醫(yī)用高等數(shù)學(xué)定積分課件

一、不定積分的概念二、不定積分的性質(zhì)基本積分公式三、換元積分法四、分部積分法五、有理函數(shù)的積分

不定積分一、不定積分的概念二、不定積分的性質(zhì)基本積分公式三、換元積1一、不定積分的概念

定義1

若在某區(qū)間上,則稱為在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)．例如

:

,,.,,.一、不定積分的概念定義1若在某區(qū)間上2問題：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？(3)原函數(shù)的全體如何表示?分析：，.（2）若和都是的原函數(shù);則（為任意常數(shù)）結(jié)論：

（1）不唯一;（3）為原函數(shù)的全體;.問題：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么3

定義

若是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),則的原函數(shù)的全體稱為的不定積分.

記為.任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量由此可知,求不定積分只需求出一個(gè)原函數(shù),再加上任意常數(shù).定義若是函數(shù)的4例1

求.解.例2

求.解.例1求.解.例2求.解.5不定積分的幾何意義:它們在點(diǎn)處有相同的斜率，即這些切線互相平行．故為在點(diǎn)x處切線斜率為f(x)的一族曲線。是積分曲線上、下平移所得到一族積分曲線，稱為積分曲線族．不定積分的幾何意義:它們在點(diǎn)處有相同的斜率，即這6二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式性質(zhì)1.性質(zhì)2.二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式性質(zhì)1.性質(zhì)2.7基本積分公式

；；(4)；(3)；基本積分公式；；(4)；(3)；8；；；；.；；；；.9例3

求解.例4求解.例3求解.例4求解.10例5求解.例6

求解

.例5求解.例6求解.11例7

求解

.例7求解.12三、換元積分法

第一換元積分法(湊微分法)定理則有換元公式三、換元積分法第一換元積分法(湊微分法)定理則有換元公式13例8

求.解.例8求.解.14.解.解.例9

求.例10

求..解.解.例9求.例10求.15對換元積分比較熟練以后,不必寫出中間變量.例11

求.解Cax++=23)(32.例12

求.解.對換元積分比較熟練以后,不必寫出中間變量.例11求.解Ca16例13

求.解Cxxxd+==ò2)(ln21lnln.例13求.解Cxxxd+==ò2)(ln21lnln.17例14

求解.例14求解.18例15

求解.例15求解.19另一方法:解.另一方法:解.20例16

求解例16求解21另一方法:另一方法:22解.例17

求.例18

求.解.解.例17求.例18求.解.232.第二換元積分法定理2.第二換元積分法定理24解令則從而例19

求（根式代換）解令則從而例19求（根式代換）25例20

求（根式代換）解

令則從而例20求（根式代換）解令則從而26

若被積函數(shù)中含有時(shí),可采用三角替換的方法化去根式,這種方法稱為三角代換.三角代換常有下列規(guī)律：可令可令可令若被積函數(shù)中含有27例21

求解設(shè)..例21求解設(shè)..28例22

求解令例22求解令29解

令例23

求.于是,解令例23求.于是,30綜上所述得：綜上所述得：31四、分部積分法

證明由導(dǎo)數(shù)公式得對上兩邊求不定積分得定理

分部積分公式所以四、分部積分法證明由導(dǎo)數(shù)公式32解另一思路：例25

求更復(fù)雜了!解另一思路：例25求更復(fù)雜了!33解例26

求解例26求34例27

求解解例28

求例27求解解例28求35例30

求解解例29

求例30求解解例29求36例31

求解例31求解37例32

求解例32求解38例33

求解例33求解39解例3-34

求解例3-34求40解例35

求解例35求41解例36

求故解例36求故42例37

求解設(shè),則例37求解設(shè),則43五、有理函數(shù)的積分其中、都是非負(fù)整數(shù)；及都是實(shí)數(shù),并且，.有理函數(shù)指兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù):假定分子與分母之間沒有公因式，則稱有理函數(shù)為真分式；稱有理函數(shù)為假分式.五、有理函數(shù)的積分其中、都是非負(fù)整數(shù)；44注意：例：(1)利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.(2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以為化為幾個(gè)最簡分式之和.最簡分式是下面兩種形式的分式：其中都是待定的常數(shù)，k為正整數(shù)且滿足條件

注意：例：(1)利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式(45若有理函數(shù)的分母中有因式，則分解式含有下列最簡分式其中為待定常數(shù)。

若有理函數(shù)的分母中有因式，則分解式含有下列最簡分式：(3)有理函數(shù)化為最簡分式之和的一般規(guī)律：其中為待定常數(shù).

若有理函數(shù)的分母中有因式，則分解46為便于求積分必須把真分式化為最簡分式之和,同時(shí)，要把待定的常數(shù)確定,這種方法叫待定系數(shù)法。例38

求解設(shè)下面確定系數(shù)A和Ｂ。方法一：去分母,兩端同乘，得比較兩端同次冪的系數(shù),得為便于求積分必須把真分式化為最簡分式之和,同時(shí)，要把待47解方程組得:方法二：在恒等式中，令得;令得.于是故解方程組得:方法二：在恒等式48例39

求解設(shè)兩邊同乘得例39求解設(shè)兩邊同乘49解設(shè)例40

求故兩邊同乘得解設(shè)例40求故兩邊同乘50故故51解例41

求

分析:被積函數(shù)的分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解,可用湊微分法求解.解例41求分析:被積函數(shù)的52練習(xí)：練習(xí)：53

1．原函數(shù)的概念不定積分的概念不定積分的性質(zhì)基本積分公式主要內(nèi)容2．兩類換元法3．分部積分法（1）若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）的乘積,設(shè)冪函數(shù)為.(2)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)（或反三角函數(shù)）的乘積，設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.(3)若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時(shí),二者皆可作為,但作為的函數(shù)的類型不變.1．原函數(shù)的概念不定積分的概念不定積分的性質(zhì)基本54一、不定積分的概念二、不定積分的性質(zhì)基本積分公式三、換元積分法四、分部積分法五、有理函數(shù)的積分

不定積分一、不定積分的概念二、不定積分的性質(zhì)基本積分公式三、換元積55一、不定積分的概念

定義1

若在某區(qū)間上,則稱為在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)．例如

:

,,.,,.一、不定積分的概念定義1若在某區(qū)間上56問題：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？(3)原函數(shù)的全體如何表示?分析：，.（2）若和都是的原函數(shù);則（為任意常數(shù)）結(jié)論：

（1）不唯一;（3）為原函數(shù)的全體;.問題：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么57

定義

若是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),則的原函數(shù)的全體稱為的不定積分.

記為.任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量由此可知,求不定積分只需求出一個(gè)原函數(shù),再加上任意常數(shù).定義若是函數(shù)的58例1

求.解.例2

求.解.例1求.解.例2求.解.59不定積分的幾何意義:它們在點(diǎn)處有相同的斜率，即這些切線互相平行．故為在點(diǎn)x處切線斜率為f(x)的一族曲線。是積分曲線上、下平移所得到一族積分曲線，稱為積分曲線族．不定積分的幾何意義:它們在點(diǎn)處有相同的斜率，即這60二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式性質(zhì)1.性質(zhì)2.二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式性質(zhì)1.性質(zhì)2.61基本積分公式

；；(4)；(3)；基本積分公式；；(4)；(3)；62；；；；.；；；；.63例3

求解.例4求解.例3求解.例4求解.64例5求解.例6

求解

.例5求解.例6求解.65例7

求解

.例7求解.66三、換元積分法

第一換元積分法(湊微分法)定理則有換元公式三、換元積分法第一換元積分法(湊微分法)定理則有換元公式67例8

求.解.例8求.解.68.解.解.例9

求.例10

求..解.解.例9求.例10求.69對換元積分比較熟練以后,不必寫出中間變量.例11

求.解Cax++=23)(32.例12

求.解.對換元積分比較熟練以后,不必寫出中間變量.例11求.解Ca70例13

求.解Cxxxd+==ò2)(ln21lnln.例13求.解Cxxxd+==ò2)(ln21lnln.71例14

求解.例14求解.72例15

求解.例15求解.73另一方法:解.另一方法:解.74例16

求解例16求解75另一方法:另一方法:76解.例17

求.例18

求.解.解.例17求.例18求.解.772.第二換元積分法定理2.第二換元積分法定理78解令則從而例19

求（根式代換）解令則從而例19求（根式代換）79例20

求（根式代換）解

令則從而例20求（根式代換）解令則從而80

若被積函數(shù)中含有時(shí),可采用三角替換的方法化去根式,這種方法稱為三角代換.三角代換常有下列規(guī)律：可令可令可令若被積函數(shù)中含有81例21

求解設(shè)..例21求解設(shè)..82例22

求解令例22求解令83解

令例23

求.于是,解令例23求.于是,84綜上所述得：綜上所述得：85四、分部積分法

證明由導(dǎo)數(shù)公式得對上兩邊求不定積分得定理

分部積分公式所以四、分部積分法證明由導(dǎo)數(shù)公式86解另一思路：例25

求更復(fù)雜了!解另一思路：例25求更復(fù)雜了!87解例26

求解例26求88例27

求解解例28

求例27求解解例28求89例30

求解解例29

求例30求解解例29求90例31

求解例31求解91例32

求解例32求解92例33

求解例33求解93解例3-34

求解例3-34求94解例35

求解例35求95解例36

求故解例36求故96例37

求解設(shè),則例37求解設(shè),則97五、有理函數(shù)的積分其中、都是非負(fù)整數(shù)；及都是實(shí)數(shù),并且，.有理函數(shù)指兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù):假定分子與分母之間沒有公因式，則稱有理函數(shù)為真分式；稱有理函數(shù)為假分式.五、有理函數(shù)的積分其中、都是非負(fù)整數(shù)；98注意：例：(1)利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.(2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以為化為幾個(gè)最簡分式之和.最簡分式是下面兩種形式的分式：其中都是待定的常數(shù)，k為正整數(shù)且滿足條件

注意：例：(1)利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式(99若有理函數(shù)的分母中有因式，則分解式含有下列最簡分式其中為待定常數(shù)。

若有理函數(shù)的分母中有因式，則分解式含有下列最簡分式：(3)有理函數(shù)化為最簡分式之和的一般規(guī)律：其中為待定常數(shù).

若有理函數(shù)的分母中有因式，則分解100為便于求積分必須把真分式化為最簡分式之和,同時(shí)，要把待定的常數(shù)確定,這種方法叫待定系數(shù)法。例38

求解設(shè)下面確定系數(shù)A和Ｂ。方法一：去分母,兩端同乘