北師大版九年級上第二章一元二次方程導(dǎo)學(xué)案

第二元二次學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、1、一元二次方的概念1、一元二次方的概念新課導(dǎo)

一般形式：ax2＋bx＋c=0（a≠0）【問題探究】 21知識點 一元二次 的概 未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2．這樣的方才是一元二次方不滿足其中任何一個條件的方都不是一元二次方知識點 一元二次 的一般形一元二次方的一般形式是ax2bxc0（a≠0．它的特征是：等式左邊是一個關(guān)次項，b叫做一次項系數(shù);c

ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx拓展對于一元二次方的一般形式應(yīng)注意以下四點“a≠0”是一元二次方一般形式的一個重要組成部分，因為方ax2＋bx＋c＝0只有當(dāng)“a≠0時，才叫做一元二次方當(dāng)a＝0，b≠0時，它是一元一次方反之，如果明確方ax2＋b＋c＝0是一元二次方那么就隱含了a≠0這個條件．任何一個一元二次方規(guī)律方法小結(jié)類比思想：學(xué)習(xí)本節(jié)知識，可類比一元一次方的概念和一般一元一次方一元二次方知識點 估計一元二次 解的取值范列表，利用未知數(shù)的取值分別計算方ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中止．拓展在估計一元二次方解的取值范圍時，當(dāng)ax2＋bx＋c（a≠0）的值由正變負(fù)或規(guī)律·方法判斷方是否為一元二次方的方法有兩種根據(jù)定義判定．將方進行去分母、去括號、移項、合并同類項等變形后，如果能同時滿足一元二次方定義所包含的三個條件：①是整式方②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．那么這個方就是一元二次方否則，這個方就不是一元二次ax2＋bx＋c＝0（a≠0否則，這個方課堂檢

3x3

2x1 ④（ｍ2＋3）x2＋3x－2＝0；⑤x2—2x＋1＝0；⑥（x＋1（x－1）＝x（2x＋1x1）＝(2x＋1（ 其中一定是關(guān)于x的一元二次方的 （只填序號2、關(guān)于x的一元二次方a－1）x2＋x＋a2－1＝0的一個根是x＝0，則a的值為（ C．1或 D．23 ）xm21＋2（m一1）x3（1）m為何值時，原 是一元二次（2）m為何值時，原 是一元一次5、你家的窗戶是什么形狀這個長方形的面積 你發(fā)現(xiàn)了什么體驗中1、已知x＝2是一元二次方x2＋mx＋2＝0的一個解，則m的值是() D.0或32、某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個，設(shè)該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方是 學(xué)檢測及體驗中考答案1、分析本題考查一元二次方的定義及一般形式．可根據(jù)一元二次方的定義或一形式來分析關(guān)于x的方即方中只有x是未知數(shù)，而其他字母都看成已知數(shù)．①不一定是一元二次方因為當(dāng)a＝0時，它不是一元二次方②沒有未知數(shù)x，不是關(guān)于x的一元二次方③中x的最高次數(shù)為3，不是一元二次方④中m2＋3>0，所以④為一元二次方⑤分母中有未知數(shù)，方不是整式方故不是一元二次方⑥化成一般形式為x2＋x＋1＝0，是一元二次方⑦化成一般形式為5x＋4＝0，不是一元二次方故填－【解題策略】本題考查了一元二次方的根的意義及定義中“a≠0”的條件3、分析本題雖然沒要求把原方化為一般形式，但由于二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項都是在一般形式下定義的，所以為了求出各項系數(shù)，必須先把原方化為解：將方m2－2m＋m（x2＋1）＝x化為一般形式，得mx2－x＋m因為已知原方是一元二次方所以題中存在隱含條件m≠0．此方的二次項系數(shù)為ｍ，一次項系數(shù)為－1，常數(shù)項為 3（ 33是一元一次方①m＋ ＝0，且m－1≠0；②m2－1＝1，且m＋3＋2（m－1）≠0；3③m2－l＝03 32

m＝3－1所以當(dāng)m＝3時，原方是一元二次方若使原方為一元一次方則應(yīng)分以下幾種情況進 ①m

33m1333②3 2(m1)m21③2(m1)

222所以當(dāng)m＝－3或 或－l時，原方是一元一次方2【解題策略】關(guān)于x的方是不是一元二次方或一元一次方的問題，關(guān)鍵要（1）－x2＋4x體驗中50（1＋x份增長x，為50（1＋x）2，∴第二季度共生產(chǎn)零件50＋50（1＋x）＋50（1＋x）2＝182．故B．用配方法解一元二次方學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、知識概覽一元二次方的解 配方法：將一元二次方配成（x＋a）2＝b的形新課導(dǎo)1

818

8

精法．直接開平方法的理論依據(jù)是平方根的定義．直接開平方法適用于解形如(xa)2bb 根據(jù)平方根的定義可知，x＋a是b的平方根當(dāng)b≥0時，x＋a＝± 即x＝—a± ；當(dāng)b＜0時，方?jīng)]有實數(shù)根．bb拓展方x＋a）2＝b，當(dāng)b＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b＝0時，有兩個b等的實數(shù)根．從而可知，若a＝時，有一根為0，另一根為－2a，千萬0這個根漏掉．在解決實際問題時，要考慮使實際問題有意b義．2解一元二次方時，先把方的常數(shù)到方的右邊，再把它的左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式的形式，即將方化為（x＋a）2＝b的形式．如果右邊是一個非負(fù)常數(shù)，這樣就可以應(yīng)用直接開平方的方法求解．這種解一元二次方的方法就是配方法． 到方的一邊，使方的一邊為二次項和一次項，另一邊為常 原方無實根課堂檢為 C.8或 D.不能確經(jīng)，該商品每降價0.2元，即可多銷售10件，若該商品原來每月可銷售件，那么經(jīng)兩次調(diào)價后，每月可銷售該商品多少件由圖可見，1998～2002年這五年內(nèi)，我國教育經(jīng)費投入呈 趨勢年的教育經(jīng)費平均增長率為多少？（結(jié)果精確到0.01，1.440＝1.200）體驗中1、用配方法解方x2－2x－5＝0時，原方應(yīng)變形為 萬元，則平均每年的增長率 學(xué)1、分析先把方化為(xa)2＝b的形式，再開平方解：方兩邊都除以4，得（x－1）2＝94開平方x－1＝±3x1＝5，x2＝ 規(guī)律·方法用直接開平方法求一元二次方的根，一定要正確運用平方根的性質(zhì)，即2、分析本題考查一元二次方的解法和等腰三角形的性質(zhì)．方x2－6x＋8＝0的兩242是底，42＋4＋4＝102是腰，42＋2＝4，不能構(gòu)成三角形，不存在這種情況．故選B．3、分析0∴x＝2【解題策略】當(dāng)一個方中含有兩個或多個未知數(shù)時，通常用配方法，將其寫成幾個非負(fù)數(shù)的和等于0的形式，再用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題．舍去，x2＝0.1＝1010％． 40 規(guī)律·方法a，xn（n＝2b，則有表達式減少、利率的降低、汽車的折舊等，都是在原來基數(shù)上減少，不能與增加．（2）平均數(shù)為（2949＋3349＋3849＋4638＋5480）÷5＝4053（億元這個方得x1≈0.20，x2≈－2.20（不符合題意，舍去．【解題策略】2002體驗中分析解題策略1時，只需先把常數(shù)移至右邊，然后左右兩邊同時加上一次（1＋x200公式學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、2、有實數(shù)根的條件：b2－4ac≥0，無實數(shù)根的條

bbb22、有實數(shù)根的條件：b2－4ac≥0，無實數(shù)根的條知識概覽

公式法：求根公式

bb2bb2新課導(dǎo)

都要比賽一場，依據(jù)場地和時間等條件，賽計劃安排5天，每天1問題探究這個問題可以轉(zhuǎn)化為方的問題來解決，設(shè)全校有x個隊參賽，那么一個1為一般形式為x2－x－90＝0．

2解析x＝ (1)2

精一元二次方的求根公式的推導(dǎo)．∵a≠0ax2bxc0.x2bxb)2cb)2即(x

b)2

b2,

b2∵a≠0，∴a＞0；∴4a＞0，∴當(dāng)b－4ac≥0時， b2b2

bbb2b2拓展（1）bb2b2b22a

在x＋ ＝ ＝ b2＋， bb2＋ 由求根公式可知，一元二次方的根是由其系數(shù)a，b，c決定的，只要確定了a，b，c的值，就可代入公式求一元二次方 ax2＋bx＋c＝0（a≠0bbb2探究交1、在求根公式的推導(dǎo)中為什么強調(diào)b2－4ac≥0？如果b2－4ac＜0，會怎么樣呢那么b24ac無意義，求根公式不成立，即方無實數(shù)根．因此，通常把b2－4ac叫做一方有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2－4ac＜0時，方?jīng)]有實數(shù)根．之間有怎樣的關(guān)系呢解析由一元二次方的求根公式可知b2 b2

bbb2bb2bb2bb2

2b

bb2 bb2

b2(b2

x

x

1課堂檢

＝—，a

＝這就是一元二次方的根與系數(shù)之間的關(guān)系a2 2

12． 2． 2、不解方判斷下列方的根的情況6（1）3 6

32 32

（3）－2 x2－5x－1＝0的兩根為x1，x2，求1

x2＋bx＋c＝0（a≠0體驗中1、當(dāng)m滿 時，關(guān)于x的 2－4x＋m－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根22、如果一元二次方ax2＋bx＋c＝0（a≠0）滿足a＋b＋c＝0，那么稱這個方為 學(xué)1（3）a，b，c解（1）∵a＝1，b＝2，c＝—332

123∴x1＝—1＋3，x2＝—32將方化為一般形式，得x2－ 22∵a＝1，b＝— 22∴b2－4ac＝（ 2

2 2

2）2－4×1×1 202202∴n＝ 224規(guī)律·方b2－4ac≥0是公式中的一個重要組成部分，當(dāng)b2－4ac＜0時，直接得到原方?jīng)]b2－4ac＝0時，應(yīng)把方x1＝x2＝－

2、分析利用一元二次方求根公式中有根的條件b2－4ac≥0來判斷66（ ，c＝2．66＝（－26）2－4×3×2＝0，所以原方有兩個相等的實數(shù)根原方可變形為32

＋1＝03222

22 222 ）2－4×3×2＝2－83＜0，所以原方?jīng)]有實數(shù)根2原方可變形為2x2＋3x－4＝0，其中b2－4ac＝32－4×2×（－4）＝41＞0，所以原方有兩個不相等的實數(shù)根 方有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b2－4ac＝0時，方有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2－4ac＜0時，方?jīng)]有實數(shù)根．3、解：由一元二次方的根與系數(shù)之間的關(guān)系可得xx55,xx1 ∴1

x1x2x1

5規(guī)律·方法x1，x21

∴m2

1m－m－2＝0

(1)(1)2(1)(1)2解題策略在含有字母系數(shù)的一元二次方中（如前面例題中的字母m，n等，要0（2）5、分析第（1）b2－4ac>0即可．第（２）問是一個開放性問題，寫出的方滿足a，c同號，且b2－4ac≥0即可．所以當(dāng)a,c異號時，該方必有兩個不相等的實數(shù)根．x2—4x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝1．體驗中1、分析若 2、分析若方有兩個相等的實數(shù)根，則△＝b2－4ac＝0①．又a＋b＋c＝0②，①②聯(lián)立，有a＝c．故選A．x2＋bx＋c＝（a≠0當(dāng)b2－4ac＜0，方?jīng)]有實數(shù)根．用分解因?qū)W習(xí)目標(biāo)、重點、新課導(dǎo)

2010年世博會將在舉辦，許多大學(xué)生都希望為世博會奉獻自己的一份力量．現(xiàn)組委會決定對高校世博會進行分批培訓(xùn)，由已合格培訓(xùn)第一輪，再由前面所有合格培訓(xùn)第二輪，以此類推，完成此次培訓(xùn)任務(wù)．某高校學(xué)生已受訓(xùn)合格。成為一名．并由她負(fù)責(zé)培訓(xùn)本校，若兩輪培訓(xùn)后該校共有121人合格，求每輪培訓(xùn)中每個平均培訓(xùn)多少人．【解析】∵x2+2x－120=(x+12)(x－10)，且x2+2x－120=0，∴(xx2=-12(不符合實際．舍去精對于一般形式的一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)來說，若其左端能夠分解因式，得其一般步驟為：(1)將方化為右邊為0的形式；(2)將方的左邊分解成兩個一次因規(guī)律方法小結(jié)(1)一元二次方的解法的選擇順序：先特殊，后一般，即先考慮能否用對形如(x+a)2=b(b≥0)x的方應(yīng)選用直接開平方法．對于右邊是0且左邊易于分解因式的方根；當(dāng)b2－4ac＜0時，方?jīng)]有實數(shù)根．課堂檢 2、已知最簡二次根式x2x與2x8x將方1的解填在表中的空白處 , x1=4, x1=5, 請寫出這列方的第n個方并求出它的解體驗中1、一元二次方x2－2x=0的解 A．x1=0,x2= B．x1=0,x2= C．x1=0，x2= D．x1=0，x2= 2、解方學(xué)1、分析本題主要考查應(yīng)用分解因式法解方解：(1)原方變形為111x+3=03x－45=0x31所以x－1=0或－x－3=0，所以x1=1，x2=－3．原方變形為(x－3)(x+1)－5=0，x2－2x－8=0，所以【解題策略】用分解因式法解一元二次方必須先將方的右邊化成0(如(4)就不能直接求解)，然后將左邊用分解因式的幾種方法(如提公因式法、相乘法、公式法等)分解2、分析若幾個最簡二次根式是同類二次根式，則被開方數(shù)相同．解：∵x2x與2x8是同類二次根式，∴x2－x=x+8，即x2x2x=4

3、解故三角形的周長為12．規(guī)律·方法本題考查一元二次方的解法和三角形的性質(zhì)，根據(jù)實際情況對一元二次4、解 a(6b)66(6得a解方組得b

此方是題中所給方通過觀察表格可知是第4個方第n個方為(2n+4)(x－n－1)－－n－1)，它的解為體驗中1、分析5x2－2x=0x(5x－2)=0x=0x2x1=0，x22 2、分析方 解法(x－3)(5x－3)=0，∴x－3=0∴x1=3，x2=35解法 (18)245∴x 2x1=3，x235

【解題策略】解方時，應(yīng)根據(jù)方的特點，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，缺少一次項或常?shù)項，利用一元二次方解決實際問題學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、知識概覽

求出方的新課導(dǎo)(2)如果按下表列出的長方體底面面積的數(shù)據(jù)變化要求，那么剪去的正方形邊長會發(fā)生什么樣的變化折的長方體的側(cè)面積又會發(fā)生什么樣的變化長方體底面積 x2=9．5不符合題意，舍去，所以剪去的正方形的邊長為0．5cm.長方體底面積 剪去的正方形邊長 2222長方體側(cè)面積2222長方體側(cè)面積精

，那么點C叫做線段AB的黃金分割點，

AC

50.61852拓展 ,得

(不符合題意，舍去

2一元二次方的應(yīng)用2一元二次方的應(yīng)用

列一元二次方解應(yīng)用題是本節(jié)的難點，它的基本步驟為：(1)審題；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)列方(4)解拓展列一元二次方解應(yīng)用題時，應(yīng)注意以下三點注意單位的注意驗根規(guī)律方法小轉(zhuǎn)化思想：在解實際應(yīng)用題時，關(guān)鍵是運用轉(zhuǎn)化思想，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，課堂檢1316萬元，525萬元，則該商場這兩個月銷售額的平均增長率為．24026ABCD上修建三條同樣寬的甬路，使其中兩條與AB平行一條與AD平行其余部分種草(如圖2－4所示)．若想使每一塊草坪的面積都為144平方米4

，設(shè)鐵釘?shù)拈L度為1，那么符合這一事實的一個方7A．44k4k2 B．44k C．4k4k2 D.48k

體驗中x，則可列方 2、某種品牌機經(jīng)過4～5月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了2500元，設(shè)平均每月降價的百分率為x，根據(jù)題意列出的方是.學(xué)1、分析設(shè)這兩個月銷售額的平均增長率是x，由題意知16(1+x)2=25，解這個方得規(guī)律·方法此類問題是在某個數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上連續(xù)增長或降低兩次得到新的數(shù)據(jù)，解這類問題需牢記a(1+x)2=ba(1－x)2=ba表示增長或降低前的數(shù)據(jù)，x表示增長率或降低率，b表示后來得到的數(shù)據(jù)．“”表示增長，“－”表示降低．同時要注意兩點