專題24 以幾何體為載體的應(yīng)用題（解析版）

專題24以幾何體為載體的應(yīng)用題在江蘇高考的試題中，應(yīng)用題是每年必考的題型，應(yīng)用題主要體現(xiàn)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。近幾年來(lái)應(yīng)用題以幾何背景呈現(xiàn)的居多，特別是一些幾何體如直棱柱、圓錐、圓柱、球等簡(jiǎn)單的幾何體的面積或體積有關(guān)。因此，在復(fù)習(xí)中要特別重視以幾何題為背景的函數(shù)應(yīng)用題。解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵明確各個(gè)量之間的關(guān)系，運(yùn)用立體幾何的知識(shí)點(diǎn)求出各種量，然后表示出面積、體積建立目標(biāo)函數(shù)。例題選講題型一、多面體有關(guān)的應(yīng)用題例1、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）一棟新農(nóng)村別墅，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖，屋頂由四坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．點(diǎn)F在平面ABCD和BC上的射影分別為H，M.已知HM＝5m，BC＝10m，梯形ABFE的面積是△FBC面積的2.2倍．設(shè)∠FMH＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,4))).(1)求屋頂面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為k(k為正的常數(shù))，下部主體造價(jià)與其高度成正比，比例系數(shù)為16k.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6m的別墅，試問(wèn)：當(dāng)θ為何值時(shí)，總造價(jià)最低？eq\a\vs4\al(思路分析)(1)先通過(guò)線面垂直得到FH⊥HM，放在Rt△FHM中，求出FM，根據(jù)三角形的面積公式求出△FBC的面積，根據(jù)已知條件就可以得到所求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式．(2)先求出主體高度，進(jìn)而建立出別墅總造價(jià)y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最小值．(1)規(guī)范解答由題意FH⊥平面ABCD，F(xiàn)M⊥BC，又因?yàn)镠M?平面ABCD，得FH⊥HM.(2分)在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，所以FM＝eq\f(5,cosθ).(4分)因此△FBC的面積為eq\f(1,2)×10×eq\f(5,cosθ)＝eq\f(25,cosθ).從而屋頂面積S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×eq\f(25,cosθ)＋2×eq\f(25,cosθ)×2.2＝eq\f(160,cosθ).所以S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為S＝eq\f(160,cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,4))).(6分)(2)在Rt△FHM中，F(xiàn)H＝5tanθ，所以主體高度為h＝6－5tanθ.(8分)所以別墅總造價(jià)為y＝S·k＋h·16k＝eq\f(160,cosθ)k－eq\f(80sinθ,cosθ)k＋96k＝80k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－sinθ,cosθ)))＋96k.(10分)記f(θ)＝eq\f(2－sinθ,cosθ)，0<θ<eq\f(π,4)，所以f′(θ)＝eq\f(2sinθ－1,cos2θ)，令f′(θ)＝0，得sinθ＝eq\f(1,2)，又0<θ<eq\f(π,4)，所以θ＝eq\f(π,6).(12分)列表：θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))f′(θ)－0＋f(θ)eq\r(3)所以當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時(shí)，f(θ)有最小值．答：當(dāng)θ為eq\f(π,6)時(shí)，該別墅總造價(jià)最低．(14分)eq\a\vs4\al(解后反思)理解題意，建立出函數(shù)的關(guān)系式，是處理最優(yōu)解類型應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵，第(1)問(wèn)，抓住條件”梯形ABFE的面積是△FBC面積的2.2倍”，只要用θ表示出△FBC面積，即可得到屋頂面積．第(2)問(wèn)，需要先設(shè)出總造價(jià)為y元，抓住已知條件，求出主體高度并結(jié)合第(1)問(wèn)中求得的屋頂面積，就可以建立函數(shù)關(guān)系式．題型二、與球、圓有關(guān)的應(yīng)用題例2、(2018蘇北四市期末）某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1，為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2，已知圓O的半徑為10cm，設(shè)∠BAO＝θ，0<θ<eq\f(π,2)，圓錐的側(cè)面積為Scm2.(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；(2)為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大，求S取得最大值時(shí)腰AB的長(zhǎng)度．（圖1）（圖2）eq\a\vs4\al(思路分析)(1)母線長(zhǎng)l是OA在AB上的射影的兩倍，可用θ表示．底面半徑r是l在底面上的射影，可用l和θ表示．從而S＝πrl可用θ表示；(2)求導(dǎo)數(shù)，找導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，列表確定極大值，唯一的極大值也是最大值．規(guī)范解答(1)設(shè)AO交BC于點(diǎn)D，過(guò)O作OE⊥AB，垂足為E.在△AOE中，AE＝10cosθ，AB＝2AE＝20cosθ.(2分)在△ABD中，BD＝AB·sinθ＝20cosθ·sinθ，(4分)所以S＝eq\f(1,2)·2π·20sinθcosθ·20cosθ＝400πsinθcos2θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2))).(6分)(2)由(1)得S＝400πsinθcos2θ＝400π(sinθ－sin3θ)．(8分)令x＝sinθ(0<x<1)，設(shè)f(x)＝x－x3，則f′(x)＝1－3x2，由f′(x)＝1－3x2＝0得x＝eq\f(\r(3),3).當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))f′(x)＋0－f(x)極大值所以f(x)在x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)取得極大值，也是最大值．所以當(dāng)sinθ＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，側(cè)面積S取得最大值，(11分)此時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)AB＝20cosθ＝20eq\r(1－sin2θ)＝20eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(20\r(6),3)(cm)．答：側(cè)面積S取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰AB的長(zhǎng)度為eq\f(20\r(6),3)cm.(14分)例3、（2019秋?閔行區(qū)校級(jí)月考）某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN（P為圓弧的中點(diǎn)）和線段MN構(gòu)成，已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米，現(xiàn)規(guī)范在此農(nóng)田修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為梯形MNBA，其中AB∥MN，且AB＜MN，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△ABP，要求A、B均在圓弧上，設(shè)OB與MN所成的角為θ．（1）用θ表示多邊形MAPBN的面積，并確定sinθ的取值范圍；（2）若分別在兩個(gè)大棚內(nèi)種植兩種不同的蔬菜，且這兩種蔬菜單位面積的年產(chǎn)值相等，求當(dāng)θ為何值時(shí)，能使種植蔬菜的收益最大．【解析】解：（1）等腰梯形MNBA的高為OBsinθ+10＝40sinθ+10，AB＝2OBcosθ＝80cosθ，MN＝2402-1∴等腰梯形MNBA的面積為12（80cosθ+2015）×（40sinθ+10）＝1600sinθcosθ+400cosθ+40015sinθ+10015等腰三角形PAB中，P到AB的距離為OP﹣OBsinθ＝40（1﹣sinθ），故等腰三角形PAB的面積為12?80cosθ?40（1﹣sinθ）＝1600cosθ﹣1600sinθcosθ∴多邊形MAPBN的面積為SMAPBN＝40015sinθ+2000cosθ+10015．∵AB＜MN，∴0＜80cosθ＜2015，即0＜cosθ＜15∴14＜sinθ＜（2）令f（θ）＝40015sinθ+2000cosθ+10015=400（15sinθ+5cosθ）+10015＝400?210sin（θ+φ）+10015．其中sinφ=5210，cosφ=152∴當(dāng)θ+φ=π2即θ=π2-arctan15【點(diǎn)睛】本題考查了解析式求解，三角函數(shù)恒等變換，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．題型三、與柱和錐有關(guān)的應(yīng)用題例4、如圖，某工廠根據(jù)生產(chǎn)需要制作一種下部是圓柱、上部是圓錐的封閉型組合體存儲(chǔ)設(shè)備，該組合體總高度為8米，圓柱的底面半徑為4米，圓柱的高不小于圓柱的底面半徑．已知制作圓柱側(cè)面和底面的造價(jià)均為每平米2百元，制作圓錐側(cè)面的造價(jià)為每平米4百元，設(shè)制作該存儲(chǔ)設(shè)備的總費(fèi)用為y百元．（1）設(shè)∠SDO1(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）求制作該存儲(chǔ)設(shè)備總費(fèi)用的最小值．解析（1）因?yàn)椋?所以y2S底面+2S圓柱側(cè)4S圓錐側(cè)=32+32+=160+64(≤).（2）由（1）知y=160+64(≤)，設(shè)，， 因?yàn)椤埽?，所以，?，]上單調(diào)遞減， 所以，當(dāng)時(shí)，y取到最小值． 題型四、復(fù)雜幾何體有關(guān)的應(yīng)用題例5、(2017蘇州預(yù)測(cè)卷）如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐和構(gòu)成，兩個(gè)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過(guò)連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點(diǎn)與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長(zhǎng)為y．（1）設(shè)∠O1AO=(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時(shí)，金屬條總長(zhǎng)y最?。馕觯?）在直角△OAO1中，，，由，所以，所以θ的范圍是，其中，．從而有，所以（，）．（2）令，所以，令，則，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．函數(shù)的單調(diào)性與關(guān)系列表如下：0+極小值所以，其中取得最小值．答：當(dāng)角滿足（）時(shí)，金屬條總長(zhǎng)y最?。_(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、(2017南京、鹽城二模）在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒(如圖)．設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米，其中a≥b.(1)當(dāng)a＝90時(shí)，求紙盒側(cè)面積的最大值；(2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．思路分析(1)紙盒側(cè)面積S(x)是關(guān)于x的函數(shù)，即求S(x)max.(2)先猜想并證明a＝b時(shí)，底面積取最大，這樣問(wèn)題變?yōu)榍篌w積關(guān)于x的函數(shù)的最大值．規(guī)范解答(1)當(dāng)a＝90時(shí)，b＝40，紙盒的底面矩形的長(zhǎng)為90－2x，寬為40－2x，周長(zhǎng)為260－8x.所以紙盒的側(cè)面積S(x)＝(260－8x)x＝－8x2＋260x，其中x∈(0,20)，(3分)故S(x)max＝Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,4)))＝eq\f(4225,2).答：當(dāng)a＝90時(shí)，紙盒側(cè)面積的最大值為eq\f(4225,2)平方厘米．(6分)(2)紙盒的體積V＝(a－2x)(b－2x)x，其中x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)))，a≥b＞0，且ab＝3600.(8分)因?yàn)?a－2x)(b－2x)＝ab－2(a＋b)x＋4x2≤ab－4eq\r(ab)x＋4x2＝4(x2－60x＋900)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝60時(shí)取等號(hào)，所以V≤4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)．(10分)記f(x)＝4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)，則f′(x)＝12(x－10)(x－30)，令f′(x)＝0，得x＝10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f′(x)＋0－f(x)極大值由上表可知，f(x)的極大值是f(10)＝16000，也是最大值．(12分)答：當(dāng)a＝b＝60，且x＝10時(shí)，紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米．(14分)解后反思因?yàn)閍＝eq\f(3600,b)，所以第(2)題實(shí)際上是體積V關(guān)于兩個(gè)變量b，x的最值問(wèn)題．先固定x，處理變量b，再處理x.另外，對(duì)于求f(x)的最大值，學(xué)習(xí)過(guò)《不等式選講》的學(xué)生也可用下面的解法．因?yàn)閤∈(0,30)，所以f(x)＝4x(30－x)2＝2·2x(30－x)(30－x)≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋30－x＋30－x,3)))3＝16000，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10時(shí)取等號(hào)．2、(2017徐州、連云港、宿遷三檢））某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示．圓的圓心與矩形對(duì)角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切(為上切點(diǎn))，與左右兩邊相交(，為其中兩個(gè)交點(diǎn))，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1m，且．設(shè)，透光區(qū)域的面積為．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；（2）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好．當(dāng)該比值最大時(shí)，求邊的長(zhǎng)度．規(guī)范解答（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，所以，．……………2分所以，………………6分因?yàn)?，所以，所以定義域?yàn)椋?分（2）矩形窗面的面積為．則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為．…10分設(shè)，．則，………………12分因?yàn)?，所以，所以，故，所以函?shù)在上單調(diào)減．所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)(m)．…14分答：（1）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，定義域?yàn)椋唬?）透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時(shí)，的長(zhǎng)度為1（m）．………16分點(diǎn)評(píng)：本題考生失分的原因是第（2）小題中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不會(huì)求解或不敢求解，所以提醒考生在備考中注意回歸基本概念公式，同時(shí)注意查漏補(bǔ)缺，避免無(wú)效的重復(fù)，切實(shí)提高復(fù)習(xí)效益。3、(2016南通、揚(yáng)州、泰州、淮安三調(diào)）某賓館在裝修時(shí)，為了美觀，欲將客房的窗戶設(shè)計(jì)成半徑為1m的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個(gè)區(qū)域，其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形，現(xiàn)計(jì)劃將矩形ABCD區(qū)域設(shè)計(jì)為可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD為正方形，且面積大于eq\f(1,4)m2(木條寬度忽略不計(jì))，求四根木條總長(zhǎng)的取值范圍；(2)若四根木條總長(zhǎng)為6m，求窗口ABCD面積的最大值．eq\a\vs4\al(思路分析)第(1)問(wèn)，注意到四邊形ABCD為正方形，所以四根木條的長(zhǎng)度相等，以木條的長(zhǎng)度x為自變量，將正方形的面積表示為x的函數(shù)，根據(jù)四邊形ABCD的面積的要求，以及“四根木條將圓分成9個(gè)區(qū)域”來(lái)求出四根木條的總長(zhǎng)度的取值范圍；第(2)問(wèn)，由于四根木條的總長(zhǎng)為6m，所以AB，BC所在的木條的長(zhǎng)度之和為3m，因此，可以選擇AB所在的木條的長(zhǎng)度為自變量a，求出四邊形ABCD的面積的表達(dá)式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法來(lái)求出它的最大值；或者，選擇雙變量，即AB，BC所在的木條的長(zhǎng)度為自變量a，b，建立四邊形ABCD的面積的表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式來(lái)求它的最大值．規(guī)范解答(1)設(shè)一根木條長(zhǎng)為xm，則正方形的邊長(zhǎng)為2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2)＝eq\r(4－x2)m.(2分)因?yàn)镾四邊形ABCD>eq\f(1,4)，所以4－x2>eq\f(1,4)，即x<eq\f(\r(15),2).(4分)又因?yàn)樗母緱l將圓分成9個(gè)區(qū)域，所以x>eq\r(2)，所以4eq\r(2)<4x<2eq\r(15).答：四根木條總長(zhǎng)的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，2\r(15))).(6分)(2)解法1設(shè)AB所在的木條長(zhǎng)為am，則BC所在的木條長(zhǎng)為(3－a)m.因?yàn)閍∈(0,2)，3－a∈(0,2)，所以a∈(1,2)．(8分)S矩形ABCD＝4eq\r(1－\f(a2,4))·eq\r(1－\f(3－a2,4))＝eq\r(4－a2)·eq\r(4－3－a2)＝eq\r(a4－6a3＋a2＋24a－20)，(11分)設(shè)f(a)＝a4－6a3＋a2＋24a－20，則f′(a)＝4a3－18a2＋2a＋24＝2(a＋1)(2a－3)(a－4)，令f′(a)＝0，得a＝eq\f(3,2)或a＝－1(舍去)或a＝4(舍去)．(14分)列表如下：aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))f′(a)＋0－f(a)極大值所以當(dāng)a＝eq\f(3,2)時(shí)，f(a)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(49,16)，即Smax＝eq\f(7,4).答：窗口ABCD面積的最大值為eq\f(7,4)m2.(16分)解法2設(shè)AB所在的木條長(zhǎng)為am，BC所在的木條長(zhǎng)為bm.由條件知，2a＋2b＝6，即a＋b＝3.因?yàn)閍，b∈(0,2)，所以b＝3－a∈(0,2)，從而a，b∈(1,2)．(8分)由于AB＝2eq\r(1－\f(b2,4))，BC＝2eq\r(1－\f(a2,4))，S矩形ABCD＝4eq\r(1－\f(b2,4))·eq\r(1－\f(a2,4))＝eq\r(4－b2)·eq\r(4－a2)，(10分)因?yàn)閑q\r(4－b2)·eq\r(4－a2)≤eq\f(8－a2＋b2,2)≤eq\f(8－\f(a＋b2,2),2)＝eq\f(7,4)，(14分)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(3,2)∈(1,2)時(shí)，S矩形ABCD＝eq\f(7,4).答：窗口ABCD面積的最大值為eq\f(7,4)m2.(16分)eq\a\vs4\al(易錯(cuò)警示)第(1)問(wèn)中，最容易出錯(cuò)的地方是忽略“四根木條將圓分成9個(gè)區(qū)域”這一條件，從而導(dǎo)致變量的取值范圍出錯(cuò)．eq\a\vs4\al(解后反思)本題的本質(zhì)是直線