正方形的定義性質(zhì)

關(guān)于正方形的定義性質(zhì)第1頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形

叫做正方形。一個角是直角一個角是直角一個角是直角，一組鄰邊相等一組鄰邊相等一組鄰邊相等平行四邊形的對邊平行且相等平行四邊形的對角相等平行四邊形的鄰角互補平行四邊形的對角線互相平分性質(zhì)：特有性質(zhì)：矩形的四個角都是直角矩形的對角線相等特有性質(zhì)：菱形的四條邊都相等菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角性質(zhì)：正方形兩組對邊平行，四條邊都相等正方形的四個角都是直角正方形的對角線相等，互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角第2頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五探究小結(jié)矩形〃〃正方形鄰邊相等〃〃發(fā)現(xiàn)：一組鄰邊相等的矩形是正方形

菱形一個角是直角正方形∟發(fā)現(xiàn)：一個角為直角的菱形是正方形正方形定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形第3頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五ABCDO正方形中：（按組說）1、相等的邊有哪些？2、相等的角有哪些？3、等腰三角形有哪些？4、直角三角形有哪些？5、全等三角形有哪些？第4頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五平行四邊形矩形菱形正方形平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系圖第5頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五例

求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.這是一道文字證明題,該怎么做?你會做嗎?第一步:根據(jù)題意畫出圖形第二步:寫出已知、求證第三步：進行證明ADCBO

已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO分析:利用正方形的性質(zhì),對角線互相垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角.平分可以產(chǎn)生線段等量關(guān)系,垂直可以產(chǎn)生直角,于是可以得到四個全等的等腰直角三角形.第6頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五ADCBO

正方形對角線把正方形分成多少個等腰直角三角形？拓展討論:結(jié)論：

分成八個等腰直角三角形，分別是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD；△AOB、△BOC、△COD、△DOA.第7頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五例題解析1.已知:正方形ABCD中,點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點,試判斷四邊形EFGH是正方形嗎?為什么?ＡＢＣＤＥＦＧＨ定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形

叫做正方形。第8頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五

例2．如圖(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，

分析：要證明BM＝CN，大家觀察圖形可以考慮證哪兩個三角形全等?

MN∥AB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BM＝CN。你能完成證明嗎???

AB＝BC，∠1＝∠2＝45°

條件夠嗎？

還需要的條件是AM＝BN△ABM≌△BCN你所要證明的兩個三角形已經(jīng)滿足了哪些條件?由正方形可以得到的條件有：第9頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五

例2．如圖(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BM＝CN。證明：

∵四邊形ABCD是正方形

∴OA＝OB,∠1＝∠2＝∠3＝45°

又∵MN∥AB∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°

∴OM＝ON

∴OA－OM＝OB－ON

即AM＝BN

下面大家自己完成證明第10頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五

練習1．已知：正方形ABCD對角線AC、BD相交于點O，且AB＝acm，如圖(2)。

求：AC的長及正方形的面積S。

練習2．已知：在正方形ABCD中，對角線AC、

BD相交于點O，且AC＝6cm，如圖求：正方形的面積S。

第11頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五例3．已知：如圖(4)在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點，CE⊥AF于E，交AD于M，求證：∠MFD＝45°

分析：欲證∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,只須證△MDF是等腰三角形,即只要證_____=_____要證MD＝FD，大家只須證得哪兩個三角形全等?

試一試看能不能完成證明???△CMD≌△ADF第12頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五例3．已知：如圖(4)在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點，CE⊥AF于E，交AD于M，

求證：∠MFD＝45°

證明：∵CE⊥AF

∴∠ADC＝∠AEM＝90°

又∵∠CMD＝∠AME

∴∠1＝∠2

又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC

∴Rt△CDM≌Rt△ADF

(AAS)

∴DM=DF

下面的證明請大家完成第13頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五練習．如圖(5)，在AB上取一點C，以AC、BC為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形AEDC和BCFG連結(jié)AF、BD延長BD交AF于H。

求證：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

證明：

第14頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五例4．如圖(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，連結(jié)BG、CE，交點為N。

求證：∠CEA＝∠ABG

分析：欲證∠CEA＝∠ABG，大家想一想證明兩個角相等的方法，你有辦法了嗎？？？通過自己的努力，看能不能解決問題？證明：∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形。

∴AE＝AB

AG＝AC∠1＝∠2＝90°

又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∴∠EAC＝∠BAG

∴△AEC≌△ABG

(SAS)

∴∠CEA＝∠ABG

第15頁，共18頁，2022年，5月20日，4點13分，星期五2.已知:正方形ABCD中,點E、F、G、H分別在AB、BC、CD