離散型隨機變量的期望與方差-通用課件

第十三章概率與統(tǒng)計第七節(jié)離散型隨機變量的期望與方差第七節(jié)離散型隨機變量的期望與方差第十三章概率與統(tǒng)計第七節(jié)離散型隨機變量的期望與方差第七課前自主學案

課前自主學案知識梳理

1．數(shù)學期望一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為ξ x1 x2

… xn

P p1 p2

… pn

則稱Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn為ξ的數(shù)學期望(或均值)，簡稱期望．數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．知識梳理1．數(shù)學期望2．方差Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn.叫做離散型隨機變量ξ的方差．方差是衡量數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大數(shù)據(jù)波動越大．3.標準差Dξ的算術平方根叫做隨機變量ξ的標準差，記作σξ.4．均值、方差的性質

E(aξ＋b)＝aEξ＋b；D(aξ＋b)＝a2Dξ；5．幾個重要分布的期望和方差(1)若X服從兩點分布，則EX＝p，DX＝p(1－p)2．方差4．均值、方差的性質離散型隨機變量的期望與方差-通用課件基礎自測

1．若X～B(n，p)，且EX＝1.6，DX＝1.28，則(

)A．n＝8，p＝0.2

B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45解析：EX＝np＝1.6，DX＝np(1－p)＝1.28.∴n＝8，p＝0.2.答案：A基礎自測1．若X～B(n，p)，且EX＝1.6，DX＝1.離散型隨機變量的期望與方差-通用課件課堂互動探究

課堂互動探究根據(jù)離散型隨機變量的概率分布的性質求均值與方差

(2009年陜西卷改編)某食品企業(yè)一個月內被消費者投訴的次數(shù)用ξ表示．據(jù)統(tǒng)計，隨機變量ξ的概率分布如下：求：Eξ、Dξ.根據(jù)離散型隨機變量的概率分布的性質分析：可按照分布列的性質，求出a的值，再利用公式計算Eξ和Dξ.解析：由概率分布的性質有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2.∴ξ的概率分布為ξ 0

1

2

3 P 0.1

0.3

0.4

0.2 ∵Eξ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.于是Dξ＝(0－1.7)2×0.1＋(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.4＋(3－1.7)2×0.2＝0.81.分析：可按照分布列的性質，求出a的值，再利用公式計算Eξ和D變式探究

1．設離散型隨機變量ξ可能取的值為1,2,3,4.P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又ξ的數(shù)學期望Eξ＝3，則a＋b＝________.變式探究1．設離散型隨機變量ξ可能取的值為1,2,3,4.求離散型隨機變量的均值和方差(2009年天津卷改編)在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產品中任取3件，求：(1)取出的3件產品中一等品件數(shù)X的分布列；(2)求X的期望EX和方差DX.求離散型隨機變量的均值和方差(離散型隨機變量的期望與方差-通用課件變式探究

2．(2009年重慶卷)某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為23和12，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：

(1)兩種大樹各成活1株的概率；

(2)成活的株數(shù)ξ的分布列與期望．

變式探究2．(2009年重慶卷)某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲離散型隨機變量的期望與方差-通用課件離散型隨機變量的期望與方差-通用課件離散型隨機變量的期望與方差-通用課件離散型隨機變量的期望與方差-通用課件均值、方差的應用均值、方差的應用離散型隨機變量的期望與方差-通用課件點評：期望僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值的大小還不夠．如果兩個隨機變量的均值相等，還要看隨機變量的取值如何在均值周圍變化，即計算方差．方差大說明隨機變量取值較分散，方差小說明取值分散性小或者取值比較集中、穩(wěn)定.點評：期望僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值的變式探究

3．下表為某班英語及數(shù)學成績的分布．學生共有50人，成績分為5個檔次，如表中所示，英語成績?yōu)?分、數(shù)學成績?yōu)?分的學生有3人．若在全班學生中任選一人，其英語成績記為x，數(shù)學成績記為y.變式探究3．下表為某班英語及數(shù)學成績的分布．學生共有50人離散型隨機變量的期望與方差-通用課件均值、方差與函數(shù)知識的綜合

均值、方差與函數(shù)知識的綜合離散型隨機變量的期望與方差-通用課件離散型隨機變量的期望與方差-通用課件變式探究

4．某保險公司新開設了一項保險業(yè)務，若在一年內事件E發(fā)生，該公司要賠償a元．設在一年內E發(fā)生的概率為p，為使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司應要求顧客交多少保險金？解析：設保險公司要求顧客交x元保險金，若以ξ

表示公司每年的收益額，則ξ是一個隨機變量，其分布列為：ξ x x－a

P 1－p p

因此，公司每年收益的期望值為變式探究4．某保險公司新開設了一項保險業(yè)務，若在一年內事件Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap為使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eξ＝0.1a，即x－ap＝0.1a，故可得x＝a(p＋0.1)即顧客交的保險金為a(p＋0.1)時，可使公司期望獲益0.1a.Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap溫馨提示

溫馨提示1．數(shù)學期望(均值)EX是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均．EX由X的分布列唯一確定.均值是離散型隨機變量的一個重要參數(shù)，是對隨機變量的一種簡明的描述，它是表示均值的統(tǒng)計概念，但要通過大量的現(xiàn)象才能表現(xiàn)出來，在實際生產生活中有著廣泛的應用．2．求均值的一般方法步驟是：首先寫出隨機變量所有可能的取值，然后求出隨機變量取每個值對應事件的概率，列出分布列，最后利用期望的定義計算．3．方差DX表示X對EX的平均偏離程度，DX越大表示平均偏離程度越大，說明X的取值越分散．4．二項分布的均值和方差的計算公式是重要公式，在解題時要注意哪些變量服從二項分布．1．數(shù)學期望(均值)EX是算術平均值概念的推廣，是概率意義下

題型展示臺

題型展示臺離散型隨機變量的期望與方差-通用課件離散型隨機變量的期望與方差-通用課件離散型隨機變量的期望與方差-通用課件

(2009年廣州質檢)某商場準備在國慶節(jié)期間舉行促銷活動，根據(jù)市場調查，該商場決定從2種服裝商品，2種家電商品，3種日用商品中，選出3種商品進行促銷活動．(1)試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率；(2)商場對選出的某商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現(xiàn)價的基礎上將價格提高150元，同時，若顧客購買該商品，則允許有3次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都獲得數(shù)額為m的獎金．假設顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是，請問：商場應將每次中獎獎金數(shù)額m最高定為多少元，才能使促銷方案對商場有利？(2009年廣州質檢)某商場準備在國慶節(jié)解析：(1)從2種服裝商品，2種家電商品，3種日用商品中，選出3種商品一共有C37種選法，選出的3種商品中沒有日用商品的選法有C34種，所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為P＝1－C34C37＝3135.

(2)顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額是一隨機變量，設為X，其所有可能值為0，m,2m,3m，X＝0時表示顧客在三次抽獎中都沒有獲獎．

所以P(X＝0)＝C03è????÷÷?120·è????÷÷?123＝18，

解析：(1)從2種服裝商品，2種家電商品，3種日用商品中，選離散型隨機變量的期望與方差-通用課件要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金總額的期望值不大于商場的提價數(shù)額，因此應有1.5m≤150，所以m≤100.故商場應將中將將金數(shù)額最高定為100元，才能使促銷方案對商場有利．要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金總額的期望值不大于商小心翼翼珍藏著，和母親在一起的美好時光。母親身體一直不好，最后的幾年光景幾乎長大后，才發(fā)現(xiàn)生活不像我們想象的那樣的簡單，我們時刻面臨著不同的選擇，學習、工作、家庭……我們總是小心翼翼，在每一條路上，我們總是想追求最好的，努力付出過后，結局如何，只有我們自己慢慢去體會。

當我們漸漸步入社會，為了生活，我們不得不努力工作，嚴格遵守公司的規(guī)章制度，不敢有一絲懈怠，甚至為了一份微薄的薪水，我們幾乎耗盡了所有的時間和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，幾乎沒有自己所謂的自由時間，我想在當今社會，應該有很大一部分人是這樣，沒有時間交際，也沒有時間旅游，更沒有時間去陪伴家人……或許這就是所謂的生活的選擇，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是這個得真是我們自己所想要的嗎？

人，活著其實很累，在公司，上有可能需要討好領導，下還需要和同事打好關系，回家需要處理好家庭的關系，交際需要維護好朋友自己的友誼，一不小心就有可能會各種質疑的話語，讓我們心里、身體上背負著更重的壓力。

也許經常有這樣的場景，喧囂的鬧市，聚會上，熱鬧非凡，盡情的喝著酒，各種嘈雜，殊不知在心里巴不得這聚會早點結束就好，想著明天還要早起上班，想著家里的妻兒還在幽幽的盼著，而你自己也根本就不喜歡這樣的場合，偶爾還可以，時間長了，你已經不知該怎樣去選擇。年紀越大，時間越來越少，身體越來越沒以前那么能抗，而自己明白的事情卻越來越迷茫，入夜時分，站在這個城市的中央，越來越覺得生活的選擇已經不由的我們自己來做主，只剩下了莫名的傷感。

時光在飛逝，父母容顏漸漸滄桑，望著父母佝僂的背影，心里一陣陣莫名的心酸。年輕時不努力拼搏，老了就自己受苦，這是現(xiàn)在年輕人經常激勵自己的話，為了所謂的以后，我們犧牲了自己最美好的年華，卻沒有誰知道以后的樣子又會是如何，也許這就是所謂的選擇。

我們每個人都有很多在選擇，學業(yè)、事業(yè)、愛情……我們都有各種各樣的選擇，可以說生活中我們時刻面臨著選擇，選擇不一樣，結局也會不一樣，只是你的選擇是否真正發(fā)自內心還是出自于生活的無奈，已經無人理會。人生路需要走很久，我們總會遇到各種各樣的人，各種各樣的事，正如我們工作平臺選擇不一樣，起點也會不一樣，領導選擇不一樣，或許你的結局也會不一樣，我們不能選擇自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指責，生活對誰都一樣，選擇永遠在你手中，跟著心走，或許你就能找到一個真正的自己。

大自然給予了我們很多美好的東西，只是我們自己卻不知道去好好珍惜，只有當我們在失去后或者犯錯了，我們才會去說后悔沒有珍惜，希望能給一次機會重新來過，只是這樣的重來真的還能重來嗎？我們誰都不能去肯定，路，自己選擇，自己走下去，也許有人給你使絆，也許有人會拉你一把，但終歸還是需要自己去選擇，自己親自去走。人生經歷太多，失敗了、跌倒了，可以站起來繼續(xù)走，如果走錯了，可以選擇正確的路，但我們如果放棄了，就有可能一直停留在那，多年以后，或許你已經被遺忘。

風景在路上，我們需要去尋找，才能找到真正的自己，誰都有無奈，誰都有生活的壓力，只是你們的選擇不一樣，當你走上自己的路，或許你會覺得輕松，或許你會覺得很難，但那終歸是屬于自己的路，因為生活，始終在你手中。是在醫(yī)院渡過，然而和母親在一起的毎一刻都是溫暖美好的。四年前，母親還是離開了這個世界，離開了我。生命就是如此脆弱，逝去和別離，陳舊的情緒某年某月的那一刻如水瀉閘。水在流，云在走，聚散終有時，不貪戀一生，有你的這一程就是幸運。那是地久天長的在我的血液中滲透，永遠在我的心中，在我的生命里。

時光就是這么不經用，很快自己做了母親，我才深深的知道，這樣的愛，不帶任何附加條件，不因萬物毀滅而更改。只想守護血濃于水的舊時光，即便崢嶸歲月將容顏劃傷，相信一切都是最好的安排。那時的時光無限溫柔，當清水載著陳舊的往事，站在時光這頭，看時光那頭，一切變得分明。執(zhí)筆書寫，舊時光的春去秋來，歡喜也好，憂傷也好，時間窖藏，流光曼卷里所有的寵愛，疼惜，活色生香的腦海存在。

回憶的老墻，偶爾依靠，黃花總開不敗，所有囤積下來的風聲雨聲，天晴天陰，都是慈悲。時光不管走多遠，不管有多老舊，含著眼淚，伴著迷茫，讀了一頁又一頁，一直都在，輕輕一碰，就讓內心溫軟。舊的時光被揉進了歲月的折皺里，藏在心靈的溝壑，直至韶華已遠，才知道走過的路不能回頭，錯過的已不可挽留，與歲月反復交手，滄桑中變得更加堅強。

是的，折枝的命運阻擋不了。人世一生，不堪論，年華將晚易失去，聽幾首歌，描幾次眉，便老去。無論天空怎樣陰霾，總會有幾縷陽光，總會有幾絲暗香，溫暖著身心，滋養(yǎng)著心靈。就讓舊年花落深掩歲月，把心事寫就在素箋，紅塵一夢云煙過，把眉間清愁交付給流年散去的煙山寒色，當冰雪消融，自然春暖花開，拈一朵花淺笑嫣然。

聽這位老友，絮絮叨叨地講述老舊的故事，試圖找回曾經的蹤跡，卻漸漸明白了流年，懂得了時光。過去的溝溝坎坎，風風雨雨，也裝飾了我的夢，也算是一段好詞，一幅美卷，我愿意去追憶一些舊的時光，有清風，有流云，有朝露晚霞，我確定明亮的東西始終在。靜靜感念，不著一言，百轉千回后心靈又被喚醒，于一寸笑意中悄然綻放。

唯用一枝瘦筆，剪一段舊時光，剪掉喧囂塵世的紛紛擾擾，剪掉終日的忙忙碌碌。情也好，事也罷，細品紅塵，文字相隨，把尋常的日子，過得如春光般明媚。光陰珍貴，指尖徘徊的時光唯有珍惜，朝圣的路上做一個謙卑的信徒，聽雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自會來，心深處自有廣闊的天地。舊時光難忘，好的壞的一一納藏，不辜負每一寸光陰，自會花香滿徑，盈暗香滿袖。每個人都有自己的精神家園，而對于記憶中的幾戶人家，我更有著刻骨銘心的情感。

上個世紀六七十年代，在陜西的某城市的郊區(qū)一個大院子里住了四家人。一家人姓趙四十歲左右，是一個食堂的采購員；姓李的一家人是個老離休干部，也是一個軍人。曾經在解放戰(zhàn)爭時期受過傷，當時他的腿上留有敵人手榴彈炸的彈片在里頭呢；東面的一家姓石，是一個搞電子的工程師；西面一家姓吳，老吳是一個中學教師。

老李一般在家休息，負傷的地方經常疼痛難忍。家里有老婆姓元，大兒子當時工作了，還有兩個孩子在讀書。老石呢，由于是個工程師專門修理無線電的，廠里人的電器壞了一般都讓老石修理，所以一下班吃完飯他就忙著給別人修理電器。老趙由于是個采購員，一天就是給食堂買糧食和各種蔬菜。老吳是個教師一般都是上課，但是還有兩個寒暑假期。老吳的家里人口最多，五個兒子一個女兒，加上老兩口，一共八口人。

物質缺乏的年代，大家過得都是差不多的日子，這四家就屬老干部老李條件最好，一般買東西都是要用糧票、布票、肉票。要是沒有這些票證的話，就算你有錢出去也會餓死的。老干部的待遇好一點，經常用不了那些票證，于是老李就常常把用不完的票證分給了這些鄰居。

那個年代的錢特別的頂用，一斤大米一毛三分八；一斤魚兩角錢；一斤牛肉熟的才五角錢；一個大肉包子五分錢；一只燒雞兩元錢；小米一斤一角錢；一個鹵豬蹄子兩毛錢一個；一盒火柴兩分錢；一斤面粉兩毛五。全國啥地方都是統(tǒng)一的價格，住的房子都是單位給分的，房子也都不交水電費的。一點也不像現(xiàn)在一會一個價錢。那個時候老干部一般一個月一百多元錢，一般的干部工人多數(shù)就是一個月五六十元到七八十元不等。這幾家人特別的和睦，就像一家人一樣，誰家有事大家都會過去幫忙。

一九七六年唐山大地震的時候，老吳在唐山的老家也遭受了災害，屋子倒了，人也砸傷了，老吳趕緊請假和他愛人一起回去處理老家的事情去了。老李對老吳說，“你放心的回老家吧！你的孩子我?guī)湍憧?。”當時老吳的老大才十四歲，還有一個剛剛才上學的七歲的小女兒。

老吳走后每一天孩子起床都是老李叫他們起床，洗臉，吃飯上學，都是老李管的。孩子們放學就在老李家里學習，寫作業(yè)，吃飯。每到星期天老石釣來魚做熟以后，就端到老李家讓老吳的孩子打牙祭。老趙的孩子學習好，只要有時間就去老吳家?guī)椭暮⒆虞o導功課。就這樣兩個多月很快過去了，老吳兩口子回來了，他們看到家里面收拾的整整齊齊的。孩子們也長胖了，也愛學習了。他當面給老李鞠了一躬表示十分的感激，還給老石的孩子帶了一些當?shù)氐耐撂禺a，給老趙的孩子買了幾件衣服。

老干部老李當時家里有一部電話機，這個電話機就成了幾家人共同使用的了。那個時候打個電話一般不太容易，當時電話機是個除了單位有一部以外，根本很少有個人電話的。老石在休息的時候喜歡出去釣魚，他這個人喜歡釣魚，就是不太喜歡吃魚。釣的魚一部分留下給自家孩子吃一些，大部分的魚都分給鄰居吃了。老李特別喜歡吃魚，老石就經常把釣的魚給他吃。老趙是個食堂的采購員，經?？梢再I到別人還沒有吃到的反季節(jié)蔬菜，大家經常讓他給代買一點便宜的蔬菜，或者便宜的雞蛋，或者便宜的肉和其他調味品。

當時一般的人家里都沒有電視機，最多有個半導體收音機就是很好的了。大多數(shù)人下班吃完飯沒有事就是喜歡串串門，一起都聊的是過去的事情，以及現(xiàn)在的工作和家常事。串門是特別普遍的現(xiàn)象?，F(xiàn)在這個年代在一起住了好久也不知道鄰居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看見了打個招呼點個頭，各自開門關門就走開了，與那個時候的鄰里關系沒法相比。老吳是個老師，也是一個戲迷，愛聽京劇，也是一個愛下象棋的。老吳一有空就和老李下棋玩，于是他們有了深厚的情誼。他們幾家人的孩子相處得也是特別的好，一般放了學就在一起學習玩耍。

在那個時候，人們心里都是充滿著英雄主義和共產主義的理想，就是跟著毛主席共產黨好好的為人民服務。小孩玩的游戲，多是是刀槍、打仗的游戲，還有電影里看見的劇情。他們拿著玩具槍，還有木頭做的寶劍，或者花五角錢可以買一根長桿木頭大刀。他們拿著這些玩具就分出兩個隊伍。你這個隊伍藏起來，他們埋伏起來之前還要偽裝好，他們一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的頭上還要帶上細樹枝編的帽子或者是柳樹條編的頭箍，他們就趴在草叢里一般很難被另外一群小伙伴發(fā)現(xiàn)的。那個隊伍就到處找他們，這個游戲叫做抓特務，或者叫做打伏擊抓俘虜。他們一有時間，或者一放寒暑假，一群孩子就喜歡玩這個游戲，特別好玩。那一兩個月就是孩子們的天下了，非常熱鬧。除此之外就是滾鐵環(huán)、碰膝蓋游戲。女孩子喜歡跳皮筋、跳格子、跳繩、打沙包、唱歌，也喜歡玩抓特務游戲。

到了七十年代初，老李家里就買了國產第一批黑白電視機，