習(xí)題課六版第六章定積分應(yīng)用

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第六章

定積分應(yīng)用

(習(xí)題課)題組一：幾何應(yīng)用1.求由兩拋物線及所圍平面圖形的面積。1.求由兩拋物線及解:yx0由對稱性,取y為積分變量得2.求由所圍平面圖形的面積。解:yx0邊界曲線的極坐標(biāo)方程分別為過OA

作輔助線如圖,接2.x0y3.由解:與x

軸所圍的圖形分別繞x

軸,y

軸及y=1旋轉(zhuǎn),求各旋轉(zhuǎn)體的體積.xy0接3.xy04.求曲線解:

所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積V.xy0設(shè)S1

旋轉(zhuǎn)所得的體積為V1，S2旋轉(zhuǎn)所得的體積為V2.取y

為積分變量得接4.xy0取x為積分變量得5.求星型線解:

所圍圖形的面積及所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的表面積.xy06.證明:曲線解:

的弧長等于橢圓的周長.橢圓的參數(shù)方程為設(shè)正弦曲線的弧長為s1,橢圓的周長為s2,于是題組二：物理應(yīng)用解:

1.已知彈簧拉長0.02米需要9.8牛頓的力，求把彈簧拉長0.10米所作的功。

由虎克定律2.設(shè)有一容器的外殼為拋物線

解:繞x軸旋轉(zhuǎn)而成1的拋物面，里面裝滿水，水面齊到y(tǒng)=1（水比重為1),求將水全部抽到高為h(h

1)處所作的功。xy03.長方體解:

器皿盛滿等體積的的水和油，假設(shè)油比水輕一倍。證明：如果器皿完全用油盛滿，則它在每一壁上的壓力將減少五分之一。（提示：油浮于水上）設(shè)水的比重為油的比重為xy0油水接3.若全盛滿油,則xy0油4.設(shè)一均勻細(xì)棒解:

（密度ρ=1）放在x

軸上，其區(qū)間為[a,b]，一質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)位于

軸上點(diǎn)(0,h)處，求細(xì)棒對質(zhì)點(diǎn)的引力。xy0接4.題組二：綜合題解:1.設(shè)0<k<2,當(dāng)k

為何值時,曲線與直線所圍如圖所示圖形的面積最小。

xy0故時圖形的面積最小。

2.設(shè)曲線解:

過原點(diǎn)作其切線，求由此曲線，切線及x

軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積與表面積。xy0設(shè)切點(diǎn)為則切線方程為切線過點(diǎn)(0,0)切線方程為切點(diǎn)為接2.xy03.設(shè)f(x)在[a,b]可導(dǎo),解:，

試證：對如圖所示的兩個面積

A(t),B(t)而言,存在唯一的ξ∈(a,b),使得yx0A(t)B(t)y=f(x)顯然設(shè)問題歸結(jié)為證明方程F(t)=0在(a,b)內(nèi)有唯一實根。接3.顯然F(t)在[a,b]內(nèi)連續(xù).又因為所以f(x)單增,由零點(diǎn)定理,

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