3.2.2幾類不同增長的函數(shù)模型doc-高中數(shù)學(xué)

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3.2.2幾類不同增長的函數(shù)模型

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能

利用函數(shù)增長的快慢一般規(guī)律，借助函數(shù)模型，研究解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.

2．進(jìn)程與方法

在實例分析、解決的過程中，體會函數(shù)增長快慢的實際意義，從而提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力.

3．情感、態(tài)度與價值觀

在實際問題求解的過程中，享受數(shù)學(xué)為人們的生產(chǎn)和生活服務(wù)的樂趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣.

（二）教學(xué)重點與難點

重點：應(yīng)用數(shù)學(xué)理論解決實際問題的興趣培養(yǎng)和能力提升

難點：函數(shù)建模及應(yīng)用函數(shù)探求問題的能力培養(yǎng).

（三）教學(xué)方法

嘗試指導(dǎo)與合作交流相結(jié)合，學(xué)生自主學(xué)習(xí)和老師引導(dǎo)相結(jié)合.解決實際問題范例，培養(yǎng)學(xué)生利用函數(shù)增長快慢的數(shù)學(xué)知識對實際問題進(jìn)行探究和決策.

（四）教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)

教學(xué)內(nèi)容

師生互動

設(shè)計意圖

回顧復(fù)習(xí)

引入深題

①增函數(shù)的增長快慢比較方法：利用列表與圖象，借助二分法求根，探究快慢相應(yīng)區(qū)間獲得一般結(jié)論.

師：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長快慢一般性規(guī)律.

生：回顧總結(jié)，口述回答.

以舊引新導(dǎo)入課題

實例分析

例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0.4元，以后每天回報比前一天翻一番.

請問，你會選擇哪種投資方案？

例2某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？

師生合作探究解答過程

例1解答：設(shè)第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y=40(x∈N*)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)y=10x(x∈N*)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)y=0.4×2x–1(x∈N*)進(jìn)行描述.

三種方案所得回報的增長情況

x/天

方案一

y/元

增加量/元

1

40

2

40

0

3

40

0

4

40

0

5

40

0

6

40

0

7

40

0

8

40

0

9

40

0

10

40

0

…

…

…

30

40

0

x/天

方案二

y/元

增加量/元

1

10

2

20

10

3

30

10

4

40

10

5

50

10

6

60

10

7

70

10

8

80

10

9

90

10

10

100

10

…

…

…

30

300

10

x/天

方案三

y/元

增加量/元

1

0.4

2

0.8

0.4

3

1.6

0.8

4

3.2

1.6

5

6.4

3.2

6

12.8

6.4

7

25.6

12.8

8

51.2

25.6

9

102.4

51.2

10

204.8

102.4

…

…

…

30

214748364.8

107374182.4

再作三個函數(shù)的圖象

在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元.

例2解答：作出函數(shù)y=5，y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的圖象.

觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的圖象都有一部分在直線y=5的上方，只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方，這說明只有按模型y=log7x+1進(jìn)行獎勵時才符合公司的要求.

首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬.

對于模型y=0.25x，它在區(qū)間[10，1000]上遞增，而且當(dāng)x=20時，y=5，因此，當(dāng)x＞20時，y＞5，所以該模型不符合要求；

對于模型y=log7x+1，它在區(qū)間[10，1000]上遞增，而且當(dāng)x=1000時，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.

再計算按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當(dāng)x∈[10，1000]時，是否有

成立.

令f(x)=log7x+1–0.25x，x∈[10,1000]

將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用圖象、表格及恰當(dāng)?shù)耐评?，?yīng)用不同函數(shù)的增長快慢解決實際應(yīng)用問題.

鞏固練習(xí)

1．四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表

x

0

5

10

15

y1

5

130

505

1130

y2

5

94.478

1785.2

33733

y3

5

30

55

80

y4

5

2.3107

1.4295

1.1407

x

20

25

30

y1

2005

3130

4505

y2

6.37×105

1.2×107

2.28×108

y3

105

130

155

y4

1.0461

1.0151

1.005

關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是.

2．某種計算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的，如果某臺計算機(jī)感染上這種病毒，那么它就會在下一輪病毒發(fā)作時傳播一次病毒，并感染其他20臺未感染病毒的計算機(jī).現(xiàn)有10臺計算機(jī)被第1輪病毒感染，問被第5輪病毒感染的計算機(jī)有多少臺？

1．解：y2

2．解：設(shè)第1輪病毒發(fā)作時有a1=10臺被感染，第2輪，第3輪……依次有a2臺，a3臺……被感染，依題意有a5=10×204=160.

答：在第5輪病毒發(fā)作時會有160萬臺被感染.

動手嘗試提升解題能力

歸納總結(jié)

2．中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟

（1）理解問題：閱讀理解，讀懂文字?jǐn)⑹?，認(rèn)真審題，理解實際背景.弄清楚問題的實際背景和意義，設(shè)法用數(shù)學(xué)語言來描述問題.

（2）簡化假設(shè)：理解所給的實際問題之后，領(lǐng)悟背景中反映的實質(zhì)，需要對問題作必要的簡化，有時要給出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，精選問題中關(guān)鍵或主要的變量.

（3）數(shù)學(xué)建模：把握新信息，勇于探索，善于聯(lián)想，靈活化歸，根據(jù)題意建立變量或參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，實現(xiàn)實際問題數(shù)學(xué)化，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，常用的數(shù)學(xué)模型有方程、不等式、函數(shù).

（4）求解模型：以所學(xué)的數(shù)學(xué)性質(zhì)為工具對建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解.

（5）檢驗?zāi)Ｐ停簩⑺蟮慕Y(jié)果代回模型之中檢驗，對模擬的結(jié)果與實際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.

（6）評價與應(yīng)用：如果模型與實際情形比較吻合，要對計算的結(jié)果作出解釋并給出其實際意義，最后對所建立的模型給出運用范圍.如果模型與實際問題有較大出入，則要對模型改進(jìn)并重復(fù)上述步驟.

師生合作反思?xì)w納總結(jié)完善

生：通過獨立思考和必要的交流，分析歸納例1、例2的解題過程，簡述建模的主要步驟.

師：點評、總理學(xué)生的回答，然后完善歸納步驟.

師生合作：結(jié)合上一課時總結(jié)函數(shù)增長快慢在實際應(yīng)用問題中的應(yīng)用體會.

培養(yǎng)整理知識的學(xué)習(xí)品質(zhì).通過知識整合培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

課后練習(xí)

3.2第二課時習(xí)案

學(xué)生獨立完成

強化基礎(chǔ)提高能力

備選例題

例1有一批影碟機(jī)（VCD）原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家電商場均有銷售.甲商場用如下的方法促銷，買一臺單價為780元，買二臺單價為760元，依次類推，每多買一臺單價均減少20元，但每臺最低不低于440元；乙商場一律按原價的75%銷售，某單位需購買一批此類影碟機(jī)，問去哪家商場購買花費最小.

【解析】設(shè)單位購買x臺影碟機(jī)，

在甲商場購買，每臺的單價為800–20x，則總費用

在乙商場購買，費用y=600x.

（1）當(dāng)0＜x＜10時，(800x–20x2)＞600x

∴購買影碟機(jī)低于10臺，在乙商場購買.

（2）當(dāng)x=10時，(800x–20x2)=600x

∴購買10臺影碟機(jī)，在甲商場或在乙商場費用一樣.

（3）當(dāng)10＜x≤18時，(800x–20x2)＜600x

∴購買影碟機(jī)多于10臺且不多于18臺，在甲商場購買.

（4）當(dāng)x≥18時，600x＞440x

∴購買影碟機(jī)多于18臺，在甲商場購買.

答：若購買小于10臺，去乙商場購買；若購買10臺，在甲商場或在乙商場費用一樣多；若購買多于10臺，在甲商場購買.

【評析】實際應(yīng)用問題求解，理解題意建立模型是關(guān)鍵，建好模型后實際問題使自然轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

例2某皮鞋廠今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬雙，1.2萬雙，1.3萬雙，1.37萬雙.由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式新穎，前幾個月的銷售情況良好.為了推銷員在推銷產(chǎn)品時，接受定單不至于過多或過少，需要估計以后幾個月的產(chǎn)量.廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程.廠里也暫時不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人.假如你是廠長，就月份x，產(chǎn)量為y給出四種函數(shù)模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，y=a+b，y=abx+c，你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產(chǎn)量？

【解析】本題是通過數(shù)據(jù)驗證，確定系數(shù)，然后分析確定函數(shù)變化情況，最終找出與實際最接近的函數(shù)模型.

由題意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.

（1）設(shè)模擬函數(shù)為y=ax+b，將B、C兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)式，有，解得

所以得y=0.1x+1.

因此此法的結(jié)論是：在不增加工人和設(shè)備的條件下，產(chǎn)量會月月上升1000雙，這是不太可能的.

（2）設(shè)y=ax2+bx+c，將A、B、C三點代入，有，解得，

所以y=–0.05x2+0.35x+0.7.

因此由此法計算4月份產(chǎn)量為1.3萬雙，比實際產(chǎn)量少700雙，而且，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，產(chǎn)量自4月份開始將月月下降（圖象開口向下，對稱軸x=3.5），不合實際.

（3）設(shè)y=+b，將A，B兩點的坐標(biāo)代入，有，解得，

所以y=.

因此把x=3和4代入，分別得到y(tǒng)=1.35和1.48，與實際產(chǎn)量差距較大.

（4）設(shè)y=abx+c，將A，B，C三點的坐標(biāo)代入，得，解得，

所以y=–0.8×(0.5)x+1.4.

因此把x=4代入得y=–0.8×0.54+1.4=1.35.比較上述四個模擬函數(shù)的優(yōu)劣，既要考慮到誤差最小，又要考慮生產(chǎn)的實際，比如增產(chǎn)