2023年新高考數(shù)學(xué)模擬卷（一）含答案解析

2023年2023年新高考模擬卷（一）本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解指數(shù)不等式和對數(shù)不等式得集合，然后由交集定義計算．【詳解】由題意，，所以．故選：C．2．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對應(yīng)，設(shè)，則=（）A．B．1C．2D．【答案】D【分析】依題意可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，即可求出其模；【詳解】解：由題設(shè)可得：，，∴，∴，故選：D.3．足球起源于中國東周時期的齊國，當(dāng)時把足球稱為“蹴鞠”.漢代蹴鞠是訓(xùn)練士兵的手段，制定了較為完備的體制.如專門設(shè)置了球場，規(guī)定為東西方向的長方形，兩端各設(shè)六個對稱的“鞠域”，也稱“鞠室”，各由一人把守.比賽分為兩隊(duì)，互有攻守，以踢進(jìn)對方鞠室的次數(shù)決定勝負(fù).年以前的世界杯用球多數(shù)由舉辦國自己設(shè)計，所以每一次球的外觀都不同，拼塊的數(shù)目如同擲骰子一樣沒準(zhǔn).自年起，世界杯官方用球選擇了三十二面體形狀的足球，沿用至今.如圖Ⅰ，三十二面體足球的面由邊長相等的塊正五邊形和塊正六邊形拼接而成，形成一個近似的球體.現(xiàn)用邊長為的上述正五邊形和正六邊形所圍成的三十二面體的外接球作為足球，其大圓圓周展開圖可近似看成是由個正六邊形與個正五邊形以及條正六邊形的邊所構(gòu)成的圖形的對稱軸截圖形所得的線段，如圖Ⅱ，則該足球的體積約為（）參考數(shù)據(jù)：，，，，.A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)正五邊形的邊長為，則，如下圖，在正五邊形中，內(nèi)角為，邊長為，中，，，因?yàn)樵谡呅沃?，?nèi)角為，邊長為，正六邊形的軸長為，所以大圓的周長為，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，該足球的體積為.故選：A.4．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)化為，求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，即可得出答案.【詳解】解：，因?yàn)椋瑒t，又因函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得.當(dāng)時，.故選：B.5．已知橢圓，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】計算出的取值范圍，結(jié)合橢圓的定義可求得的取值范圍.【詳解】對于橢圓，，，，根據(jù)橢圓的定義可得，設(shè)，則，且，即，則，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用橢圓的定義求解代數(shù)式的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.6．已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件可得，結(jié)合條件求出，將所求化為，從而可得答案.【詳解】由，即即，所以，即所以或，由，所以故選：B7．公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就.某教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進(jìn)行隨機(jī)排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)為（

）A．720 B．1440 C．2280 D．4080【答案】C【分析】以間接法去求解這個排列問題簡單快捷.【詳解】一共有7個數(shù)字，且其中有兩個相同的數(shù)字1.這7個數(shù)字按題意隨機(jī)排列，可以得到個不同的數(shù)字.當(dāng)前兩位數(shù)字為11或12時，得到的數(shù)字不大于3.14當(dāng)前兩位數(shù)字為11或12時，共可以得到個不同的數(shù)字，則大于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)為故選：C8．若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程，代入坐標(biāo)，關(guān)于的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，變形后轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)（構(gòu)造新函數(shù)）圖象有兩個交點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的性質(zhì)后可得．【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，因此切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，，設(shè)，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時，恒成立，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，時．，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，由題意知，即．故選：D．二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．（2021·廣東高三月考）若甲組樣本數(shù)據(jù)，，…，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2，方差為4，乙組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)的值為-2 B．乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為36C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同【答案】ABD【解析】由題意可知：，故，故A正確；乙組樣本數(shù)據(jù)方差為，故B正確；設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)不一定相同，故C錯誤；甲組數(shù)據(jù)的極差為，則甲組數(shù)據(jù)的極差為，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同，故D正確；故選：ABD10．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若，，則下列各式正確的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)歐拉線定理可判斷A；利用向量的加、減運(yùn)算可判斷B；利用向量的數(shù)量積可判斷C；利用向量的加法運(yùn)算以及歐拉線定理可判斷D.【詳解】A，由題意可得，即，故A正確；B，由是的重心可得,所以，故B錯誤；C，過的外心分別作的垂線，垂足為，如圖，易知分別是的中點(diǎn)，則，故C正確；D，因?yàn)槭堑闹匦?，所以，故，由歐拉線定理可得,所以，故D正確.故選：ACD11．已知點(diǎn)A是圓C:上的動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且,，，三點(diǎn)順時針排列，下列選項(xiàng)正確的是（）A．點(diǎn)的軌跡方程為B．的最大距離為C．的最大值為D．的最大值為【答案】BD【詳解】如圖，過O點(diǎn)作則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，設(shè)，則，設(shè)，所以，，，所以，，，即點(diǎn)，因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)，可得，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，將代入方程可得，整理可得，所以A是錯的，所以的最大距離為，B是對的，設(shè)，,所以的最大值為2，D是對的.故選：BD10.在棱長為1的正方體中，點(diǎn)，分別足，，其中，，則（）A．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時，點(diǎn)，到平面的距離相等C．當(dāng)時，存在使得平面D．當(dāng)時，【答案】ABD【解析】由即可判斷A；當(dāng)時，點(diǎn)是的中點(diǎn)可判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，計算可判斷C；設(shè)，求出所需各點(diǎn)坐標(biāo)，計算可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對于A：當(dāng)時，，此時點(diǎn)位于點(diǎn)處，三棱錐，為定值，點(diǎn)到面的距離為是定值，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)A正確；對于B：當(dāng)時，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)，到平面的距離相等，故選項(xiàng)B正確；對于C：當(dāng)時，點(diǎn)是的中點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，所以，所以與不垂直，所以不存在使得平面，故選項(xiàng)C不正確；對于D：設(shè)，則，，，所以，，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知函數(shù)，若，則______．【答案】【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，則，故答案為：.14．函數(shù)的最大值為___________.【答案】【分析】由題去絕對值分情況討論，分別求導(dǎo)求最值，即可求得最大值.【詳解】由題知當(dāng)時，，∴∴在為減函數(shù)，∴；當(dāng)時，，∴，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，綜上可知，.故答案為：.15．如圖，以為直徑的圓有一內(nèi)接梯形，且．若雙曲線以，為焦點(diǎn)，且過，兩點(diǎn)，則當(dāng)梯形的周長最大時，雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】連接，設(shè)，將梯形的周長表示成關(guān)于的函數(shù)，求出當(dāng)時，有最大值，即可得到答案；【詳解】連接，設(shè)，，作于點(diǎn)，則，，所以，梯形的周長．當(dāng)，即時，有最大值，這時，，，，．故答案為：16．九連環(huán)是中國的一種古老智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無窮.長期以來，這個益智游戲是數(shù)學(xué)家及現(xiàn)代電子計算機(jī)專家們用于教學(xué)研究的課題和例子.中國的末代皇帝溥儀(1906–1967)也曾有一個精美的由九個翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)(如圖).現(xiàn)假設(shè)有個圓環(huán)，用表示按某種規(guī)則解下個圓環(huán)所需的最小移動次數(shù).已知數(shù)列滿足下列條件：，，，記的前項(xiàng)和為，則：（1）________；（2）________.【答案】.【分析】分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況，由題中條件，利用疊加法，由等比數(shù)列的求和公式，求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可求出；再由分組求和的方法，即可求出.【詳解】（1）當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，∴（2）.故答案為：；.【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中條件，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，利用疊加法（累加法）求出數(shù)列的通項(xiàng)即可；在求數(shù)列的和時，可利用分組求和的方法求解.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17．在①；②,這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并作答.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）判斷△ABC的形狀；（2）在（1）的條件下，若，b＝10，AD為BC邊上的中線，求AD的長.【答案】（1）選①，，由正弦定理理，即，又是三角形內(nèi)角，所以，△ABC是等腰三角形；選②，，由正弦定理得，所以，，又是銳角三角形內(nèi)角，所以或，所以或，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；（2）選①，，則，，，中，由余弦定理得：，；選②，時同選①得，時，，則，，所以，，所以．18．已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，且，都在的圖像上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求取值范圍.【答案】(1)，；(2)；.【分析】（1）由已知建立方程組，求得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可求得答案；（2）由（1）得，分n為奇數(shù)，n為偶數(shù)兩種情況，分別求得，再將不等式等價于，令，由數(shù)列的單調(diào)性可求得答案.(1)解：由題意得，即是方程的兩個根，即是方程的兩個根，又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，解得，所以等差數(shù)列的公差，所以，所以，；(2)解：由（1）得，當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，所以.由，即，得，令，當(dāng)n為奇數(shù)時，，且，當(dāng)n為偶數(shù)時，，且，又，，所以，故取值范圍為.19．綠水青山就是金山銀山，生態(tài)環(huán)境日益受大家重視．2021年廣州市某公司為了動員職工積極參加植樹造林，在3月12日植樹節(jié)期間開展植樹有獎活動，設(shè)有甲、乙兩個摸獎箱，每位植樹者植樹每滿15棵獲得一次甲箱內(nèi)摸獎機(jī)會，植樹每滿25棵獲得一次乙箱內(nèi)摸獎機(jī)會．每箱內(nèi)各有10個球（這些球除顏色外全相同），甲箱內(nèi)有紅、黃、黑三種顏色的球，其中個紅球、個黃球、5個黑球（），乙箱內(nèi)有4個紅球和6個黃球．每次摸出一個球后放回原箱，摸得紅球獎100元，黃球獎50元，摸得黑球則沒有獎金．（1）經(jīng)統(tǒng)計，每人的植樹棵數(shù)服從正態(tài)分布，現(xiàn)有100位植樹者，請估計植樹的棵數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；（2）某人植樹50棵，有兩種摸獎方法：方法一：三次甲箱內(nèi)摸獎機(jī)會；方法二：兩次乙箱內(nèi)摸獎機(jī)會；請問：這位植樹者選哪一種方法所得獎金的期望值較大？附參考數(shù)據(jù)：若，則，．【答案】（1）人；（2）第二種方法所得獎金期望值大.【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布三段區(qū)間的概率值，求特殊區(qū)間概率，進(jìn)而求得植樹在內(nèi)的人數(shù).（2）由題設(shè)，確定甲箱摸獎的概率，注意參數(shù)的取值范圍求期望值的最值，再由乙箱摸獎的概率求期望值，比較它們的大小.【詳解】（1）由題設(shè)，，而，∴100位植樹者中植樹的棵數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為人.（2）摸甲箱：由題設(shè)知，故中100元、50元、沒中獎的概率分別為、、；摸乙箱：中100元、50元的概率分別為、，∴甲箱內(nèi)一次摸獎，獎金可能值為，且，，，則，∴三次摸獎的期望為，而可能取值為，即.兩次乙箱內(nèi)摸獎，所得獎金可能值為，，，，此時，期望獎金為元.綜上，，故第二種方案摸獎期望值大.20．如圖，在直三棱柱中，，，F(xiàn)為棱上一點(diǎn)，，連接AF，．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，由相似，余弦定理和勾股定理逆定理得到線線垂直，進(jìn)而證明線面垂直，面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.(1)如圖，延長和CB的延長線相交于點(diǎn)E，連接AE，則AE為平面與底面ABC的交線，由已知得，，，所以，由AB、BC的長都為3，AC的長為，得，所以，在三角形ABE中，由余弦定理，得，所以，所以，即，又是直三棱柱，故平面ABC，又平面ABC，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平面?2)以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC，EA所在直線分別為x軸、y軸，平行于的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，則即不妨設(shè)，由（1）得，，，，設(shè)平面的法向量為，則即不妨設(shè)，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．21．設(shè)點(diǎn)，動圓經(jīng)過點(diǎn)F且和直線相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)過點(diǎn)F的直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，另一條與直線平行的直線交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角