數(shù)列的概念與通項公式-課件

(必修5)第二章數(shù)列第32講數(shù)列的概念與通項公式(必修5)第二章數(shù)列第32講數(shù)列的概念與通項公知識體系知識體系1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）.2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).3.會用觀察法、遞推法等求數(shù)列的通項公式.1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式1.以下關(guān)于數(shù)列的敘述：①數(shù)列是以正整數(shù)集為定義域的函數(shù)；②數(shù)列都有通項，且是惟一的；③數(shù)列只能用通項公式的方法來表示；④既不是遞增也不是遞減的數(shù)列,則為常數(shù)列;⑤數(shù)列1,1,2,3,5,8與數(shù)列8,5,3,2,1,1是同一數(shù)列;⑥對所有的n∈N*，都有an+3=an，則數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列.其中正確的結(jié)論有()BA.0個B.1個C.3個D.5個1.以下關(guān)于數(shù)列的敘述：BA.0個B.1個本題是考查數(shù)列及相關(guān)概念的題，在解題過程中，每一個敘述都有可能判斷錯誤，故需一一給予剖析：命題①，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N+（或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數(shù)；命題②，不是每一個數(shù)列都有通項，有的數(shù)列不存在通項；另外，有通項公式的數(shù)列，通項公式也不一定惟一；命題③，數(shù)列除了用通項公式表示外還可以用列表法和圖象法表示；命題④，數(shù)列存在遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列，還有擺動數(shù)列；命題⑤，數(shù)列是有序的；⑥正確.本題是考查數(shù)列及相關(guān)概念的題2.數(shù)列-1,7,-13,19，…的一個通項公式是an=

.(-1)n(6n-5)符號問題可通過(-1)n或(-1)n+1表示，其各項的絕對值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對值總比它前面數(shù)的絕對值大6，故通項公式為an=(-1)n(6n-5).2.數(shù)列-1,7,-13,19，…的一個通項公式是an=3.如果數(shù)列{an}的前n項的和Sn=n2，那么這個數(shù)列的通項公式是

.an=2n-1

a1=S1=1，所以a1=1，當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1.經(jīng)檢驗，a1符合上式，所以an=2n-1.3.如果數(shù)列{an}的前n項的和Sn=n2，那么這個數(shù)列的通4.在數(shù)列{an}中，若an+1=，a1=1，則a6=

.因為an+1=a2==,a3==，a4==，a5==，a6==.4.在數(shù)列{an}中，若an+1=5.已知數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an+1=an-t(an≥t)

t+2-an(an<t),且t<a1<t+1,其中t>2，若an+k=an(k∈N*)，則實數(shù)k的最小值是

.4因為t<a1<t+1，所以a2=a1-t<1<t，故a3=t+2-a2=2t+2-a1>t,a4=a3-t=t+2-a1<t，a5=t+2-a4=a1，所以最小正周期為4，故k的最小值為4.5.已知數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an+1=an-t1.數(shù)列的概念(1)數(shù)列是按一定①

排列的一列數(shù)，記作a1,a2,a3,…,an,…，簡記{an}.(2)數(shù)列{an}的第n項an與項數(shù)n的關(guān)系若能用一個公式an=f(n)給出，則這個公式叫做這個數(shù)列的②

.順序通項公式1.數(shù)列的概念順序通項公式(3)數(shù)列可以看做定義域為N*(或其子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量由小到大依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖象是一群③

.2.數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有：列舉法、圖示法、解析法（用通項公式表示）和遞推法（用遞推關(guān)系表示）.孤立的點(3)數(shù)列可以看做定義域為N*(或其子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量由3.數(shù)列分類(1)按照數(shù)列的項數(shù)分④

、

.(2)按照任何一項的絕對值是否超過某一正常數(shù)分:⑤

、

.(3)從函數(shù)單調(diào)性角度考慮分：遞增數(shù)列、⑥

、常數(shù)列、⑦

.4.數(shù)列通項an與前n項和Sn的關(guān)系(1)Sn=a1+a2+a3+…+an；(2)an=⑧

.有窮數(shù)列無窮數(shù)列有界數(shù)列無界數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)3.數(shù)列分類有窮數(shù)列無窮數(shù)列有界數(shù)列無界數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列題型一觀察法寫數(shù)列的通項公式例1求下列數(shù)列的一個通項公式：(1)1,-1,1,-1,…;(2)3,5,9,17,33,…;(3),2,,8,,…;(4)1,0,-1,0,1,0,-1,0,….題型一觀察法寫數(shù)列的通項公式例1求下列

(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.(2)an=2n+1.(3)an=.(4)an=sin.已知數(shù)列的前n項，寫出數(shù)列的通項公式，主要從以下幾個方面來考慮：

(1)符號用(-1)n與(-1)n+1(或(-1)n-1)來調(diào)節(jié)，這是因為n和n+1奇偶交錯.(1)an=(-1)n+1或an=cos(2)分式形式的數(shù)列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母的關(guān)系.(3)對于比較復(fù)雜的通項公式，要借助等差數(shù)列、等比數(shù)列（后面將學(xué)到）和其他方法來解決.(4)此類問題雖無固定模式，但也有其規(guī)律可循，主要靠觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知的數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列）等方法.(2)分式形式的數(shù)列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子題型二利用數(shù)列前n項和公式求通項例2已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，分別求其通項公式.

(1)Sn=3n-2；

(2)Sn=(an+2)2(an>0).題型二利用數(shù)列前n項和公式求通項例2

(1)當(dāng)n=1時，a1=S1=1;當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）=2·3n-1.由于a1=1不適合上式，因此數(shù)列{an}的通項公式為1（n=1）2·3n-1（n∈N*，且n≥2）.an=(1)當(dāng)n=1時，a1=S1=1;an(2)當(dāng)n=1時，a1=S1=(a1+2)2，解得a1=2.當(dāng)n≥2時,Sn=Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2,所以(an-2)2-(an-1+2)2=0，所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0，又an>0，所以an-an-1=4，可知{an}為等差數(shù)列，公差為4,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·4=4n-2,a1=2也適合上式，故an=4n-2.(2)當(dāng)n=1時，a1=S1=(a1+2)2，解得S1(n=1)

Sn-Sn-1(n≥2)求數(shù)列的通項，特別要注意驗證a1的值是否滿足“n≥2”的通項公式；同時認(rèn)清“an+1-an=d（常數(shù)）(n≥2)”與“an-an-1=d（d為常數(shù)，n≥2）”的細(xì)微差別.本例的關(guān)鍵是應(yīng)用an=

題型三利用遞推公式求數(shù)列的通項例3根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列的通項公式：（1）a1=2，an+1=an+n；（2）a1=1，an-1=2n-1an.

（1）將遞推關(guān)系寫成n-1個等式累加，即“累加法”.（2）將遞推關(guān)系寫成n-1個等式相乘，即“累積法”或用逐項迭代法.題型三利用遞推公式求數(shù)列的通項例3(1)(方法一)an+1=an+n，所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,an=an-1+(n-1),所以a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，所以an=+2=.(1)(方法一)an+1=an+n，(方法二)因為an+1-an=n，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+2=+2=.(方法二)因為an+1-an=n，(2)(方法一)因為an=

,所a2=,a3=,a4=,…,an=,相乘得a2·a3·…·an=··…·an==.(方法二)因為=，所以an=··…···a1=··…·××1=.(2)(方法一)因為an=,已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項公式的方法大致分為兩類：一是根據(jù)前幾項的特點歸納猜想出an的通項公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；二是將已知遞推關(guān)系整理，變形為可用“累加法”“累乘法”或新的等差數(shù)列、等比數(shù)列等，再求其通項.已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列數(shù)列通項公式的求法：①觀察分析法；

S1(n=1)

Sn-Sn-1(n≥２);③轉(zhuǎn)化成等差、等比數(shù)列；④迭加、累乘法（見第34講）.②公式法:an=數(shù)列通項公式的求法：②公式法:an=9、有時候讀書是一種巧妙地避開思考的方法。2022/10/282022/10/28Friday,October28,202210、閱讀一切好書如同和過去最杰出的人談話。2022/10/282022/10/282022/10/2810/28/202212:44:43AM11、越是沒有本領(lǐng)的就越加自命不凡。2022/10/282022/10/282022/10/28Oct-2228-Oct-2212、越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯兒。2022/10/282022/10/282022/10/28Friday,October28,202213、知人者智，自知者明。勝人者有力，自勝者強。2022/10/282022/10/282022/10/282022/10/2810/28/202214、意志堅強的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。28十月20222022/10/282022/10/282022/10/2815、最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。。十月222022/10/282022/10/282022/10/2810/28/202216、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2022/10/282022/10/2828October202217、一個人即使已登上頂峰，也仍要自強不息。2022/10/282022/10/282022/10/282022/10/28謝謝觀賞

Youmademyday!我們，還在路上……9、有時候讀書是一種巧妙地避開思考的方法。2022/10/2(必修5)第二章數(shù)列第32講數(shù)列的概念與通項公式(必修5)第二章數(shù)列第32講數(shù)列的概念與通項公知識體系知識體系1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）.2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).3.會用觀察法、遞推法等求數(shù)列的通項公式.1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式1.以下關(guān)于數(shù)列的敘述：①數(shù)列是以正整數(shù)集為定義域的函數(shù)；②數(shù)列都有通項，且是惟一的；③數(shù)列只能用通項公式的方法來表示；④既不是遞增也不是遞減的數(shù)列,則為常數(shù)列;⑤數(shù)列1,1,2,3,5,8與數(shù)列8,5,3,2,1,1是同一數(shù)列;⑥對所有的n∈N*，都有an+3=an，則數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列.其中正確的結(jié)論有()BA.0個B.1個C.3個D.5個1.以下關(guān)于數(shù)列的敘述：BA.0個B.1個本題是考查數(shù)列及相關(guān)概念的題，在解題過程中，每一個敘述都有可能判斷錯誤，故需一一給予剖析：命題①，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N+（或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數(shù)；命題②，不是每一個數(shù)列都有通項，有的數(shù)列不存在通項；另外，有通項公式的數(shù)列，通項公式也不一定惟一；命題③，數(shù)列除了用通項公式表示外還可以用列表法和圖象法表示；命題④，數(shù)列存在遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列，還有擺動數(shù)列；命題⑤，數(shù)列是有序的；⑥正確.本題是考查數(shù)列及相關(guān)概念的題2.數(shù)列-1,7,-13,19，…的一個通項公式是an=

.(-1)n(6n-5)符號問題可通過(-1)n或(-1)n+1表示，其各項的絕對值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對值總比它前面數(shù)的絕對值大6，故通項公式為an=(-1)n(6n-5).2.數(shù)列-1,7,-13,19，…的一個通項公式是an=3.如果數(shù)列{an}的前n項的和Sn=n2，那么這個數(shù)列的通項公式是

.an=2n-1

a1=S1=1，所以a1=1，當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1.經(jīng)檢驗，a1符合上式，所以an=2n-1.3.如果數(shù)列{an}的前n項的和Sn=n2，那么這個數(shù)列的通4.在數(shù)列{an}中，若an+1=，a1=1，則a6=

.因為an+1=a2==,a3==，a4==，a5==，a6==.4.在數(shù)列{an}中，若an+1=5.已知數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an+1=an-t(an≥t)

t+2-an(an<t),且t<a1<t+1,其中t>2，若an+k=an(k∈N*)，則實數(shù)k的最小值是

.4因為t<a1<t+1，所以a2=a1-t<1<t，故a3=t+2-a2=2t+2-a1>t,a4=a3-t=t+2-a1<t，a5=t+2-a4=a1，所以最小正周期為4，故k的最小值為4.5.已知數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an+1=an-t1.數(shù)列的概念(1)數(shù)列是按一定①

排列的一列數(shù)，記作a1,a2,a3,…,an,…，簡記{an}.(2)數(shù)列{an}的第n項an與項數(shù)n的關(guān)系若能用一個公式an=f(n)給出，則這個公式叫做這個數(shù)列的②

.順序通項公式1.數(shù)列的概念順序通項公式(3)數(shù)列可以看做定義域為N*(或其子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量由小到大依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖象是一群③

.2.數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有：列舉法、圖示法、解析法（用通項公式表示）和遞推法（用遞推關(guān)系表示）.孤立的點(3)數(shù)列可以看做定義域為N*(或其子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量由3.數(shù)列分類(1)按照數(shù)列的項數(shù)分④

、

.(2)按照任何一項的絕對值是否超過某一正常數(shù)分:⑤

、

.(3)從函數(shù)單調(diào)性角度考慮分：遞增數(shù)列、⑥

、常數(shù)列、⑦

.4.數(shù)列通項an與前n項和Sn的關(guān)系(1)Sn=a1+a2+a3+…+an；(2)an=⑧

.有窮數(shù)列無窮數(shù)列有界數(shù)列無界數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)3.數(shù)列分類有窮數(shù)列無窮數(shù)列有界數(shù)列無界數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列題型一觀察法寫數(shù)列的通項公式例1求下列數(shù)列的一個通項公式：(1)1,-1,1,-1,…;(2)3,5,9,17,33,…;(3),2,,8,,…;(4)1,0,-1,0,1,0,-1,0,….題型一觀察法寫數(shù)列的通項公式例1求下列

(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.(2)an=2n+1.(3)an=.(4)an=sin.已知數(shù)列的前n項，寫出數(shù)列的通項公式，主要從以下幾個方面來考慮：

(1)符號用(-1)n與(-1)n+1(或(-1)n-1)來調(diào)節(jié)，這是因為n和n+1奇偶交錯.(1)an=(-1)n+1或an=cos(2)分式形式的數(shù)列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母的關(guān)系.(3)對于比較復(fù)雜的通項公式，要借助等差數(shù)列、等比數(shù)列（后面將學(xué)到）和其他方法來解決.(4)此類問題雖無固定模式，但也有其規(guī)律可循，主要靠觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知的數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列）等方法.(2)分式形式的數(shù)列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子題型二利用數(shù)列前n項和公式求通項例2已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，分別求其通項公式.

(1)Sn=3n-2；

(2)Sn=(an+2)2(an>0).題型二利用數(shù)列前n項和公式求通項例2

(1)當(dāng)n=1時，a1=S1=1;當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）=2·3n-1.由于a1=1不適合上式，因此數(shù)列{an}的通項公式為1（n=1）2·3n-1（n∈N*，且n≥2）.an=(1)當(dāng)n=1時，a1=S1=1;an(2)當(dāng)n=1時，a1=S1=(a1+2)2，解得a1=2.當(dāng)n≥2時,Sn=Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2,所以(an-2)2-(an-1+2)2=0，所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0，又an>0，所以an-an-1=4，可知{an}為等差數(shù)列，公差為4,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·4=4n-2,a1=2也適合上式，故an=4n-2.(2)當(dāng)n=1時，a1=S1=(a1+2)2，解得S1(n=1)

Sn-Sn-1(n≥2)求數(shù)列的通項，特別要注意驗證a1的值是否滿足“n≥2”的通項公式；同時認(rèn)清“an+1-an=d（常數(shù)）(n≥2)”與“an-an-1=d（d為常數(shù)，n≥2）”的細(xì)微差別.本例的關(guān)鍵是應(yīng)用an=

題型三利用遞推公式求數(shù)列的通項例3根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列的通項公式：（1）a1=2，an+1=an+n；（2）a1=1，an-1=2n-1an.

（1）將遞推關(guān)系寫成n-1個等式累加，即“累加法”.（2）將遞推關(guān)系寫成n-1個等式相乘，即“累積法”或用逐項迭代法.題型三利用遞推公式求數(shù)列的通項例3(1)(方法一)an+1=an+n，所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,an=an-1+(n-1),所以a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，所以an=+2=.(1)(方法一)an+1=an+n，(方法二)因為an+1-an=n，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+2=+2=.(方法二)因為an+1-an=n，(2)(方法一)因為an=

,所a2=,a3=,a4=,…,an=,相乘得a2·a3·…·an=··…·an=