5高中數(shù)學(xué)精品講座課件：重視邏輯推理 關(guān)注全局變化-2022年高考“三角函數(shù)與解三角形”專(zhuān)題解題分析

重視邏輯推理

關(guān)注全局變化——2022年高考“三角函數(shù)與解三角形”專(zhuān)題解題分析揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)目錄1234試題特點(diǎn)分析優(yōu)秀試題分析典型模擬題復(fù)習(xí)備考建議1試題特點(diǎn)分析試

題

特

點(diǎn)

分

析序號(hào)試卷題號(hào)（分值）知識(shí)點(diǎn)題6（5分）三角函數(shù)圖象與性質(zhì)1Ⅰ全國(guó)新高考

卷題18（12分）同角三角函數(shù)關(guān)系、三角恒等變換、解三角形同角三角函數(shù)關(guān)系、三角恒等變換題6（5分）2全國(guó)新高考

卷Ⅱ題9（5分）題18（12分）題5（5分）題16（5分）題11（5分）題16（5分）題11（5分）題17（10分）三角函數(shù)圖象與性質(zhì)解三角形三角函數(shù)圖象與性質(zhì)解三角形345全國(guó)甲卷（文）全國(guó)甲卷（理）全國(guó)乙卷（文）三角函數(shù)圖象與性質(zhì)解三角形三角函數(shù)單調(diào)性、最值三角函數(shù)恒等變換、解三角形試

題

特

點(diǎn)

分

析序號(hào)試卷題號(hào)（分值）知識(shí)點(diǎn)題15（5分）題17（10分）三角函數(shù)圖象與性質(zhì)三角恒等變換、解三角形6全國(guó)乙卷（理）題5（4分）三角函數(shù)的二倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性7北京卷題13（5分）題16（13分）題3（4分）題19（14分）題9（5分）題16（14分）題4（4分）題6（4分）三角恒等變換三角恒等變換、解三角形二倍角公式、三角函數(shù)的周期性解三角形三角函數(shù)圖象與性質(zhì)解三角形、三角恒等變換三角函數(shù)值、充要條件圖象變換89上海卷天津卷10浙江卷題

（

分）題13（4分）題18（14分）解三角形、數(shù)學(xué)文化三角恒等變換解三角形11

4試

題

特

點(diǎn)

分

析從出題面貌上看，三角函數(shù)板塊題和過(guò)去的高考題一致，未出現(xiàn)創(chuàng)新形式的命題，在模擬卷中常出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)不良題未在此板塊考查．從內(nèi)容上，對(duì)三角函數(shù)有兩個(gè)層次的分析．題型客觀題：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，三角恒等變換主觀題：三角形為命題背景試

題

特

點(diǎn)

分

析方式顯性：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、圖象變換、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理隱性：作為數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用三角函數(shù)來(lái)解決平面向量、立體幾何、解析幾何、函數(shù)等問(wèn)題2優(yōu)秀試題分析優(yōu)

秀

試

題

分

析5

關(guān)注多種角度運(yùn)用三角函數(shù)解題關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”2π例

1

（2022

年新高考Ⅱ卷·9）函數(shù)

f

(x)的圖象以(

,0)中心對(duì)3稱，則（）．5ππ

11πA．

y在(0,

)單調(diào)遞減

B．

y在(有

2

個(gè)極值點(diǎn)1212

127π32C．直線x是一條對(duì)稱軸D．直線

y是一條切線6考查全面關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【目標(biāo)解析】知識(shí)層面：

三角函數(shù)

y

Asin(

x

)

的單調(diào)性、對(duì)稱性、極值及切線問(wèn)題．方法層面：

整體代換思想、數(shù)形結(jié)合思想．素養(yǎng)層面：直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【解法分析】2π4π4π4π第一步：+

=

kπ

k

，

Z，即由題意得：f

(

)，所以，k

Z，33332π2π又

0

π

，所以

k

=

2

時(shí)，

=，故．f

(x)33關(guān)鍵：復(fù)合函數(shù)第二步：2π思路一：直接研究函數(shù)

f

(x)的圖象與性質(zhì)．3思路二：依據(jù)復(fù)合函數(shù)的研究方法，回到函數(shù)

y．關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”5π2π

2π

3π對(duì)

A：x對(duì)

B：x2x2x)123

3

22π

π

5ππ

11π)12

123

2

27π2π對(duì)

C：x2x63yO2πxπ3π2關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”關(guān)鍵：切點(diǎn)坐標(biāo)2π2πcos(2x

+

)

=

?312

=+

=

?)

1得：對(duì)

D，由

y

2

cos(2x，32π

2π2π

4π+

=

+

2kπ,k

Z，2x

+

=

+

2kπ解得或

2x3

33

3πx

=

kπ=

+kπ,k

Z，從而得：或

x332π所以函數(shù)

y

=

f

(x)

在點(diǎn)(0,

)

處的切線斜率為

k

y=

=2

cos=

?1，x

0=3233(x

0)

即?

=

?

?y

=

?

x切線方程為：

y．22關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”2π例

1

（2022

年新高考Ⅱ卷·9）函數(shù)

f

(x)則（）．的圖象以(

,

0)

中心對(duì)稱，35ππ

1

1πA．

y

=

f

(x)

在(0,

)

單調(diào)遞減B．

y

=

f

(x)

在

(有

2

個(gè)極值點(diǎn)1212

127π3=y

=?

x是一條切線C．直線

x是一條對(duì)稱軸D．直線62【答案】AD關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【試題分析】

函數(shù)

y是刻畫(huà)周期性的重要函數(shù)模型，教材對(duì)它的研究非常重視．教材中在此處將研究函數(shù)的多種方法進(jìn)行了綜合，如運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的方法、數(shù)形結(jié)合的方法、整體代換的方法、圖象變換的方法，使學(xué)生不止對(duì)三角函數(shù)，更是對(duì)整體函數(shù)，有了更完整的認(rèn)識(shí)．關(guān)鍵詞：函數(shù)教學(xué)價(jià)值！關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【變式1】（1）將條件以圖象形式給出．在以函數(shù)

y

為背景的高考題中，命題的形式多樣，除以數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述性質(zhì)外，還經(jīng)常以圖象的形式給出條件，考查學(xué)生看圖，讀圖、用圖能力．圖象變換也是此處考查的重點(diǎn)，全國(guó)甲卷（文）、浙江卷都進(jìn)行了考查．π在[(2020年課標(biāo)Ⅰ卷理

7)設(shè)函數(shù)

f

(x)的圖象大致如下·6圖，則

f(x)的最小正周期為

(

)．10π7πA．C．B．D．94π63π32πf

(x)64π

π

π(且T9

6

2【答案】C關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【變式2】π

11ππ

11π（2）改變區(qū)間范圍或端點(diǎn)取值．如將例

1B

選項(xiàng)的區(qū)間“(”變?yōu)椤癧”，12

1212

12也會(huì)增加對(duì)“極值”概念的考查難度．π

1

1π2π

π

5πx]2x12

123

2

2yO2πxπ3π2關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”(2021·揚(yáng)州調(diào)研)將余弦函數(shù)

f(x)＝cos

x

的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的

3π2倍(橫坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖象向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

g(x)的圖象.若關(guān)于

x

的方程

f(x)＋g(x)＝m

在[0，π]內(nèi)有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍為_(kāi)_______.

y[0,π](0,π)6Ox6關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【變式3】（3）缺失條件，將定量問(wèn)題改為變量問(wèn)題．如全國(guó)甲卷理科第

11

題、全國(guó)甲卷文科第

5

題，但只要抓住“數(shù)形結(jié)合”、“整體代換”即可輕松解決．y(2022

年全國(guó)甲卷理·11)設(shè)函數(shù)

f

(x)在區(qū)間(0,π)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則

的取值范圍是（

）．A.

B.

C.2πD.Oxπ3π2【答案】C關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”(2019

年課標(biāo)Ⅲ卷理·12)設(shè)函數(shù)

f

(x)(＞0)，已知

f

x

在

0,

2

有且僅有

55個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①

f

x

在(0,

2)有且僅有

3

個(gè)極大值點(diǎn)；②

f

x

在(0,

2)有且僅有

2

個(gè)極小值點(diǎn)；12

29④的取值范圍是[

，

)．5

10③

f

x

在(0,

)單調(diào)遞增；10其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

(

)．A．①④

B．②③

C．①②③D．①③④關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”π

π關(guān)鍵：整體思想數(shù)形結(jié)合因?yàn)閤，所以x5

55π我們只需觀察函數(shù)

y在區(qū)間[

,

2π上的圖象．55y【答案】DO2πxπ3π2關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【類(lèi)題賞析】以函數(shù)

y

為背景的高考題較多，如

2019

年全國(guó)Ⅲ卷理科卷第

12

題，在選項(xiàng)設(shè)置上也運(yùn)用了極值的概念，還有的高考題運(yùn)用函數(shù)的和、差、分段設(shè)計(jì)出更為復(fù)雜的函數(shù)，如

2019

年全國(guó)Ⅰ卷理科第

11

題中的函數(shù)

f

(x)，但本質(zhì)依然是考查三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等問(wèn)題，充分運(yùn)用分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法研究函數(shù)，對(duì)運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)理解、研究函數(shù)要求更高．關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”π(2019

年課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·9)下列函數(shù)中，以

為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是2（A．

f

(x)）．B．

f

(x)C．

f

(x)D．

f

(x)yy=|cos2x|Ox42關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”yy=|sin2x|Ox42y【答案】Ay=sin|x|-πOπx關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”(2019

年課標(biāo)Ⅰ卷理·11)關(guān)于函數(shù)

f

(x)①

f

(x)是偶函數(shù)；

②

f

(x)在區(qū)間有下述四個(gè)結(jié)論：?jiǎn)握{(diào)遞增；③

f

(x)在[其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

(

)．A．①②④

B．②④

C．①④有

4

個(gè)零點(diǎn)；

④

f

(x)的最大值為

2．D．①③關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”yy=sin|x|【答案】C-πOπxyy=|sinx|-πOπxy

y=sin|x|+|sinx|-ππxO關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”1ysin

x關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【圖象變換】π（2022

年浙江卷·6）為了得到函數(shù)

y的圖象，只要把函數(shù)

y圖5象上所有的點(diǎn)（

）．ππA．

向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度B．

向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度55【答案】DππC．向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度D．

向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度1515關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【圖象變換】ππ（2022

年全國(guó)甲卷文·5）將函數(shù)

f

(x)的圖象向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)32度后得到曲線

C，若

C

關(guān)于

y

軸對(duì)稱，則的最小值是（

）．A．1B．1C．1D．16432【答案】C關(guān)注“角”“名”“次”恒等變換π例

2

（2022

年新高考Ⅱ卷·6）

角,

滿足sin(

，4則（

）．A．tan(

B．tan(

1

C．tan(

D．

tan(

關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【目標(biāo)解析】知識(shí)層面：

兩角和差的正余弦公式、同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系.方法層面：

整體代換思想．素養(yǎng)層面：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．關(guān)注“角”“名”“次”恒等變換入口多【解法分析】在人教版教材中指出：“因?yàn)椴煌娜呛瘮?shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)存在所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類(lèi)方面的差異，所以進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，常常要先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇適π當(dāng)?shù)墓剑北绢}中抓住對(duì)“

”這個(gè)已知角的考察，得到以下兩種解法．4π若對(duì)常數(shù)“

”運(yùn)算化簡(jiǎn)，可得方法（一）：4由已知得：sin

cos

+cos

sin

+cos

cos

?sin

sin

=

(

?

)

，2

cos

sin

sin化簡(jiǎn)得：sin

cos

?

cos

sin

+

cos

cos

+

sin

sin

=

0，即sin所以

tan(

?

)=

?1

．(

?

)+

(

?

)=cos0

，關(guān)注“角”“名”“次”恒等變換π若保留并構(gòu)造出“

”，可得方法（二）：4ππ

+

+

=)

2

2

cos(

+)

sin

，則由已知得：

2

sin(44πππsin(

+

)cos

+

cos(

+

)

sin

=

2

cos(

+

)

sin

，444ππππ所以

sin(

+

)cos

=

cos(

+

)

sin

，

tan(

+

)

=

tan

，所以

+

=

+

kπ,k

Z，則4444πtan(

?

)

=

tan(?

+

kπ)

=

?1．4關(guān)注“角”“名”“次”恒等變換【試題分析】角函數(shù)名式子特征特殊角同角三角函數(shù)關(guān)系誘導(dǎo)公式三角函數(shù)次數(shù)和差積運(yùn)算角的和差倍關(guān)系關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【類(lèi)題賞析】三角恒等變換一直是三角函數(shù)中的基本題型之一，除考查三角函數(shù)公式的靈活運(yùn)用以外，更多的是對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的考查．如

2021

年新高考Ⅰ卷第

6

題，2019

年江蘇卷第13

題，都是有較大區(qū)分度的三角恒等變換的小題．其區(qū)分在不只是能不能解決這個(gè)問(wèn)題，π還體現(xiàn)在用什么方法解決．如

2019

年江蘇卷第

13

題，考生易觀察出所求角

2是已知4πππ的

關(guān)

系

，

求

出角與

的

和

，

但

要

更

好

的

解

決

此

題

還

需

運(yùn)

用444ππsin(o

,

的值，這對(duì)考生觀察角的變換、三角函數(shù)公式結(jié)構(gòu)的變換都44有較高要求．關(guān)注“角”“名”“次”恒等變換sin(1+

sin

2)（2021

年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷·6）若

tan

=

?2

，則=)(sin

+

cos6525265??A．B．C．D．5思路一：tan

；思考角度思路二：化簡(jiǎn)目標(biāo)式朝條件轉(zhuǎn)化.角函數(shù)名次數(shù)關(guān)注“角”“名”“次”恒等變換sin(122

sin

cossin

cossin(sinsin2sin2

2

2sin【答案】C關(guān)注“角”“名”“次”恒等變換tan2（2019

年江蘇卷·13）已知，則sin的值是_____.tanπ思路一：條件4tan

1antantan23由，tan13解得tan

2，或tan.關(guān)注“角”“名”“次”恒等變換ππsin44222=2，222當(dāng)tan時(shí)，上式=；212當(dāng)tan時(shí)，上式=.32綜上，sin關(guān)注“角”“名”“次”恒等變換ππ

ππ邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算思路二：2

，44

44πsin

cos(tanπ23π

，即sin

cos(πtan(4π3444π又sin(4π242π43

210π解得：sin(π4π13π42所以sin(2.4410關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換例

3

（2022

年新高考Ⅱ卷·18）

記△ABC

的三個(gè)內(nèi)角分別為

A，B，C，其對(duì)邊分別為

a，b，c

，

分

別

以

a

，

b

，

c

為

邊

長(zhǎng)

的

三

個(gè)

正

三

角

形

的

面

積

依

次

為

S

,S

,S

，

已

知12331S

?

S

+

S

=

,

sin

B

=

．12323（1）求△ABC

的面積；2（2）若sin

AsinC

=，求

b．3關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換【目標(biāo)解析】知識(shí)層面：

正、余弦定理及三角形的面積公式.方法層面：

整體代換思想.素養(yǎng)層面：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換【解法分析】3?

+

=（1）因?yàn)橐?/p>

a，b，c

為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為

S

,S

,S

，且

S

S

S，12312323333a2+

c2?

b22+

c2?

b2=

2

，由余弦定理得

cosB

=所以a222，即

a，整44422ac213

1

2

213

2=cos

B

0=，則

cos

B

1=

?=，ac

==理得

accos

B

1，則，又

sin

B，

33cos

B412=acsin

B=則

S；28整體結(jié)構(gòu)特征關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換bac==（2）由正弦定理得：，sin

B

sin

A

sinC3

2b2acac942====則則，2sin

B

sin

A

sinC

sin

AsinC43b

3=312b

=

sin

B

=，．sin

B

22關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換【試題分析】平時(shí)教學(xué)對(duì)求出三角形中獨(dú)立的邊、角，學(xué)生訓(xùn)練較多，難度不大，但如問(wèn)題（1）中，求面積不是一定需要求出單獨(dú)的基本量，知道

ac

整體的值也可，這就弱化了條件，也就需要學(xué)生在分析時(shí)，結(jié)合已知的公式尋找這一結(jié)構(gòu)特質(zhì)，對(duì)學(xué)生的思維有一定要求．同樣問(wèn)題（2）中的條件結(jié)構(gòu)可聯(lián)想到正弦定理，但也需要整體考慮．在解三角形中，需要三個(gè)獨(dú)立條件，如果缺失條件，往往需要運(yùn)用整體結(jié)構(gòu)求值．可見(jiàn)，解三角形中，除了對(duì)公式熟悉以外，對(duì)未知量的個(gè)數(shù)、方程的個(gè)數(shù)的觀察，尤為重要，這決定了是求出獨(dú)立的邊、角，還是求出整體的值；是可求值，還是需運(yùn)用函數(shù)分析．今年全國(guó)乙卷理科第

17

題，也是運(yùn)用了這樣的思路，整體求出邊b

c

的和，從而求出三角形的周長(zhǎng)，而

2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第19題也體現(xiàn)了這樣的思維，難度更大．關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換（2022

年全國(guó)乙卷理·13）

記的內(nèi)角A,B,C

的對(duì)邊分別為a,b,c，已知sinCsin(A．（1）證明：2a222；2531（2）若a，求的周長(zhǎng)．思路一：證明：因?yàn)閟inCsin

A，所以sinCsin

Acos

B

sinCsin

Bcos

A

sin

BsinC

cos

A

sin

Bsin

AcosC，a222222222所以ac，2ac2bc2aba222222即，22所以2a2b2c2；關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換思路二：證明：因?yàn)閟inCsin

A所以sin(A，，所以sin所以sin22AcosA(12B

cos2Asin2in222C

cos2A

cos2Csin

A，2222222A，化簡(jiǎn)得：sin所以2a2A22，222；優(yōu)美的對(duì)稱結(jié)構(gòu)關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換2522（2）解：因?yàn)閍，由（1）得b

c

50，3150312由余弦定理可得a222，所以bc，A，

5031222故

b，所以b

c

9，所以的周長(zhǎng)為a

b

c

14

.整體結(jié)構(gòu)特征關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換（

2022

年

全

國(guó)

甲

卷

文

、

理

·16

）

已

知

△

ABC

中

，

點(diǎn)

D

在

邊

BC

上

，AC2．當(dāng)取得最小值時(shí)，BD

___AB思路：設(shè)CD

2BD

2m

0，則在△ABD

中，AB2BD2AD22BD

ADcos

ADB

m24

2m，在△ACD

中，AC2222，ACAB224m2123所以，當(dāng)且僅當(dāng)m即23mm(mmACm時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)

取最小值時(shí)，m．AB函數(shù)關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換【類(lèi)題賞析】高考中的“三角函數(shù)與解三角形”的解答題多以三角形作為命題背景，重點(diǎn)考查以正弦定理、余弦定理為工具計(jì)算求解三角形的邊角關(guān)系，突出的核心素養(yǎng)的考查是運(yùn)算能力，基本歷年皆有．但“數(shù)學(xué)運(yùn)算”并不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，主要是對(duì)運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算法則、運(yùn)算思路、運(yùn)算方法的理解、掌握、探究和選擇，如2019年課標(biāo)Ⅰ卷·理17，主要考查通過(guò)化歸轉(zhuǎn)化思想對(duì)正弦定理、余弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)公式的靈活應(yīng)用，也體現(xiàn)了新課標(biāo)對(duì)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的考查方向：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果．關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換(2019

年新課標(biāo)Ⅰ卷理·17)△ABC

的內(nèi)角

A，B，C

的對(duì)邊分別為

a，b，c，設(shè)(sin

B22．（1）求

A；（2）若

2a，求

sinC．關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換解：（1）由已知得sin2B22，故由正弦定理得b222．，b222由余弦定理得cos

A（2）由（1）知B．因?yàn)?，所以

A

．2bc2，由題設(shè)及正弦定理得

2

sin

A6

32

2122即，可得cos

C．22由于0sinC，所以sin

C，故26．4關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換【難點(diǎn)】正弦定理：解的個(gè)數(shù)（形）邊角混合關(guān)系圖形分析解三角形知識(shí)角度分析關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換蘇教版教材必修二：P94練習(xí)T5回歸教材蘇教版教材必修二：P94

習(xí)題11.2T5蘇教版教材必修二：P94習(xí)題11.2

T6蘇教版教材必修二：P104復(fù)習(xí)題T6關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換（2014

年新課標(biāo)Ⅰ卷·16）已知

a，b，c

分別為△ABC

三個(gè)內(nèi)角

A，B，C

的對(duì)邊，a＝2且(2＋b)·(sin

A－sinB)＝(c－b)sin

C，則△ABC

面積的最大值為_(kāi)_______．思路：根據(jù)正弦定理和

a＝2

可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，故得

b

＋

－

＝

，根據(jù)2

c2

a2

bcb2＋c2－a2

1π3余弦定理得

cos

A＝＝

，所以

A＝

.根據(jù)

b

＋

－

＝

及基本不等式得2

c2

a2

bc2bc21232bc≥2bc－a2，即

bc≤4，所以△ABC

面積的最大值為

×4×

＝

3.關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析例

4

（2022

年新高考Ⅰ卷·18）記△ABC

的內(nèi)角

A，B，C

的對(duì)邊分別為

a，b，c，已知cos

A1+

sin

A

1+

cos

2Bsin

2B=．2π=（1）若C，求

B；3a2+

b2（2）求的最小值．c2關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【目標(biāo)解析】知識(shí)層面：

三角恒等變換、正弦定理．方法層面：方程思想、函數(shù)思想．素養(yǎng)層面：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析例

4

（2022

年新高考Ⅰ卷·18）記△ABC

的內(nèi)角

A，B，C

的對(duì)邊分別為

a，b，c，已知cos

A1+

sin

A

1+

cos

2Bsin

2B=．2π=（1）若C，求

B；3a2+

b2（2）求的最小值．c2關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析【解法分析】cos

A1+

sin

A

1+

cos

2Bsin

2B2

sin

BcosB

sin

B（1）因?yàn)?==，即2

cos2Bcos

B1ππsin

B

cos

AcosB

sin

Asin

B

cos

A

B=?=

(

+

)=

?cosC=，而0

B

B

=，所以；226ππ=

?cosC

0

，所以

C

π,0

B

（2）由（1）知，

sin

B，而22π

2

ππsin

B

=

?cosC

=

sin

C

?，所以

C=

+A

=

?

2B．所以B

，即有22a2+

b2sin2A

+

sinsin2B

cos22B

+1?

coscos2B==c22C2B(2

cos2B

?1

+1?

cos)2B22==

4

cos2B

+?

5

2

8

?

5

=

4

2?

5．cos2Bcos

B22a2+b2當(dāng)且僅當(dāng)cos2B

=時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為

4

2

?

5

．2c2關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析對(duì)獲得角

A、B

的關(guān)系還可以有這樣的方法：AA2AAAAcos2cos

A22AAAAAA21sin22222222AAAcoscosπ

A2AAA4

2222sin

2B1+

cos

2B2

sin

Bcos

B

sin

Bπ

A===tan

B

，所以tan(

?

)

=

tan

B又．2

cos2Bcos

B4

2ππ

A?

ππ

A?

=

B．因?yàn)橛梢阎茫篶os

A

，所以

A，所以(0,

)

，而

B

(0,π)

，所

以24

244

2關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析【試題分析】考查變換方向：攔路虎角度一：角的變換．條件等式的左邊是角

A，而右邊是

B

的二倍角，從這個(gè)角度想到將右邊的二倍角展開(kāi)，而為使分母簡(jiǎn)單，可選擇cos

2B而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．2這個(gè)公式，從角度二：次數(shù)的變換．等式的右邊是角

B

的二倍角，可以理解為是角

B

的三角函數(shù)的二次式，運(yùn)用二倍角公式可以升次降角，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，而將右邊等式化簡(jiǎn)后，分式化為整式，也是從三角函數(shù)次數(shù)進(jìn)行考慮的．從這個(gè)角度來(lái)看，等式的左邊也可以A將角

A

看成是

的二倍角進(jìn)行展開(kāi)．2關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析sin

B角度三：函數(shù)名的變換．在問(wèn)題（1）中，等式右邊化為后，也可以化為tan

B．如cos

B果走這個(gè)途徑，就需要將左邊等式化為正切．角度四：“1”的變換．在三角函數(shù)中，經(jīng)常使用將常數(shù)“1”轉(zhuǎn)化為“sin22

”、π“tan

”

．4關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析π

A=

?cosC

或

tan(

?

)

=

tan

B條件轉(zhuǎn)化為

sin

B后，也是運(yùn)用方程思想得到角之間的等4

2=

?cosC

，這是不同名的三角函數(shù)且還有符號(hào)問(wèn)題，則將sin

B量關(guān)系．考慮關(guān)系

sin

B轉(zhuǎn)π，則得

cos(π化為．而忽略角的范圍是學(xué)生解三角方程最易錯(cuò)的地22ππ方．因?yàn)?/p>

B,C，所以sin

B，則

B，C，且22π

πππ

AB，所以

C．考慮

tan(

?

)

=

tan

B

則更簡(jiǎn)單，因?yàn)榈仁絻蛇吺峭?

224

2數(shù)，只要分析角的范圍即可．這類(lèi)變換題型在各版本教材中都有所體現(xiàn)，如在人教版教材《必修一》P226

5.5.2

練習(xí)

1

即為“求證：

tan2

1sin．”

在蘇教版教材《必1sin修二》P67

習(xí)題

10.2

題

6也有等式“1π”的證明．回歸教材，吃透教材，cos

2x4才是平時(shí)教學(xué)的要點(diǎn)．關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析a2+

b2問(wèn)題（2）中，“求的最小值”就需要運(yùn)用函數(shù)思想．運(yùn)用函數(shù)思想解題時(shí)，首c2先選擇自變量，減少問(wèn)題中變量的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為自變量的表示．如題中，就需將邊

a，b，c，轉(zhuǎn)化為角

A，B，C

的正弦，再將角

A、C

轉(zhuǎn)化為

B

表示，使所求式轉(zhuǎn)化為角

B

的函數(shù)．其次和三角函數(shù)相關(guān)的函數(shù)，主要有兩類(lèi)：一類(lèi)是三角函數(shù)的齊次函數(shù)，轉(zhuǎn)化目標(biāo)為y

的形式；另一類(lèi)是三角函數(shù)的非齊次形式，主要將三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)后，換元解決，問(wèn)題（2）即是第二類(lèi)的情況，將

cosB

換元后轉(zhuǎn)化為了分式型函數(shù)．

綜上分析，沒(méi)有解題的全局觀，是做不好此類(lèi)綜合題的．關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析【類(lèi)題賞析】三角函數(shù)的綜合題，是將三角函數(shù)中三大板塊知識(shí)綜合考查，滲透方程與函數(shù)思想、整體思想等數(shù)學(xué)思想方法的考查，對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的要求較高．如

2019

年A課標(biāo)Ⅲ卷理·18

中，對(duì)條件sin的理解成為解題關(guān)鍵，運(yùn)用整體代換思想解題是本題的2突破路徑．關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析（2019

年全國(guó)新課標(biāo)Ⅲ卷·18）△ABC

的內(nèi)角

A、B、C

的對(duì)邊分別為

a、b、c，已知Aasin．2（1）求

B；（2）若△ABC

為銳角三角形，且

c=1，求△ABC

面積的取值范圍．關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析A思路：（1）由題設(shè)及正弦定理得sin

AsinA．2A因?yàn)閟inA

0，所以sin．2ABBBBos

．2由

A

B

C

180

，可得sin，故cos2222BB

1，故sin

2

2，因此B=60°．因?yàn)閏os2關(guān)

注

三

角

綜

合

性

問(wèn)

題

的

全

局

分

析3（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積S△ABC．4sin

120sinCcsin

AsinC3

1由正弦定理得a．2tanC

2由于△ABC

為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由（1）知A+C=120°，所以123330°<C<90°，故，從而．△82因此，△ABC面積的取值范圍是．關(guān)

注

多

種

角

度

運(yùn)

用

三

角

函

數(shù)

解

題例

5

（2022

年新高考Ⅰ卷·12）【多選】已知函數(shù)

f

(x)

及其導(dǎo)函數(shù)

f

'(x)

的定義域均為

R

，3記

g(x)，若

f

(，

g(2均為偶函數(shù)，則（）．212A．

f

(0)B．

g(C．

f

(D．

g(關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“整體代換”【目標(biāo)解析】知識(shí)層面：三角函數(shù)的周期性.方法層面：特殊化思想.素養(yǎng)層面：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．關(guān)

注

多

種

角

度

運(yùn)

用

三

角

函

數(shù)

解

題例

5

（2022

年新高考Ⅰ卷·12）【多選】已知函數(shù)

f

(x)

及其導(dǎo)函數(shù)

f

'(x)

的定義域均為

R

，3記

g(x)，若

f

(，

g(2均為偶函數(shù)，則（）．212A．

f

(0)B．

g(C．

f

(D．

g(【答案】BC關(guān)

注

多

種

角

度

運(yùn)

用

三

角

函

數(shù)

解

題【解法分析】在高中教材中，具有周期性的函數(shù)要么以三角函數(shù)形式給出，要么以定義或定義的變形給出，那么我們也可以利用三角函數(shù)具有周期性這一重要特征，構(gòu)造特殊函數(shù)模型來(lái)幫助解決有關(guān)問(wèn)題．由這種特殊化思想得到如下解法：3因?yàn)?/p>

f

(為偶函數(shù)，且此題是一選擇題，故可用特殊函數(shù)模型來(lái)幫助解題．設(shè)23323

t3

tf

(，

令

t，

則

x，

所

以

f

(t)，

即則24

24

2x

3x

3f

(x)，所以f

'(x)，2

422

4(xx

1g(x

，又因?yàn)?/p>

g(2均為偶函數(shù)，所以取22422

41π32，解得：f

(x)，g(x)x為符．所以42合題意的一個(gè)函數(shù)，通過(guò)這兩個(gè)函數(shù)則可判斷出

BC

正確．關(guān)

注

多

種

角

度

運(yùn)

用

三

角

函

數(shù)

解

題【試題分析】3因?yàn)?/p>

f

(為偶函數(shù)，從選擇項(xiàng)來(lái)猜測(cè)，此題函數(shù)還應(yīng)具備周期性，所以不妨利用具備2周期性的函數(shù)模型——三角函數(shù)模型來(lái)解題，這也是考查對(duì)三角函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．這種方法將抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)，降低了難度，對(duì)一些學(xué)生來(lái)說(shuō)，是較為實(shí)用的解法．但也要注意，如設(shè)偶函數(shù)

f

(3時(shí)，要注意一般性，該函數(shù)模型可不過(guò)原點(diǎn)，如果設(shè)成特殊過(guò)原2點(diǎn)的偶函數(shù)，則會(huì)誤判答案

A．將抽象函數(shù)模型化的方法在解決單選題、多選題及填空題都很有效，而這類(lèi)問(wèn)題也往往在小題考查．關(guān)

注

多

種

角

度

運(yùn)

用

三

角

函

數(shù)

解

題【類(lèi)題賞析】三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，是聯(lián)系幾何和代數(shù)的橋梁，與數(shù)學(xué)的其他知識(shí)相互滲透，緊密聯(lián)系，數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題都可以利用三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)來(lái)解決，所以三角函數(shù)是解題的一種重要工具．今年北京卷的第10題，同樣體現(xiàn)了三角函數(shù)作為解題工具的優(yōu)越性，它主要運(yùn)用了三角代換的方法解決了平面向量的問(wèn)題．同樣，在解析幾何、立體幾何的問(wèn)題中，也常選取角為變量，利用三角函數(shù)，將一些非三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，以便解決相關(guān)問(wèn)題．關(guān)

注

多

種

角

度

運(yùn)

用

三

角

函

數(shù)

解

題(2021

年新課標(biāo)Ⅱ卷·8)已知函數(shù)

f

x

的定義域?yàn)?/p>

R，

f

x為偶函數(shù)，

f

2x

為奇函數(shù)，則（）A.

fB.

fC.

f

2D.

f

4【思路分析】設(shè)

f

(xf

(x)奇函數(shù)一組解f

(2x

【答案】B關(guān)

注

多

種

角

度

運(yùn)

用

三

角

函

數(shù)

解

題（2022

年北京卷·10）

在△ABC

中，

AC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC

1，則PA的取值范圍是（

）A．[

B．[．P

為△ABC

所在平面C．[D．[【答案】D關(guān)

注

多

種

角

度

運(yùn)

用

三

角

函

數(shù)

解

題【評(píng)析】此題是向量題，首先圖形的特殊性，依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則(

)

(

)

(

)=PC1C

0,0

，

A

3,0

，

B

0,4

．因?yàn)?/p>

PC

1，所以

在以

為圓心，

為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在(

)

刻畫(huà)圓上的點(diǎn)的時(shí)候，三角參數(shù)是一個(gè)很好的選擇．設(shè)

P

cos

,

sin

，0,

2π

，所以=

(

?

?

)，

PB

=

(?cos,4

?

sin

)，所以PA

3

cos

,

sin=

(?

)(

?

)+

(

?

)

(?

)

=

coscos3

cos4

sinsin2

?

3

cos

?

4

sin

+

sin

2PA

PB341

5

sin=

?

(

+)?1

sin(

+)1，=1?

3

cos

?

4

sin，其中sin

=

，cos

=

，因?yàn)?5?

?

(

+)所以

4

1

5

sin

?

6

，即

PA

PB4,6

；故選：D．3典型模擬題行業(yè)PPT模板/hangye/典

型

模

擬

題

1．【多選題】右圖是函數(shù)

f

(x)）．的部分圖象，則下列說(shuō)法正確的有（5πA．

f

(x)6B．

f

(x)在[0,

2π]有且僅有

2

個(gè)極小值點(diǎn)C．

f

(x)在[0,

2π]有且僅有

4

個(gè)零點(diǎn)D．

f

(1)典

型

模

擬

題【答案】BCD【解題過(guò)程】依圖形可知，T

2π

π

π

，所以T，則，又

22π，k

Z，2

3

6

234π4π取

k

，則對(duì)于

A，當(dāng)

x，所以．f

(x)335π4π5π

4π

π6

3

34π時(shí)，

2x，取不到

f

(x)

的最大值，故

A

錯(cuò)；4π

8π634π

8π方法（一）：對(duì)于

B，C，x∴

2x]，觀察函數(shù)

y在區(qū)間[33

33

3的圖象，可知，函數(shù)有

2

個(gè)極小值點(diǎn)，4

個(gè)零點(diǎn)，故

B，C正確；典

型

模

擬

題4π

3π方法（二）：對(duì)于

B，當(dāng)

f

(x)

在最低點(diǎn)時(shí)取得極小值，所以

2x，k

Z，解得：3

217π5π

17πx，

k

Z，當(dāng)

k時(shí)，

x，所以

f

(x)

在[0,

2π]

有且僅有

2

個(gè)極小值1212

12點(diǎn)，故

B

正確；4π2π

kππ

2π

7π

5π對(duì)于

C，2x，k

Z，解得：x，k

Z，當(dāng)

k時(shí)，x,

，6

3

6

333

2所以

f

(x)

在[0,

2π]

有且僅有

4

個(gè)零點(diǎn)，故

C

正確；5π

1對(duì)于

D，因?yàn)椋瑒t

f

(1)，故

D

正確．122故選：BCD．典

型

模

擬

題π3π2．已知cos(，則sin(

2的值是（）．D．6362A．912C．379B．3【答案】B【解答過(guò)程】因?yàn)棣?1123π3cos(，所以62223

3ππ

πππ31sin(

22

2．63

23333典

型

模

擬

題π3．在①a(sin

A，②2bcos(C，33a③，三個(gè)條件中選一個(gè)填在下面試題的橫線上，并加以解析．

在bcosC△ABC

中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C

所對(duì)的邊，且___________．（1）求角

B

的大??；（2）若△ABC

是鈍角三角形，且b

3，求a

c的取值范圍．典

型

模

擬

題【解答過(guò)程】（1）若選條件①，根據(jù)正弦定理得

a(a，222，a222π由余弦定理可得，cos

B，又

B，則

B；2ac2313若選條件②，由正弦定理得，

2

sin

B(

cosC，則22sin

BcosC，化簡(jiǎn)得

3

sin

BsinC

is

B

nC

，可得

Bπ12πC，則