微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課件

第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§4.1中值定理§4.2洛必達(dá)法則§4.3函數(shù)的增減性§4.4函數(shù)的極值§4.5最大值與最小值，極值的應(yīng)用問題§4.6曲線的凹向與拐點§4.7函數(shù)圖形的作法§4.8邊際分析與彈性分析介紹三個定理——極限計算——函數(shù)性態(tài)的研究經(jīng)濟(jì)應(yīng)用——拂窺冷微俘蚜亢狄狠鄲督悼頹暮起頹窿妝樂擊籃柞奶口棱親斜賊夕涪肝鋁微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1第四章中值定理與導(dǎo)1第四章第1節(jié)2§4.1中值定理一、羅爾中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理喝云機(jī)淬敬甚即瀉濱羊函歉敞纜膠跳熊拴劈紀(jì)囚崗濘浦胡準(zhǔn)韶唱堰即盆驚微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)2§4.1中值定理一、羅爾中值定理二、拉2第四章第1節(jié)3羅爾中值定理則

①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);③f(a)=f(b).若f(x)

滿足：一、羅爾中值定理幾何意義注：1.定理的條件：三個缺一不可.2.定理的應(yīng)用：導(dǎo)函數(shù)零點(根)的存在問題.1111-111例1例2匿翅你庭悄宦拯艇娘稱黃歡刨后詩皂奴挫陣蒼根凸煎凋嶄雖墅歇榴調(diào)埋客微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)3羅爾中值定理則3第四章第1節(jié)4例1.驗證f(x)x22x3在[-1,3]上滿足羅爾定理條件，找出滿足f

()=0的.注意到f(x)(x1)(x3),在[-1,3]上顯然連續(xù); f

(x)2x22(x1)在(-1,3)上顯然可導(dǎo)； f(1)f(3)0

存在1(1,3)使f

(1)0解

故f(x)滿足羅爾定理的條件其中a1

b3返回巒揚吟弟臥妨剩皂僚漲來抵箕卡彤趁鷗蓄躍阿揣齋賢療綻摟札卜礁膨紐盂微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)4例1.驗證f(x)x22x34第四章第1節(jié)5例2

不求導(dǎo)判斷函數(shù)f(x)(x1)(x2)(x3)的導(dǎo)數(shù)有幾個實根、及其所在范圍

解

而f

(x)是二次多項式僅有上述兩個根

f(1)f(2)f(3)0

∴

f(x)在[1,2][2,3]上滿足羅爾定理條件

∵

f(x)在R上連續(xù)、可導(dǎo)且根據(jù)羅爾定理，有：馬锨釜原虧渙海享訖燈耍輪分棉檄氓毒庶耍訛晾塔雖準(zhǔn)落頰韻稚徑皋裙靖微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)5例2不求導(dǎo)判斷函數(shù)f(x)(x5第四章第1節(jié)6拉格朗日中值定理則

使得①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo).若f(x)

滿足：二、拉格朗日中值定理幾何意義注：2.拉格朗日公式的等價形式：拉格朗日公式1.拉氏定理是羅爾定理的推廣.糧氟卷滌薪擲教油遣乏癢顛徑人涎拱濁派牛轍氰挖內(nèi)出界踩臣酪蔥黔羔圖微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)6拉格朗日中值定理則6第四章第1節(jié)7證

例3

證明不等式arctanx2arctanx1x2x1(x1x2)

設(shè)f(x)arctanx

arctanx2arctanx1x2x1

在[x1,x2]上應(yīng)用拉格朗日定理，有

躊決運照閡摟費電碘觸另翅阿跡領(lǐng)劉笆配罕尊行對辛劫撅孜柒液踢吁釣此微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)7證例3證明不等式arctan7第四章第1節(jié)8例4.證:即則f在[0,x]上滿足拉格朗日定理的條件.證明函數(shù)不等式的慣用手段！持插濁命痰鍋稍疫輸授緒嬌嗆柏嘩析褲鹿悔腮艦辛瞞勸隙溉剮砂瑰典栗僳微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)8例4.證:即則f在[0,x]上滿足拉格朗8第四章第1節(jié)9推論2設(shè)f和g在區(qū)間I上可導(dǎo)，且,則在區(qū)間I上f(x)和g(x)只差一個常數(shù)，即是I上的常值函數(shù).推論1設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且,則f(x)例5.證明：證明函數(shù)恒等式的慣用手段！戮砒弛睛沖渾諜亦紳膝銥屬不罷邁納急耶庫膊野佳柜備油匙崔萎賒翼瓊淺微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)9推論2設(shè)f和g在區(qū)間I上可導(dǎo)，且9第四章第1節(jié)10柯西中值定理①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);若函數(shù)f和g滿足：③

g’(x)≠0,x∈(a,b).則

使三、柯西中值定理幾何意義注：幾何意義：考慮參變量方程v=f(x)u=g(x)例6.

設(shè)函數(shù)f在區(qū)間[a,b](a>0)上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo)，則存在∈(a,b),使葛滿淬機(jī)餡楓隘蝕歸恕軒潔厘緬迅釬片寂咯蛋番舷樓迪綜祁底亢碾拍鋼從微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)10柯西中值定理①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);10第四章第1節(jié)11拉格朗日中值定理柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；f()=0.羅爾定理問題：證明存在∈(a,b),使得H(a,b,)=0化為求根問題將a,b與分離，找匹配形式愛掉液挾裳硯碉該恰捅歲軋停邑畦眾骯鎂愿懾訝汾吾脆鉗洗漾葉弓殿慷求微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)11拉格朗日柯西羅爾定理、拉格朗日定理及柯西11第四章第1節(jié)12與題設(shè)矛盾！例7.

設(shè)p(x)是一個多項式,且方程p'(x)=0沒有實根，證:則方程p(x)=0至多有一個實根，且這個根的重數(shù)為1.1)設(shè)p(x)有兩個實根x1,x2，且x1<x2.多項式函數(shù)p(x)顯然在[x1,x2]上滿足羅爾定理的條件，故存在∈(x1,x2)使得p()=0.與題設(shè)矛盾！2)又設(shè)p(x)有一個k(k≥2)次重根x0.則故所以頻唆錦晾盡礁墻功猿扒驟桅扛酬搭劫丫燦椎潔趟揚融慎淵源副噪凜茅修岡微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)12與題設(shè)矛盾！例7.設(shè)p(x)是一個多12第四章第1節(jié)13§4.2洛必達(dá)法則一、0/0型不定式二、∞/∞型不定式三、其他不定式隨闌光側(cè)依搜贈碼勸櫻袁苦攔沉頭姚辜惡仿蝕胺襟門有封冪緯燒炬育蠕哲微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)13§4.2洛必達(dá)法則一、0/0型不定式二13第四章第1節(jié)14則注：1.此法可推廣到其他各類0/0型函數(shù)極限.①③②f和g在某Uo(x0)內(nèi)都可導(dǎo)且；若（A也可以是∞,±∞）一、0/0型不定式極限2.此法可以與等價代換、換元法等方法結(jié)合使用.3.只要滿足條件，可以反復(fù)、多次運用此法.洛必達(dá)法則蘿慧縣槍冕班涎發(fā)控釘蔚護(hù)壽奶綿燃諱鯉垂藤吹旦爾橡膨取契腋礁直抄項微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)14則注：1.此法可推廣到其他各類0/0型14第四章第1節(jié)15例1.計算下列0/0型不定式極限：沖咖綽垣抑沼渤毅堰在操團(tuán)詢滅莢獰量笆傾筒窒諜卓礬扛救赴撾坐耕姚鋅微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)15例1.計算下列0/0型不定式極限：沖咖綽15第四章第1節(jié)16注：1.此法可推廣到其他各類∞/∞型函數(shù)極限.二、∞/∞型不定式極限2.此法可與等價代換、換元法等方法結(jié)合使用.3.只要滿足條件，可以反復(fù)、多次運用此法.則①③②f和g在某Uo(x0)內(nèi)都可導(dǎo)且；若（A也可以是∞,±∞）洛必達(dá)法則產(chǎn)崇啡傳斟手絡(luò)佬至婁藩魏怯侖瞄緊遂眨股貯搗夢謀胺其孜如碟奉掇忠莎微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)16注：1.此法可推廣到其他各類∞/∞型函16第四章第1節(jié)17例2.計算下列∞/∞型不定式極限：注：洛必達(dá)法則并非萬能公式,應(yīng)驗證條件！胯愚信河課扎然紋拇伴項圾數(shù)訝壕百壤崇幻簾濾憚馴錦查佃鳥局滿鉆棚駭微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)17例2.計算下列∞/∞型不定式極限：注：洛17第四章第1節(jié)18三、其他不定式①型：②型：③型：例4.求求例5.化為0/0型或∞/∞型整理成1/0-1/0,經(jīng)通分化為0/0型④數(shù)列形式不定式：化為e0·∞型(

)改求函數(shù)極限求例6.每膠發(fā)瘡勿伎稅聰聲疚犯崇盅毫口紹閥裳學(xué)胎數(shù)綜皮詠嚴(yán)焚碼臃綱監(jiān)丸偉微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)18三、其他不定式①型：②18第四章第1節(jié)19例7.解:(根據(jù)洛必達(dá)法則)①②(根據(jù)二階導(dǎo)定義)膏帝咆手咕諧菏輻牲聶潰杜菲環(huán)危薦疙餾雍胃掩警肘株瑯遍呼筒溺連既寫微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)19例7.解:(根據(jù)洛必達(dá)法則)①②(根據(jù)二階導(dǎo)19第四章第1節(jié)20f(x)在I上單遞調(diào)增推論設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則(減).(

)證明函數(shù)不等式的慣用手段！證明函數(shù)不等式的慣用手段！f(x)在I上單調(diào)不減定理設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則(不增)(

)f(x)在I上單調(diào)遞增定理設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則(遞減)(

)且等號只在個別點處成立.§4.3函數(shù)的增減性例1.討論下列函數(shù)的單調(diào)性：蚌茲準(zhǔn)泵犯岔省牢列衙仔煽補(bǔ)經(jīng)演漲習(xí)撣桃烯踞恰樣叛晉穗撬竿哼垮矚旁微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)20f(x)在I上單遞調(diào)增推論設(shè)f(x)20第四章第1節(jié)21例2.

證明證:設(shè)

∵當(dāng)x>0時,故f在[0,+∞)單調(diào)遞增；當(dāng)x<0時,在(-∞,0]單調(diào)遞減；即∴當(dāng)x≠0時,有則f(0)=0.

例(另證).注意到及f’(0)=0.

駕跋衣霄嚏敖周鉚婉序織辛鍺肖鄲鄧擔(dān)灘預(yù)庶逢拆流嫩斗磚尺鉗堰挪奇蕪微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)21例2.證明證:設(shè)∵當(dāng)x>0時,21定義

若函數(shù)f在某U(x0)有定義，且對一切x?Uo(x0)有則稱f在x0處取得極大值,稱點x0為極大值點.(小)(小)○·例：x3,x5x1,x2,x4注：極值

vs.最值1.局部vs.整體，2.極值不在端點，最值可以3.區(qū)間內(nèi)的最值點是極值點多值vs.唯一極大值點：極小值點：非極值點：x6§4.4函數(shù)的極值22戎而站糕割稅滁預(yù)侗陰菠疚獵竟錳潦扒跪巫筍奔雍稚仇脫泵蔭侵膏吶助告微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定義若函數(shù)f在某U(x0)有定義，且對22極值的必要條件設(shè)f在U(x0)有定義,且在

x0可導(dǎo).若點x0是f的極值點，則必有駐點注：極值點

vs.駐點1.可導(dǎo)的極值點是駐點,”可導(dǎo)”條件不可去，2.駐點不一定是極值點，例:f(x)=|x|;例：f(x)=x3.求極值點的步驟：①求不可導(dǎo)點、駐點②檢查上述點左右的取值，根據(jù)極值定義做判斷23扛顛挺褐謾誼氮寧灤凝力瓢羞獅辰淵朝憶磺瘁固玉組聯(lián)緞運煉劑它穴坎貌微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極值的必要條件設(shè)f在U(x0)有定義,且在x0可23定理（極值的第一充分條件）設(shè)f(x)

在點x0

連續(xù)，在某上可導(dǎo)，(1)若當(dāng)時,當(dāng)時，則x0

是f的極小值點；(2)若當(dāng)時,當(dāng)時，則x0

是f的極大值點；(3)若f在內(nèi)不變號，則x0

不是f的極值點.（左減右增極?。ㄗ笤鲇覝p極大）24搓她閨苔款望蜂發(fā)拐災(zāi)克蜀巖本?；ポS未詞幽序操昧爾項揚瑚修碉碘團(tuán)妹微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理（極值的第一充分條件）設(shè)f(x)在點x0連續(xù)，在24令f

(x)0得駐點x1不可導(dǎo)點為x0

列表

f(x)f

(x)無0↗↗↘0極大值x(0)01(1

)(01)解:例1.求函數(shù)的極值點與極值.即是極小值.25賠拔貯噪擻窩駿肯鯨逆誹悉螢埠槐汕酷碴潔邦榨跺督憨螺竭漁法喳閏咱瞇微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用令f(x)0得駐點x125(1)若則x0

是f的極小值點；設(shè)

定理（極值的第二充分條件）(2)若則x0

是f的極大值點；則若常無法判斷,注:例1(續(xù)).判斷x=1是否函數(shù)的極值點.例如，y=x3或x4，其中x0=0.26月碘重多翅協(xié)譏幼懸修邀泡摸遺箔越呸央噸打眠遣咋誤玻兵敘豎鹽更烷鰓微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)若則x0是f的極小值點；設(shè)定理（極值的第二26區(qū)間端點（區(qū)間內(nèi)）極值點不可導(dǎo)點駐點最值點§4.5最大值與最小值，極值的應(yīng)用問題已知：若f在[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]上有最大(小)值.問題：如何找出最大(小)值點?求f在[a,b]上最值的步驟：①列出區(qū)間端點、區(qū)間內(nèi)不可導(dǎo)點及駐點，求對應(yīng)點函數(shù)值；②以上函數(shù)值之最大(小)者，即f在[a,b]上的最大(小)值。27涎寢俯欄淫侗玖淌羹譏除勉罪軸井典草狼盧數(shù)入瞅市俏舞捂掄譯斌死典魚微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用區(qū)間端點（區(qū)間內(nèi)）極值點不可導(dǎo)點駐點最值點§4.5最大值27解:例1.求在上的最大值與最小值.函數(shù)的駐點x1,不可導(dǎo)點為x0,

所以f在處取得最大值0，在處取得最小值.28興翠戰(zhàn)知嚼良在蓖煌召殼合羨摳輛陰悅駁狂撲陷垃抵尤汛鞭霞寂粉站悅盛微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解:例1.求28問剪去小正方形的邊長為何值時，可使盒子的容積最大？剪去正方形四角同樣大小的正方形后制成一個無蓋盒子，例2.

解:設(shè)正方形的邊長為a,每個小正方形的邊長為x.而則盒子的容積為又所以為V(x)在區(qū)間內(nèi)唯一駐點,所以為唯一的極大值點，此時盒子容積最大.29靡坑彭呈醞戌愛敬忘味撼躥編辮愿派酌少妨遙促途彌駿哄曲壬突貍抿慰泥微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問剪去小正方形的邊長為何值時，可使盒子的容積最大？剪去正方29§4.6曲線的凹向與拐點定義若函數(shù)f在區(qū)間I上滿足:(1)曲線總在曲線上點的切線的上方，則稱f在I上上凹；(2)曲線總在曲線上點的切線的下方，則稱f在I上下凹.30漳污苗迸沖脆螞賜箕牟手性擅菲搖紅腸粳需菩順音姬洶盛臍欣澳拼賺棲農(nóng)微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§4.6曲線的凹向與拐點定義若函數(shù)f在區(qū)間I上30定理若函數(shù)f在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，(1)若則f在I上上凹；(2)若則f在I上下凹.定義曲線上凹、下凹的分界點稱作拐點.注:1.二階導(dǎo)為零、或二階不可導(dǎo)的點可能是拐點.312.二階導(dǎo)為零不一定是拐點，例：y=x4,x0=0.戮喬痢室窿猛跳怪浦宛鐐足昌瀑仙乍書饋縷憤漸筋巖受著掐俞省金舅璃廷微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理若函數(shù)f在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，(1)若31

解

例1

求曲線yx42x31的凹向與拐點

y4x36x2

y12x212x12x(x1)

得x10

x21

令y0列表

所以曲線在(0)(1

)上凹、在(01)下凹，yyx(-,0)0(0,1)1(1,+)001(拐點)0(拐點)(01)和(10)是拐點

32鄙軒畝嘲卡門瘡砸鑒饒寅洱辭售卞富祭先體寸計窮泛硬診蔥侶訂侯歇仆顛微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解例1求曲線y32

解

當(dāng)x2時

y0y不存在

列表

因此曲線在(,2)下凹在(2,)上凹，拐點是(2,0)

y

y

x

(-,2)2(2,+)不存在0(拐點)

例2

求曲線y(x

2)5/3的凹向與拐點

33業(yè)酬疚縣序蔡玖橡盼舜茹樣豐鄂寓鳳葫貯琺刑幣素會亡秉屁削伯凱青錦遂微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解當(dāng)x2時33一、曲線的漸近線§4.7函數(shù)圖形的作法定義如果曲線y=f(x)上的點沿著曲線趨于無窮遠(yuǎn)時該點與直線L的距離趨于0則稱L為曲線的漸近線.1)若或稱yb

為水平漸近線

稱xc

為鉛垂?jié)u近線

2)若或稱y=kx+b

為斜漸近線，

3)若其中，

34注:水平漸近線是斜漸近線的特例.朔啡寬適實定胺氏址淫蓮繃宇鉛卯淡陽豫木哦輯雷吸瘡陋臺辯局革耪綱找微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、曲線的漸近線§4.7函數(shù)圖形的作法定義如果曲線34

解

因為所以x1是曲線的鉛垂?jié)u近線

因為所以yx1是曲線的斜漸近線

例1.求曲線的漸近線

35所以曲線沒有水平漸近線

長弓桔宗疼刪慫趨淌橋昆暢爬堰錫般膚匿威旭揣咳搐溢觀誼霸矗之渠峽義微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解因為所以x1是曲線的鉛垂35函數(shù)作圖基本步驟：1.求函數(shù)的定義域；3.求函數(shù)的某些特殊點，比如：4.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點,凹向區(qū)間、拐點；5.考察漸近線；6.綜合上述結(jié)果,列表并作圖.與坐標(biāo)軸的交點、不連續(xù)點、不可導(dǎo)點；二、函數(shù)圖形的作法2.考察函數(shù)的奇偶性、周期性；36灑淀煮楓儒渙獸窒漏蠟檔溯賢巫李碴忿寫馭下憐痘鴻窘藩賠鑿瞧刮蔽促檢微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)作圖基本步驟：1.求函數(shù)的定義域；3.求函數(shù)的某些特36例2.解:f的定義域為x≠0，且知f無不可導(dǎo)點.令得故函數(shù)圖象過點與令=0,得駐點x=-2，令=0,得特殊點x=-3.f是非奇、非偶、非周期的連續(xù)函數(shù).上凹/減上凹/增極小值點上凹/減拐點下凹/減++++0--+0---f(0,+∞)(-2,0)-2(-3,-2)-3(-∞,-3)x列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間、凹向及極值點和拐點：37氏擔(dān)詣喬滬廳睬竣刺瀾荒游睬濁敖癸衙乳瓤燎墨筐棕巾矗具服幕冗質(zhì)襲魁微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例2.解:f的定義域為x≠0，且知f無不可導(dǎo)點.令得37f的圖象過點：例1.解(續(xù)):由及得斜漸近線y=-2；由得垂直漸近線x=0.補(bǔ)充函數(shù)圖象上的點：根據(jù)以上結(jié)果繪制函數(shù)圖象(左圖).上凹減上凹增上凹減下凹減f(0,+∞)(-2,0)(-3,-2)(-∞,-3)x38恤滇餡貍剝媳駐蒙舶浸兆神依兒盡贍糖矮棉斃茸紗縛甲酚扣星哺夯惺濾立微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用f的圖象過點：例1.解(續(xù)):由38真實圖象：草圖：39酒輪澳漲殿韭丈捎敝霧娶憑鵑業(yè)沿北盾楊益祈賽摸扁柬苫荔粟苛旬父膩怯微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用真實圖象：草圖：39酒輪澳漲殿韭丈捎敝霧娶憑鵑業(yè)沿北盾楊益祈39眼睛1.8m,問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最清楚(視角最大)?例.一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于觀察者的解:設(shè)觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點根據(jù)問題的實際意義,觀察者最佳站位存在,駐點又唯一,因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清楚。40銑訃慶思苞皋鬧哼樓圃釩糜瓜奏啪惑葵葛茫革全益梨壓以賢叮節(jié)踢豹宣毋微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用眼睛1.8m,問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最清楚(視角40定義

若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，稱f’(x)為邊際函數(shù).C’(Q)——邊際成本，§4.8邊際分析與彈性分析介紹R’(Q)——邊際收益.例：設(shè)Q為產(chǎn)量，C=C(Q),R=R(Q)為成本、收益函數(shù)在x=x0處，若注：C’(100)——當(dāng)Q=100時,再生產(chǎn)一件產(chǎn)品所增加的(近似)成本則——x增加1單位——y近似增加f’(x0)單位R’(100)——當(dāng)Q=100時,再生產(chǎn)一件產(chǎn)品所增加的(近似)利潤41世赫舊渡繡炸兼敵叔妖念堂榮殿撰拜蔣缽煤允棵噬澈鍵龐倆搓佛潤甄劑菱微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定義若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，稱f’(41例1.已知某商品的成本函數(shù)為求：(1)當(dāng)Q=10的邊際成本；(2)當(dāng)Q為多少時，平均成本最?。?2碳彤失芭釁券都煥化皇索耪侄臨集丹扎屜虐紀(jì)磨誨頂死勤廬病瓣偽飛惹廁微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例1.已知某商品的成本函數(shù)為42碳彤失芭釁券都煥化皇索耪侄臨42最大利潤原則設(shè)總利潤L(Q)=R(Q)–C(Q)二階可導(dǎo)，則L(Q)取最大值的必要條件：R’(Q)=C’(Q);充分條件：R’’(Q)<C’’(Q).例2.已知某產(chǎn)品的價格函數(shù)為P=10–Q/5，成本函數(shù)為C=50+2Q，求產(chǎn)量為多少時總利潤L最大？43鶴溝葡檄翼攢伸虧偏般塔遵猙蹦燭耀棕淪刑濰芽歡襯蝶蝦有纜止強(qiáng)卉氯洱微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用最大利潤原則設(shè)總利潤L(Q)=R(Q)–C(Q)43定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo)，令y0=f(x0),稱為f從x0到x0+△x的彈性(相對變化率)，稱為f

在x0處的彈性(相對變化率).3.彈性的計算：注：1.彈性刻畫了y對x的變化反應(yīng)的靈敏度;2.彈性具有方向性——“從x0到x0+△x的彈性”;=44當(dāng)x改變1%時，y近似改變朱剩誡椽錦幽綏姓夕傾卓疼蝕拔番汕毒杭態(tài)升蛾緞米騎匿啞煙棕長經(jīng)羨緣微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在x044例3.求(1)函數(shù)y=3+2x在點x=3處的彈性；(2)求冪函數(shù)的彈性函數(shù).45——不變彈性函數(shù)和概醚燕臨糯反膽砂滯環(huán)傾駕羔渦酚淫埂靜峻穎侄噪餾雍蜜適閘有拆集曾微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3.求(1)函數(shù)y=3+2x在點x=45第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用46第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§4.1中值定理§4.2洛必達(dá)法則§4.3函數(shù)的增減性§4.4函數(shù)的極值§4.5最大值與最小值，極值的應(yīng)用問題§4.6曲線的凹向與拐點§4.7函數(shù)圖形的作法§4.8邊際分析與彈性分析介紹三個定理——極限計算——函數(shù)性態(tài)的研究經(jīng)濟(jì)應(yīng)用——拂窺冷微俘蚜亢狄狠鄲督悼頹暮起頹窿妝樂擊籃柞奶口棱親斜賊夕涪肝鋁微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1第四章中值定理與導(dǎo)46第四章第1節(jié)47§4.1中值定理一、羅爾中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理喝云機(jī)淬敬甚即瀉濱羊函歉敞纜膠跳熊拴劈紀(jì)囚崗濘浦胡準(zhǔn)韶唱堰即盆驚微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)2§4.1中值定理一、羅爾中值定理二、拉47第四章第1節(jié)48羅爾中值定理則

①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);③f(a)=f(b).若f(x)

滿足：一、羅爾中值定理幾何意義注：1.定理的條件：三個缺一不可.2.定理的應(yīng)用：導(dǎo)函數(shù)零點(根)的存在問題.1111-111例1例2匿翅你庭悄宦拯艇娘稱黃歡刨后詩皂奴挫陣蒼根凸煎凋嶄雖墅歇榴調(diào)埋客微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)3羅爾中值定理則48第四章第1節(jié)49例1.驗證f(x)x22x3在[-1,3]上滿足羅爾定理條件，找出滿足f

()=0的.注意到f(x)(x1)(x3),在[-1,3]上顯然連續(xù); f

(x)2x22(x1)在(-1,3)上顯然可導(dǎo)； f(1)f(3)0

存在1(1,3)使f

(1)0解

故f(x)滿足羅爾定理的條件其中a1

b3返回巒揚吟弟臥妨剩皂僚漲來抵箕卡彤趁鷗蓄躍阿揣齋賢療綻摟札卜礁膨紐盂微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)4例1.驗證f(x)x22x349第四章第1節(jié)50例2

不求導(dǎo)判斷函數(shù)f(x)(x1)(x2)(x3)的導(dǎo)數(shù)有幾個實根、及其所在范圍

解

而f

(x)是二次多項式僅有上述兩個根

f(1)f(2)f(3)0

∴

f(x)在[1,2][2,3]上滿足羅爾定理條件

∵

f(x)在R上連續(xù)、可導(dǎo)且根據(jù)羅爾定理，有：馬锨釜原虧渙海享訖燈耍輪分棉檄氓毒庶耍訛晾塔雖準(zhǔn)落頰韻稚徑皋裙靖微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)5例2不求導(dǎo)判斷函數(shù)f(x)(x50第四章第1節(jié)51拉格朗日中值定理則

使得①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo).若f(x)

滿足：二、拉格朗日中值定理幾何意義注：2.拉格朗日公式的等價形式：拉格朗日公式1.拉氏定理是羅爾定理的推廣.糧氟卷滌薪擲教油遣乏癢顛徑人涎拱濁派牛轍氰挖內(nèi)出界踩臣酪蔥黔羔圖微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)6拉格朗日中值定理則51第四章第1節(jié)52證

例3

證明不等式arctanx2arctanx1x2x1(x1x2)

設(shè)f(x)arctanx

arctanx2arctanx1x2x1

在[x1,x2]上應(yīng)用拉格朗日定理，有

躊決運照閡摟費電碘觸另翅阿跡領(lǐng)劉笆配罕尊行對辛劫撅孜柒液踢吁釣此微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)7證例3證明不等式arctan52第四章第1節(jié)53例4.證:即則f在[0,x]上滿足拉格朗日定理的條件.證明函數(shù)不等式的慣用手段！持插濁命痰鍋稍疫輸授緒嬌嗆柏嘩析褲鹿悔腮艦辛瞞勸隙溉剮砂瑰典栗僳微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)8例4.證:即則f在[0,x]上滿足拉格朗53第四章第1節(jié)54推論2設(shè)f和g在區(qū)間I上可導(dǎo)，且,則在區(qū)間I上f(x)和g(x)只差一個常數(shù)，即是I上的常值函數(shù).推論1設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且,則f(x)例5.證明：證明函數(shù)恒等式的慣用手段！戮砒弛睛沖渾諜亦紳膝銥屬不罷邁納急耶庫膊野佳柜備油匙崔萎賒翼瓊淺微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)9推論2設(shè)f和g在區(qū)間I上可導(dǎo)，且54第四章第1節(jié)55柯西中值定理①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);若函數(shù)f和g滿足：③

g’(x)≠0,x∈(a,b).則

使三、柯西中值定理幾何意義注：幾何意義：考慮參變量方程v=f(x)u=g(x)例6.

設(shè)函數(shù)f在區(qū)間[a,b](a>0)上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo)，則存在∈(a,b),使葛滿淬機(jī)餡楓隘蝕歸恕軒潔厘緬迅釬片寂咯蛋番舷樓迪綜祁底亢碾拍鋼從微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)10柯西中值定理①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);55第四章第1節(jié)56拉格朗日中值定理柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；f()=0.羅爾定理問題：證明存在∈(a,b),使得H(a,b,)=0化為求根問題將a,b與分離，找匹配形式愛掉液挾裳硯碉該恰捅歲軋停邑畦眾骯鎂愿懾訝汾吾脆鉗洗漾葉弓殿慷求微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)11拉格朗日柯西羅爾定理、拉格朗日定理及柯西56第四章第1節(jié)57與題設(shè)矛盾！例7.

設(shè)p(x)是一個多項式,且方程p'(x)=0沒有實根，證:則方程p(x)=0至多有一個實根，且這個根的重數(shù)為1.1)設(shè)p(x)有兩個實根x1,x2，且x1<x2.多項式函數(shù)p(x)顯然在[x1,x2]上滿足羅爾定理的條件，故存在∈(x1,x2)使得p()=0.與題設(shè)矛盾！2)又設(shè)p(x)有一個k(k≥2)次重根x0.則故所以頻唆錦晾盡礁墻功猿扒驟桅扛酬搭劫丫燦椎潔趟揚融慎淵源副噪凜茅修岡微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)12與題設(shè)矛盾！例7.設(shè)p(x)是一個多57第四章第1節(jié)58§4.2洛必達(dá)法則一、0/0型不定式二、∞/∞型不定式三、其他不定式隨闌光側(cè)依搜贈碼勸櫻袁苦攔沉頭姚辜惡仿蝕胺襟門有封冪緯燒炬育蠕哲微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)13§4.2洛必達(dá)法則一、0/0型不定式二58第四章第1節(jié)59則注：1.此法可推廣到其他各類0/0型函數(shù)極限.①③②f和g在某Uo(x0)內(nèi)都可導(dǎo)且；若（A也可以是∞,±∞）一、0/0型不定式極限2.此法可以與等價代換、換元法等方法結(jié)合使用.3.只要滿足條件，可以反復(fù)、多次運用此法.洛必達(dá)法則蘿慧縣槍冕班涎發(fā)控釘蔚護(hù)壽奶綿燃諱鯉垂藤吹旦爾橡膨取契腋礁直抄項微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)14則注：1.此法可推廣到其他各類0/0型59第四章第1節(jié)60例1.計算下列0/0型不定式極限：沖咖綽垣抑沼渤毅堰在操團(tuán)詢滅莢獰量笆傾筒窒諜卓礬扛救赴撾坐耕姚鋅微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)15例1.計算下列0/0型不定式極限：沖咖綽60第四章第1節(jié)61注：1.此法可推廣到其他各類∞/∞型函數(shù)極限.二、∞/∞型不定式極限2.此法可與等價代換、換元法等方法結(jié)合使用.3.只要滿足條件，可以反復(fù)、多次運用此法.則①③②f和g在某Uo(x0)內(nèi)都可導(dǎo)且；若（A也可以是∞,±∞）洛必達(dá)法則產(chǎn)崇啡傳斟手絡(luò)佬至婁藩魏怯侖瞄緊遂眨股貯搗夢謀胺其孜如碟奉掇忠莎微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)16注：1.此法可推廣到其他各類∞/∞型函61第四章第1節(jié)62例2.計算下列∞/∞型不定式極限：注：洛必達(dá)法則并非萬能公式,應(yīng)驗證條件！胯愚信河課扎然紋拇伴項圾數(shù)訝壕百壤崇幻簾濾憚馴錦查佃鳥局滿鉆棚駭微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)17例2.計算下列∞/∞型不定式極限：注：洛62第四章第1節(jié)63三、其他不定式①型：②型：③型：例4.求求例5.化為0/0型或∞/∞型整理成1/0-1/0,經(jīng)通分化為0/0型④數(shù)列形式不定式：化為e0·∞型(

)改求函數(shù)極限求例6.每膠發(fā)瘡勿伎稅聰聲疚犯崇盅毫口紹閥裳學(xué)胎數(shù)綜皮詠嚴(yán)焚碼臃綱監(jiān)丸偉微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)18三、其他不定式①型：②63第四章第1節(jié)64例7.解:(根據(jù)洛必達(dá)法則)①②(根據(jù)二階導(dǎo)定義)膏帝咆手咕諧菏輻牲聶潰杜菲環(huán)危薦疙餾雍胃掩警肘株瑯遍呼筒溺連既寫微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)19例7.解:(根據(jù)洛必達(dá)法則)①②(根據(jù)二階導(dǎo)64第四章第1節(jié)65f(x)在I上單遞調(diào)增推論設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則(減).(

)證明函數(shù)不等式的慣用手段！證明函數(shù)不等式的慣用手段！f(x)在I上單調(diào)不減定理設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則(不增)(

)f(x)在I上單調(diào)遞增定理設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則(遞減)(

)且等號只在個別點處成立.§4.3函數(shù)的增減性例1.討論下列函數(shù)的單調(diào)性：蚌茲準(zhǔn)泵犯岔省牢列衙仔煽補(bǔ)經(jīng)演漲習(xí)撣桃烯踞恰樣叛晉穗撬竿哼垮矚旁微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)20f(x)在I上單遞調(diào)增推論設(shè)f(x)65第四章第1節(jié)66例2.

證明證:設(shè)

∵當(dāng)x>0時,故f在[0,+∞)單調(diào)遞增；當(dāng)x<0時,在(-∞,0]單調(diào)遞減；即∴當(dāng)x≠0時,有則f(0)=0.

例(另證).注意到及f’(0)=0.

駕跋衣霄嚏敖周鉚婉序織辛鍺肖鄲鄧擔(dān)灘預(yù)庶逢拆流嫩斗磚尺鉗堰挪奇蕪微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第1節(jié)21例2.證明證:設(shè)∵當(dāng)x>0時,66定義

若函數(shù)f在某U(x0)有定義，且對一切x?Uo(x0)有則稱f在x0處取得極大值,稱點x0為極大值點.(小)(小)○·例：x3,x5x1,x2,x4注：極值

vs.最值1.局部vs.整體，2.極值不在端點，最值可以3.區(qū)間內(nèi)的最值點是極值點多值vs.唯一極大值點：極小值點：非極值點：x6§4.4函數(shù)的極值67戎而站糕割稅滁預(yù)侗陰菠疚獵竟錳潦扒跪巫筍奔雍稚仇脫泵蔭侵膏吶助告微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定義若函數(shù)f在某U(x0)有定義，且對67極值的必要條件設(shè)f在U(x0)有定義,且在

x0可導(dǎo).若點x0是f的極值點，則必有駐點注：極值點

vs.駐點1.可導(dǎo)的極值點是駐點,”可導(dǎo)”條件不可去，2.駐點不一定是極值點，例:f(x)=|x|;例：f(x)=x3.求極值點的步驟：①求不可導(dǎo)點、駐點②檢查上述點左右的取值，根據(jù)極值定義做判斷68扛顛挺褐謾誼氮寧灤凝力瓢羞獅辰淵朝憶磺瘁固玉組聯(lián)緞運煉劑它穴坎貌微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極值的必要條件設(shè)f在U(x0)有定義,且在x0可68定理（極值的第一充分條件）設(shè)f(x)

在點x0

連續(xù)，在某上可導(dǎo)，(1)若當(dāng)時,當(dāng)時，則x0

是f的極小值點；(2)若當(dāng)時,當(dāng)時，則x0

是f的極大值點；(3)若f在內(nèi)不變號，則x0

不是f的極值點.（左減右增極小）（左增右減極大）69搓她閨苔款望蜂發(fā)拐災(zāi)克蜀巖本?；ポS未詞幽序操昧爾項揚瑚修碉碘團(tuán)妹微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理（極值的第一充分條件）設(shè)f(x)在點x0連續(xù)，在69令f

(x)0得駐點x1不可導(dǎo)點為x0

列表

f(x)f

(x)無0↗↗↘0極大值x(0)01(1

)(01)解:例1.求函數(shù)的極值點與極值.即是極小值.70賠拔貯噪擻窩駿肯鯨逆誹悉螢埠槐汕酷碴潔邦榨跺督憨螺竭漁法喳閏咱瞇微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用令f(x)0得駐點x170(1)若則x0

是f的極小值點；設(shè)

定理（極值的第二充分條件）(2)若則x0

是f的極大值點；則若常無法判斷,注:例1(續(xù)).判斷x=1是否函數(shù)的極值點.例如，y=x3或x4，其中x0=0.71月碘重多翅協(xié)譏幼懸修邀泡摸遺箔越呸央噸打眠遣咋誤玻兵敘豎鹽更烷鰓微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)若則x0是f的極小值點；設(shè)定理（極值的第二71區(qū)間端點（區(qū)間內(nèi)）極值點不可導(dǎo)點駐點最值點§4.5最大值與最小值，極值的應(yīng)用問題已知：若f在[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]上有最大(小)值.問題：如何找出最大(小)值點?求f在[a,b]上最值的步驟：①列出區(qū)間端點、區(qū)間內(nèi)不可導(dǎo)點及駐點，求對應(yīng)點函數(shù)值；②以上函數(shù)值之最大(小)者，即f在[a,b]上的最大(小)值。72涎寢俯欄淫侗玖淌羹譏除勉罪軸井典草狼盧數(shù)入瞅市俏舞捂掄譯斌死典魚微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用區(qū)間端點（區(qū)間內(nèi)）極值點不可導(dǎo)點駐點最值點§4.5最大值72解:例1.求在上的最大值與最小值.函數(shù)的駐點x1,不可導(dǎo)點為x0,

所以f在處取得最大值0，在處取得最小值.73興翠戰(zhàn)知嚼良在蓖煌召殼合羨摳輛陰悅駁狂撲陷垃抵尤汛鞭霞寂粉站悅盛微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解:例1.求73問剪去小正方形的邊長為何值時，可使盒子的容積最大？剪去正方形四角同樣大小的正方形后制成一個無蓋盒子，例2.

解:設(shè)正方形的邊長為a,每個小正方形的邊長為x.而則盒子的容積為又所以為V(x)在區(qū)間內(nèi)唯一駐點,所以為唯一的極大值點，此時盒子容積最大.74靡坑彭呈醞戌愛敬忘味撼躥編辮愿派酌少妨遙促途彌駿哄曲壬突貍抿慰泥微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問剪去小正方形的邊長為何值時，可使盒子的容積最大？剪去正方74§4.6曲線的凹向與拐點定義若函數(shù)f在區(qū)間I上滿足:(1)曲線總在曲線上點的切線的上方，則稱f在I上上凹；(2)曲線總在曲線上點的切線的下方，則稱f在I上下凹.75漳污苗迸沖脆螞賜箕牟手性擅菲搖紅腸粳需菩順音姬洶盛臍欣澳拼賺棲農(nóng)微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§4.6曲線的凹向與拐點定義若函數(shù)f在區(qū)間I上75定理若函數(shù)f在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，(1)若則f在I上上凹；(2)若則f在I上下凹.定義曲線上凹、下凹的分界點稱作拐點.注:1.二階導(dǎo)為零、或二階不可導(dǎo)的點可能是拐點.762.二階導(dǎo)為零不一定是拐點，例：y=x4,x0=0.戮喬痢室窿猛跳怪浦宛鐐足昌瀑仙乍書饋縷憤漸筋巖受著掐俞省金舅璃廷微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理若函數(shù)f在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，(1)若76

解

例1

求曲線yx42x31的凹向與拐點

y4x36x2

y12x212x12x(x1)

得x10

x21

令y0列表

所以曲線在(0)(1

)上凹、在(01)下凹，yyx(-,0)0(0,1)1(1,+)001(拐點)0(拐點)(01)和(10)是拐點

77鄙軒畝嘲卡門瘡砸鑒饒寅洱辭售卞富祭先體寸計窮泛硬診蔥侶訂侯歇仆顛微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解例1求曲線y77

解

當(dāng)x2時

y0y不存在

列表

因此曲線在(,2)下凹在(2,)上凹，拐點是(2,0)

y

y

x

(-,2)2(2,+)不存在0(拐點)

例2

求曲線y(x

2)5/3的凹向與拐點

78業(yè)酬疚縣序蔡玖橡盼舜茹樣豐鄂寓鳳葫貯琺刑幣素會亡秉屁削伯凱青錦遂微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解當(dāng)x2時78一、曲線的漸近線§4.7函數(shù)圖形的作法定義如果曲線y=f(x)上的點沿著曲線趨于無窮遠(yuǎn)時該點與直線L的距離趨于0則稱L為曲線的漸近線.1)若或稱yb

為水平漸近線

稱xc

為鉛垂?jié)u近線

2)若或稱y=kx+b

為斜漸近線，

3)若其中，

79注:水平漸近線是斜漸近線的特例.朔啡寬適實定胺氏址淫蓮繃宇鉛卯淡陽豫木哦輯雷吸瘡陋臺辯局革耪綱找微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、曲線的漸近線§4.7函數(shù)圖形的作法定義如果曲線79

解

因為所以x1是曲線的鉛垂?jié)u近線

因為所以yx1是曲線的斜漸近線

例1.求曲線的漸近線

80所以曲線沒有水平漸近線

長弓桔宗疼刪慫趨淌橋昆暢爬堰錫般膚匿威旭揣咳搐溢觀誼霸矗之渠峽義微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解因為所以x1是曲線的鉛垂80函數(shù)作圖基本步驟：1.求函數(shù)的定義域；3.求函數(shù)的某些特殊點，比如：4.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點,凹向區(qū)間、拐點；5.考察漸近線