課件-分講概率統(tǒng)計

00:12:181第三節(jié)邊沿分布律(或邊緣分布律，或邊際分布)與條件分布律二維離散型隨機變量(X,Y)中,分量X和分量Y都是離散型隨機變量,X的分布律稱為(X,Y)關(guān)于X的邊沿分布律;Y的分布律稱為(X,Y)關(guān)于Y的邊沿分布律.在已知一個分量取某一定值的條件下,另一個分量的分布稱為條件分布.00:12:182例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求(X,Y)的概率函數(shù).解：（X,Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8列表如下一、邊沿分布律00:12:183二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問:二者之間有什么關(guān)系呢?

從表中不難求得:P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意這兩個分布正好是表2的行和與列和.00:12:184如下表所示我們常將邊緣概率函數(shù)寫在聯(lián)合概率函數(shù)表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.00:12:185聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.00:12:186定理1對離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率函數(shù)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率函數(shù)為X和Y的聯(lián)合概率函數(shù)為00:12:187證明由于,且互不相容,故由概率的可加性得關(guān)于的邊沿分布律同理,關(guān)于.;的邊沿分布律為00:12:188注意:關(guān)于的邊沿分布律正好是聯(lián)合關(guān)于分布律表中各列概率相加.分布律表中各行概率相加;的邊沿分布律正好是聯(lián)合(2)(1)00:12:189例2某射手在射擊中,每次擊中目標的概率為,射擊進行到第二次擊中目標為止,表示第一次擊中目標時所進行的射擊次數(shù),試求二維隨機變量的聯(lián)合分布律和邊沿表示第二次擊中目標時所進行的射擊次數(shù),解分布律.00:12:1810

二維隨機變量（X,Y）聯(lián)合分布離散型i,j=1,2,…X和Y的聯(lián)合概率函數(shù)k=1,2,…離散型一維隨機變量Xk=1,2,…X的概率函數(shù)00:12:1811

在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機變量

設有兩個r.vX,Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這個分布就是條件分布.二、離散型r.v的條件分布00:12:1812例如，考慮某大學的全體學生，從其中隨機抽取一個學生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布00:12:1813現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),

在這個條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學生中求其體重的分布.容易想象，這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣.例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.00:12:1814實際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復.定義1設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若P(Y=yj)>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件概率函數(shù).P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機變量Y的條件概率函數(shù).

作為條件的那個r.v,認為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.00:12:1815定義1’設二維離散型隨機變量的分布律為當時,稱,為在的條件下的條件分布律;當時,稱,為在的條件下的條件分布律.00:12:1816條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：i=1,2,…00:12:1817

例3一射手進行射擊，擊中目標的概率為p，(0<p<1)，射擊進行到擊中目標兩次為止.以X表示首次擊中目標所進行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進行的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布及條件分布.解：依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時擊中目標,且在前n-1次射擊中有一次擊中目標.{X=m}表示首次擊中目標時射擊了m次n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中00:12:1818

n=2,3,…;m=1,2,…,n-1由此得X和Y的聯(lián)合概率函數(shù)為不論m(m<n)是多少，P(X=m,Y=n)都應等于P(X=m,Y=n)=？00:12:1819為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣概率函數(shù)是：m=1,2,…00:12:1820Y的邊緣概率函數(shù)是：n=2,3,…00:12:1821于是可求得：當n=2,3,…時，m=1,2,…,n-1聯(lián)合分布邊緣分布00:12:1822n=m+1,m+2,…當m=1,2,…時，00:12:1823例2設隨機變量的分布律為

1

2-110求在的條件下的條件分布律.YX解00:12:1824第四節(jié)邊沿概率密度

與條件概率密度概念對于二維連續(xù)型隨機變量證明分量X和Y都是連續(xù)型隨機變量.

一.邊沿概率密度,可以分量X的概率密度記為,稱為關(guān)于X的邊沿概率密度;

分量Y的概率密度記為,稱為關(guān)于Y的邊沿概率密度.00:12:1825對連續(xù)型r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概率密度為則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率函數(shù)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率函數(shù)為00:12:1826對任意r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為00:12:1827不難得出，對連續(xù)型r.v(X,Y)，其概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系如下：在f(x,y)的連續(xù)點00:12:1828例1設(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個邊緣密度。=5c/24=1,c=24/5解：(1)由確定c00:12:1829解:(2)注意積分限注意取值范圍xy01y=x注意積分限注意取值范圍00:12:1830即00:12:1831例2設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊沿概率密度.00:12:1832例3設求,,解由題設條件知,由此來看,二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布.詳細證明留給同學們自己.00:12:1833

在求連續(xù)型r.v的邊緣密度時，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分.當聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時候，在計算積分時應特別注意積分限.00:12:1834

連續(xù)型一維隨機變量XX的密度函數(shù)二維隨機變量（X,Y）連續(xù)型X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)00:12:1835二.條件概率密度設(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.00:12:1836定義1設X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y),邊緣概率密度為，則對一切使的x,定義已知

X=x下，Y的條件密度函數(shù)為同樣，對一切使的y,定義為已知

Y=y下，X的條件密度函數(shù).00:12:1837我們來解釋一下定義的含義：將上式左邊乘以dx

,右邊乘以(dxdy)/dy即得以為例00:12:1838換句話說，對很小的dx和

dy，表示已知

Y取值于y和y+dy之間的條件下，X取值于x和x+dx之間的條件概率.00:12:1839運用條件概率密度，我們可以在已知某一隨機變量值的條件下，定義與另一隨機變量有關(guān)的事件的條件概率.定義在已知

Y=y下，X的條件分布函數(shù)為特別，取即:若(X,Y)是連續(xù)型r.v,則對任一集合A，00:12:1840求P(X>1|Y=y)例3設(X,Y)的概率密度是解:P(X>1|Y=y)為此,需求出00:12:1841由于于是對y>0,故對y>0,P(X>1|Y=y)00:12:1842例4設(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解：X的邊緣密度為當|x|<1時,有00:12:1843即當|x|<1時,有X作為已知變量這里是y的取值范圍X已知下Y的條件密度00:12:1844前面，我們已經(jīng)知道，二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布.可以證明，對二維正態(tài)分布，已知

X=x下，Y的條件分布，或者已知

Y=y下，X的條件分布都仍是正態(tài)分布.留作練習.00:12:1845

例5設數(shù)X在區(qū)間(0,1)均勻分布，當觀察到X=x(0<x<1)時，數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機地取值.求Y的概率密度.解：依題意，X具有概率密度對于任意給定的值x(0<x<1)，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為00:12:1846X和Y的聯(lián)合密度為于是得Y的概率密度為已知邊緣密度、條件密度，求聯(lián)合密度00:12:1847例6設(1)