必修213空間幾何體表面積體積知識點(diǎn)

必修21.3空間幾何體表面積、體積知識點(diǎn)必修21.3空間幾何體表面積、體積知識點(diǎn)4/4必修21.3空間幾何體表面積、體積知識點(diǎn)精心整理必修21.3空間幾何體的表面積、體積例1已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四周體S—ABC（圖6），求它的表面積.圖6剖析：因?yàn)樗闹荏wS—ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四周體的表面積等于此中任何一個面面積的4倍.解：先求△SBC的面積，過點(diǎn)S作SD⊥BC，交BC于點(diǎn)D.因?yàn)锽C=a,SD=SB2BD2a2(a)23a,22所以S△SBC=1BC·SD=1a3a3a2.2224所以，四周體S—ABC的表面積S=4×3a23a2.4變式訓(xùn)練1.已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r，圓柱側(cè)面積為S，求圓錐的側(cè)面積.解：設(shè)圓錐的母線長為l，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為S，圓柱的底面半徑為r，即S圓柱側(cè)=S，依據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得：圓柱的母線（高）長為S，由題意得圓錐的高為S，又圓錐的底面半徑為r，依據(jù)勾股定理，圓錐的母線長2r2rl=r2(S)2，依據(jù)圓錐的側(cè)面積公式得：2rS圓錐側(cè)=πrl=π·r·r2(S)242r4S2.2r22.兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（）A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27剖析：因?yàn)閳A錐的高被分成的三部分相等，所以兩個截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為

1∶2∶3，于是自上而下三個圓錐的體積之比為

(

r2h)∶［

(2r)2·2h］∶［

(3r)2·3h］=1∶8∶27，所以圓錐被分成的三部分的體積之比3

3

3為1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B3.三棱錐V—ABC的中截面是△A1B1C1，則三棱錐V—A1B1C1與三棱錐A—A1BC的體積之比是（）A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8剖析：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為1∶4，將三棱錐A—A1BC轉(zhuǎn)變成三棱錐A1—ABC，這樣三棱錐V—A1B1C1與三棱錐A1—ABC的高相等，底面積之比為1∶4，于是其體積之比為1∶4.答案：B例2如圖7，一個圓臺形花盆盆口直徑為20cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5cm，盆壁長為15cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個這樣的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，頁腳內(nèi)容精心整理結(jié)果精確到1毫升）圖7解：如圖7，由圓臺的表面積公式得一個花盆外壁的表面積S=π［(15)215152015］222-π(1.5)2≈1000(cm2)=0.1(m2).2涂100個這樣的花盆需油漆：0.1×100×100=1000（毫升）.答：涂100個這樣的花盆需要1000毫升油漆.變式訓(xùn)練1.有位油漆工用一把長度為50cm，橫截面半徑為10cm的圓柱形刷子給一塊面積為10m2的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速轉(zhuǎn)動前進(jìn)，則油漆工完成任務(wù)所需的時間是多少?（精確到0.01秒）解：圓柱形刷子轉(zhuǎn)動一周涂過的面積就等于圓柱的側(cè)面積，∵圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1πm2，又∵圓柱形刷子以每秒5周勻速轉(zhuǎn)動，∴圓柱形刷子每秒滾過的面積為0.5πm2，所以油漆工完成任務(wù)所需的時間t=10m220≈6.37秒.0.5m22.已知三棱錐O—ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，則三棱錐體積的最大值是___________.剖析：由題意得三棱錐的體積是11xy1x(4x)1(x-2)2+2，因?yàn)閤＞0，則當(dāng)x=2時，三棱錐的體積取最32663大值2.3答案：23例3有一堆規(guī)格同樣的鐵制（鐵的密度是7.8g/cm3）六角螺帽（圖8）共重5.8kg,已知底面是正六邊形，邊長為12mm,內(nèi)孔直徑為10mm,高為10mm，問這堆螺帽大體有多少個?（π取3.14）圖8解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即V=3210233).4×12×6×10-3.14(×)×10≈2956(mm)=2.956(cm2所以螺帽的個數(shù)為5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(個).答：這堆螺帽大體有252個.變式訓(xùn)練如圖9，有個水平放置圓臺形容器，上、下底面半徑分別為2分米，4分米，高為5分米，現(xiàn)以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，當(dāng)水面的高度為3分米時，求所用的時間.（精確到0.01秒）圖9解：如圖10，設(shè)水面的半徑為r，則EH=r-2分米，BG=2分米，圖10在△ABG中，∵EH∥BG，頁腳內(nèi)容精心整理∴AHEH.∵AH=2分米,AGBG∴2r2.∴r=14分米.525∴當(dāng)水面的高度為3分米時，容器中水的體積為V水=1·3［(14)2+14×4+42］=876立方分米,35525876292∴所用的時間為253≈36.69秒.25答：所用的時間為36.69秒.自我測試1.正方體的表面積是96，則正方體的體積是（）A.486B.64剖析：設(shè)正方體的棱長為a，則6a2=96，解得a=4，則正方體的體積是a3=64.答案：B2.如圖19所示，圓錐的底面半徑為1，高為3，則圓錐的表面積為（）A.πB.2πC.3πD.4π剖析：設(shè)圓錐的母線長為l，則l=31=2，所以圓錐的表面積為S=π×1×(1+2)=3π.答案：C3.正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為23，則這個正三棱錐的體積是（）27927393A.B.C.4D.444剖析：可得正三棱錐的高h(yuǎn)=(23)2(3)2=3，于是V=1332393.344答案：D4.若圓柱的高擴(kuò)大為本來的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴(kuò)大為本來的_________倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為本來的4倍，則圓柱的體積擴(kuò)大為本來的_________倍.剖析：圓柱的體積公式為V圓柱=πr2h，底面半徑不變，高擴(kuò)大為本來的4倍，其體積也變成本來的4倍；當(dāng)圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為本來的4倍時，其體積變成本來的42=16倍.答案：4165.圖20是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn).現(xiàn)在沿△GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾?圖20剖析：因?yàn)殇彽舻氖钦襟w的一個角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實(shí)質(zhì)上鋸掉的這頁腳內(nèi)容精心整理個角，是以三角形AGF為底面，H為極點(diǎn)的一個三棱錐.解：設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3.三棱錐的底面是Rt△AGF，即∠FAG為90°，G、F又分別為AD、AA1的中點(diǎn)，所以AF=AG=1a.所以△AGF的面2積為11a1a1a2.又因AH是三棱錐的高，H又是AB的中點(diǎn)，所以AH=1a.所以鋸掉的部分的體積為2228211a1a21a3.32848又因1a3a31,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的1.4848486.已知一圓錐的側(cè)面張開圖為半圓，且面積為S，則圓錐的底面面積是____________.21，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l2S,S剖析：如圖l，由題意得2解得r=，所以圓錐的底面積為l2r,2πr2=SS.22圖21答案：S27.如圖22，一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖23，這時水面恰好為中截面，則圖22中容器內(nèi)水面的高度是_________.圖22圖23剖析：圖22中容器內(nèi)水面的高度為h，水的體積為V，則V=S△ABCh.又圖23中水組成了一個直四棱柱，其底面積為3SABC，高度為3SABC2