〔3和〔4解得故,,若以為界將場空間分割為和兩個(gè)區(qū)域,則可類似地得到*4.8如題4.8圖所示,在均勻電場中垂直于電場方向放置一根無限長導(dǎo)體圓柱,圓柱的半徑為。求導(dǎo)體圓柱外的電位和電場以及導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度。解在外電場作用下,導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷,圓柱外的電位是外電場的電位與感應(yīng)電荷的電位的疊加。由于導(dǎo)體圓柱為無限長,所以電位與變量無關(guān)。在圓柱面坐標(biāo)系中,外電場的電位為〔常數(shù)的值由參考點(diǎn)確定,而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與一樣按變化,而且在無限遠(yuǎn)處為0。由于導(dǎo)體是等位體,所以滿足的邊界條件為①②由此可設(shè)由條件①,有于是得到,故圓柱外的電位為若選擇導(dǎo)體圓柱表面為電位參考點(diǎn),即,則。導(dǎo)體圓柱外的電場則為導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為*4.11如題4.11圖所示,一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為、介電常數(shù)為,在距離軸線處,有一與圓柱平行的線電荷,計(jì)算空間各部分的電位。解在線電荷作用下,介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化,介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位均為線電荷的電位與極化電荷的電位的疊加,即。線電荷的電位為〔1題4.11圖而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程,且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位和滿足的邊界條件為分別為題4.11圖①為有限值；②③時(shí),由條件①和②可知,和的通解為〔2〔3將式〔1～〔3帶入條件③,可得到〔4〔5當(dāng)時(shí),將展開為級(jí)數(shù),有〔6帶入式〔5,得〔7由式〔4和〔7,有由此解得,；故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為〔8〔9討論：利用式〔6,可將式〔8和〔9中得第二項(xiàng)分別寫成為其中。因此可將和分別寫成為由所得結(jié)果可知,介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于〔0的線電荷的電位相同,而介質(zhì)圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生,它們分別為：位于〔0的線電荷；位于的線電荷；位于的線電荷。*4.13在均勻外電場中放入半徑為的導(dǎo)體球,設(shè)〔1導(dǎo)體充電至；〔2導(dǎo)體上充有電荷。試分別計(jì)算兩種情況下球外的電位分布。解〔1這里導(dǎo)體充電至應(yīng)理解為未加外電場時(shí)導(dǎo)體球相對(duì)于無限遠(yuǎn)處的電位為,此時(shí)導(dǎo)體球面上的電荷密度,總電荷。將導(dǎo)體球放入均勻外電場中后,在的作用下,產(chǎn)生感應(yīng)電荷,使球面上的電荷密度發(fā)生變化,但總電荷仍保持不變,導(dǎo)體球仍為等位體。設(shè),其中,是均勻外電場的電位,是導(dǎo)體球上的電荷產(chǎn)生的電位。電位滿足的邊界條件為①時(shí),；②時(shí),,其中為常數(shù),若適當(dāng)選擇的參考點(diǎn),可使。由條件①,可設(shè)代入條件②,可得到,,若使,可得到〔2導(dǎo)體上充電荷時(shí),令,有利用〔1的結(jié)果,得到4.14如題4.14圖所示,無限大的介質(zhì)中外加均勻電場,在介質(zhì)中有一個(gè)半徑為的球形空腔。求空腔內(nèi)、外的電場和空腔表面的極化電荷密度〔介質(zhì)的介電常數(shù)為。解在電場的作用下,介質(zhì)產(chǎn)生極化,空腔表面形成極化電荷,空腔內(nèi)、外的電場為外加電場與極化電荷的電場的疊加。設(shè)空腔內(nèi)、外的電位分別為和,則邊界條件為①時(shí),；②時(shí),為有限值；③時(shí),,由條件①和②,可設(shè),題4.14圖帶入條件題4.14圖,由此解得,所以空腔內(nèi)、外的電場為,空腔表面的極化電荷面密度為4.17一個(gè)半徑為的介質(zhì)球帶有均勻極化強(qiáng)度。〔1證明：球內(nèi)的電場是均勻的,等于；〔2證明：球外的電場與一個(gè)位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同,。題4.17圖解〔題4.17圖建立如題4.17圖所示的坐標(biāo)系,則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為介質(zhì)球內(nèi)、外的電位和滿足的邊界條件為①為有限值；②；③；因此,可設(shè)球內(nèi)、外電位的通解為,由條件③,有,解得,于是得到球內(nèi)的電位,故球內(nèi)的電場為〔2介質(zhì)球外的電位為,其中為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場為可見介質(zhì)球外的電場與一個(gè)位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同。4.20一個(gè)半徑為的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán),環(huán)與平面重合,中心在原點(diǎn)上,環(huán)上總電荷量為,如題4.20圖所示。證明：空間任意點(diǎn)電位為解以細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所在的球面把場區(qū)分為兩部分,分別寫出兩個(gè)場域的通解,并利用函數(shù)將細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)上的線電荷表示成球面上的電荷面密度題4.20題4.20圖再根據(jù)邊界條件確定系數(shù)。設(shè)球面內(nèi)、外的電位分別為和,則邊界條件為：①為有限值；②③,根據(jù)條件①和②,可得和的通解為〔1,〔2代入條件③,有〔3〔4將式〔4兩端同乘以,并從0到對(duì)進(jìn)行積分,得〔5其中由式〔3和〔5,解得,,代入式〔1和〔2,即得到★[4.22]如題4.22圖所示,一個(gè)點(diǎn)電