微積分課件-第一章

《高等數(shù)學(xué)》A第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

氣溫的變化，河水的流動(dòng)，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著，反映在函數(shù)關(guān)系上是函數(shù)的連續(xù)性。

當(dāng)時(shí)間變化很微小時(shí)，氣溫的變化也很微小，一般的，當(dāng)自變量改變很微小時(shí)，因變量也很微小，這個(gè)特性稱為連續(xù)性。

連續(xù)函數(shù)在圖像上是一條連續(xù)無(wú)間斷點(diǎn)的曲線。函數(shù)的連續(xù)性(continuity)連續(xù)的定義右連續(xù)xab右連續(xù)左連續(xù)連續(xù)

左連續(xù)1，如果函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)連續(xù),

則必須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：(1)f(x)在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義極限值存在極限值與函數(shù)值相等評(píng)注:◆連續(xù)性舉例例1.

討論絕對(duì)值函數(shù)在x=0處的連續(xù)性.解

因?yàn)樗运运越^對(duì)值函數(shù)在

x=0處連續(xù)證例3證明由定義,例4.

設(shè)有函數(shù),問(wèn)為何值時(shí),函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)?解

因?yàn)橐购瘮?shù)在點(diǎn)連續(xù),則應(yīng)有所以函數(shù)的間斷點(diǎn)若函數(shù)有下列三種情形之一：則稱函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。

不連續(xù)點(diǎn)即為間斷點(diǎn)(1)在沒(méi)有定義。(2)在有定義，但極限不存在。(3)在有定義，且極限存在，但間斷程度的直觀圖解(1)最糟的間斷：間斷程度的直觀圖解(2)不太糟的間斷：間斷程度的直觀圖解(3)離連續(xù)僅差一步的間斷：間斷程度的直觀圖解(4)連續(xù)：函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類

第一類間斷點(diǎn)——左、右極限都存在的間斷點(diǎn)?？扇ラg斷點(diǎn)——左、右極限相等的第一類間斷點(diǎn)。跳躍間斷點(diǎn)——左、右極限不相等的第一類間斷點(diǎn)。

第二類間斷點(diǎn)——非第一類的間斷點(diǎn)。無(wú)窮間斷點(diǎn)——使函數(shù)為無(wú)窮大的間斷點(diǎn)。振蕩間斷點(diǎn)——極限不存在，也非無(wú)窮大的間斷點(diǎn)。

可去間斷點(diǎn)(1)——第一類點(diǎn)x=1

是函數(shù)f(x)的可去間斷點(diǎn)

可通過(guò)改變函數(shù)f(x)在x=1

處的定義，令f(x)=1，則f(x)在x=1成為連續(xù)。xyo11/21在x=1連續(xù)函數(shù)

跳躍間斷點(diǎn)——第一類yxo點(diǎn)x=0是函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn)。解

這是一個(gè)初等函數(shù)，其定義域?yàn)檎页龊瘮?shù)的間斷點(diǎn)，并判別其類型。而

所以，x=1是函數(shù)的第一類的可去間斷點(diǎn)；x=2是函數(shù)的第二類的無(wú)窮間斷點(diǎn)。不存在而例題解由的定義可知，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)而所以，x=1是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn))