2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)直線平面平行的判定及其性質(zhì)新人教B版

PAGEPAGE9直線、平面平行的判定及其性質(zhì)一、選擇題1．若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α與直線l至少有兩個公共點(diǎn)D．α內(nèi)的直線與l都相交B[∵l?α，且l與α不平行，∴l(xiāng)∩α＝P，故α內(nèi)不存在與l平行的直線．故選B．]2．(2021·江蘇南通市高三期末)已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是()A．若m∥n，m∥α，則n∥αB．若α⊥β，m⊥β，則m∥αC．若m∥α，m∥β，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥nD[若m∥n，m∥α，則n可能在α內(nèi)，只要過m作平面β與α相交，交線即可作為直線n，故A錯誤；若α⊥β，m⊥β，則m可能在α內(nèi)，只要m在α內(nèi)垂直于兩平面α，β的交線即有m⊥β，故B錯誤；若m∥α，m∥β，則α，β可能相交，只要m不在α，β內(nèi)，且平行于α，β的交線即可，故C錯誤；若m⊥α，n⊥α，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知m∥n，故D正確；故選D．]3．若平面α∥平面β，直線a?α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)過點(diǎn)B的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一一條與a平行的直線D[因?yàn)橹本€a與點(diǎn)B可確定一個平面，該平面與平面β的交線即為在平面β內(nèi)過點(diǎn)B，且與直線a平行的直線，所以只有唯一一條．]4．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，AC交BD于點(diǎn)O，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，則λ的值為()A．1B．eq\f(3,2)C．2D．3D[設(shè)AO交BE于點(diǎn)G，連接FG．∵O，E分別是BD，AD的中點(diǎn)，∴eq\f(AG,AO)＝eq\f(2,3)，則有eq\f(AG,AC)＝eq\f(1,3)，∵PC∥平面BEF，平面BEF∩平面PAC＝GF，∴GF∥PC，則eq\f(AF,AP)＝eq\f(AG,AC)＝eq\f(1,3)，即λ＝3．]5．如圖，已知平面α∥平面β，點(diǎn)P為α，β外一點(diǎn)，直線PB，PD分別與α，β相交于A，B和C，D，則AC與BD的位置關(guān)系為()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面A[由題意知：P，A，B，C，D在同一平面內(nèi)，且平面PBD∩平面α＝AC，平面PBD∩平面β＝BD，∵平面α∥平面β，∴AC∥BD．]6．若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有()A．0條 B．1條C．2條 D．0條或2條C[如圖，設(shè)平面α截三棱錐所得的四邊形EFGH是平行四邊形，則EF∥GH，EF?平面BCD，GH?平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，則EF∥CD，EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，則CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以該三棱錐與平面α平行的棱有2條，故選C．]二、填空題7．對于不重合直線a，b，不重合平面α，β，γ，下列四個條件中，能推出α∥β的有．(填寫所有正確的序號)①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a∥b，a⊥α，b⊥β．②④[對于①，當(dāng)γ⊥α，γ⊥β時，α與β相交，或α與β平行；對于②，當(dāng)α∥γ，β∥γ時，根據(jù)平行平面的公理得α∥β；對于③，當(dāng)a∥α，a∥β時，α與β相交，或α與β平行；對于④，當(dāng)a∥b時，若a⊥α，則b⊥α，又b⊥β，∴α∥β．綜上，能推出α∥β的是②④．]8．若正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，若P為AE的中點(diǎn)，Q在BD上，若PQ∥平面BCE，則點(diǎn)Q的位置是．BD的中點(diǎn)[當(dāng)Q為BD的中點(diǎn)時，PQ∥平面BCE，證明如下：連接AC．∵四邊形ABCD為正方形，∴AC∩BD＝Q，且Q為AC的中點(diǎn)．又P為AE的中點(diǎn)，∴PQ∥EC．又PQ?平面BCE，EC?平面BCE，∴PQ∥平面BCE．∴點(diǎn)Q為BD的中點(diǎn)時，PQ∥平面BCE．]9．棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是．eq\f(9,2)[如圖，由面面平行的性質(zhì)知截面與平面ABB1A1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為eq\f(9,2)．]三、解答題10．(2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三月考)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，AA1⊥平面ABC，已知AB＝2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D是A1B1的中點(diǎn)，E、F、G分別是AC，BC，CD的中點(diǎn)．(1)求FG與BB1所成角的大小；(2)求證：平面EFG∥平面ABB1A1．[解](1)連接DB(圖略)，因?yàn)镚，F(xiàn)分別是DC，BC的中點(diǎn)，所以GF∥BD，所以異面直線FG與BB1所成角即為直線DB與BB1所成的角，在直角△DB1B中，由DB1＝1，BB1＝eq\r(3)，可得tan∠DBB1＝eq\f(DB1,BB1)＝eq\f(\r(3),3)，所以∠DBB1＝30°．(2)證明：由(1)知GF∥BD，BD?平面ABB1A1，GF?平面ABB1A1，所以GF∥平面ABB1A1，因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，所以EF∥AB，因?yàn)锳B?平面ABB1A1，且EF?平面ABB1A1，所以EF∥平面ABB1A1，又因?yàn)镋F∩FG＝F，且EF，F(xiàn)G?平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1．11．(2021·吉林東北師大附中高三模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點(diǎn)．(1)求證：B1D∥平面ACE；(2)若F是棱CC1的中點(diǎn)，求證：平面B1DF∥平面ACE．[證明](1)連接BD，使BD∩AC＝G，連接EG．∵四邊形ABCD是正方形，BD∩AC＝G，∴DG＝BG．又∵E是BB1中點(diǎn)，∴B1E＝BE，∴DB1∥GE，又DB1?平面ACE，GE?平面ACE，∴B1D∥平面ACE．(2)∵E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)．∴B1E∥CF且B1E＝CF，∴四邊形B1ECF是平行四邊形，∴B1F∥CE，又∵B1F?平面ACE，CE?平面ACE，∴B1F∥平面ACE，由(1)B1D∥平面ACE，DB1∩B1F＝B1，∴平面B1DF∥平面ACE．1．如圖所示，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：①沒有水的部分始終呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1始終與水面所在平面平行；④當(dāng)容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值．其中正確命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4C[由題圖，顯然①正確，②錯誤；對于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，F(xiàn)G?平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③正確；對于④，∵水是定量的(定體積V)，∴S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V．∴BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④正確，故選C．]2．在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝12，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于D，E，F(xiàn)，H，且它們分別是AB，BC，SC，SA的中點(diǎn)，那么四邊形DEFH的面積為()A．18B．18eq\r(3)C．36D．36eq\r(3)A[因?yàn)镈，E，F(xiàn)，H分別是AB，BC，SC，SA的中點(diǎn)，所以DE∥AC，F(xiàn)H∥AC，DH∥SB，EF∥SB，則四邊形DEFH是平行四邊形，且HD＝eq\f(1,2)SB＝6，DE＝eq\f(1,2)AC＝3．如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OB、SO，因?yàn)镾A＝SC＝12，AB＝BC＝6，所以AC⊥SO，AC⊥OB，又SO∩OB＝O，所以AO⊥平面SOB，所以AO⊥SB，則HD⊥DE，即四邊形DEFH是矩形，所以四邊形DEFH的面積S＝6×3＝18，故選A．]3．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，E、F分別是PA、PC的中點(diǎn)．記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明．[解]直線l∥平面PAC，證明如下：因?yàn)镋、F分別是PA、PC的中點(diǎn)，所以EF∥AC．又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC．而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l．因?yàn)閘?平面PAC，EF?平面PAC，所以l∥平面PAC．1．如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動，則M只需滿足條件時，就有MN∥平面B1BDD1．(注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)點(diǎn)M在線段FH上(或點(diǎn)M與點(diǎn)H重合)[連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N(圖略)，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1．]2．如圖，四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點(diǎn)．(1)求證：CE∥平面PAD．(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請說明理由．[解](1)證明：如圖，取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB，又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四邊形DCEH為平行四邊形，所以CE∥DH，又DH?平面PAD，CE?平面PA