《數(shù)學分析》（4）課程實施大綱

PAGE《數(shù)學分析》(4)課程實施大綱目錄1．教學理念 11.1關注學生的發(fā)展 11.2關注教學的有效性 11.3關注教學的策略 11.4關注教學價值觀 12．課程介紹 12.1課程的性質 12.2課程在學科專業(yè)結構中的地位、作用 12.3課程的前沿及發(fā)展趨勢 12.4學習本課程的必要性 23．教師簡介 23.1教師的職稱、學歷 23.2教育背景 23.3研究興趣（方向） 24．先修課程 25．課程目標 25.1知識與技能方面 25.2過程與方法方面 25.3情感、態(tài)度與價值觀方面 36．課程內(nèi)容 36.1課程的內(nèi)容概要 36.2教學重點、難點、學時安排 47.課程教學實施 57.1教學單元一 57.2教學單元二 107.3教學單元三 157.4教學單元四 227.5教學單元五 277.6教學單元六 307.7教學單元七 347.8教學單元八 367.9教學單元九 407.10教學單元十 457.11教學單元十一 507.12教學單元十二 537.13教學單元十三 567.14教學單元十四 607.15教學單元十五 667.16教學單元十六 727.17教學單元十七 747.18教學單元十八 778．課程要求 829．課程考核方式及評分規(guī)程 8210．學術誠信規(guī)定 8211．課堂規(guī)范 8212．課程資源 8313．教學契約 8414．其他說明 84PAGE841．教學理念1.1關注學生的發(fā)展核心理念是為了每一位學生的發(fā)展,這包含著三層涵義:一是課程要著眼于學生的發(fā)展,這是課程價值取向的定位問題。要培養(yǎng)學生的信息收集和整理能力,發(fā)現(xiàn)問題和思考問題的能力,分析問題和解決問題的能力,終生學習和創(chuàng)新的能力以及生存和發(fā)展的能力。1.2關注教學的有效性通過教與學，能激發(fā)學生的情感，對數(shù)學知識的熱愛。1.3關注教學的策略重基礎，理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)邏輯推理能力和計算能力。1.4關注教學價值觀第一，要完成科學知識的講授和社會經(jīng)驗的傳遞，發(fā)展學生智育；第二，要發(fā)展學生的智能和體能，使學生形成能力，掌握個人生存和為社會服務的本領；第三，要重視學生操作能力、動手能力、實踐能力的培養(yǎng)，在理論和實踐結合上掌握知識，學習技術，習得方法；第四，要對學生進行思想教育，逐步使學生樹立正確的世界觀、科學的人生觀、形成良好道德品質、行為習慣，樹立與市場經(jīng)濟相適應的思想和品格。2．課程介紹2.1課程的性質專業(yè)核心基礎必修課2.2課程在學科專業(yè)結構中的地位、作用數(shù)學是由幾何學（平面幾何，立體幾何，平面解析幾何，空間解析幾何，射影幾何，非歐幾何，微分幾何等）、代數(shù)學（初等代數(shù)學，高等代數(shù)，抽象代數(shù)等）和分析學（微積分，實分析，復分析，F(xiàn)ourier分析，調和分析，逼近理論，實變函數(shù)，泛函分析，測度論，概率論，常微分方程，偏微分方程等）三大的分支組成：《數(shù)學分析》（《微積分》）是整個分析學的最重要基礎，具有重大的理論和應用價值，后繼理論的發(fā)展研究，都離不開《數(shù)學分析》的理論知識與方法。所以，打好堅實的《數(shù)學分析》基礎對將來的發(fā)展，創(chuàng)新能力的提高，成為高素質可持續(xù)發(fā)展的人才，至關重要。2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢60年代初，美國數(shù)學家羅濱遜提出了非標準數(shù)學分析理論，為數(shù)學分析理論的發(fā)展增添了一個新的篇章．如果我們把牛頓、萊布尼茲時代的數(shù)學分析理論稱為第一代數(shù)學分析理論，將標準分析稱為第二代；那么，非標準分析可被稱為第三代數(shù)學分析理論．2.4學習本課程的必要性《數(shù)學分析》是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的一門最重要專業(yè)主干課程，是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的后繼課程（如實分析，復分析，F(xiàn)ourier分析，調和分析，逼近理論，實變函數(shù)，泛函分析，測度論，概率論，常微分方程，偏微分方程等）的基礎．它的理論和方法，對于數(shù)學的后繼課程，對于物理，力學，工程技術中的一些問題，有許多重要的應用．通過本課程的教學，應使學生掌握數(shù)學分析的基本理論和方法，獲得獨立地分析和解決某些有關的理論和實際問題的能力，從而為從事教學，科研及其他實際工作打好微積分基礎．3．教師簡介從事應用數(shù)學方向研究。曾承擔了本科生課程《數(shù)學分析》、《常微分方程》、《高等數(shù)學》、《線性代數(shù)》、《拓撲學》等課程的教學任務。4．先修課程中學數(shù)學（初等數(shù)學）5．課程目標5.1知識與技能方面（1）通過數(shù)學分析（4）的課堂教學，使學生掌握多元函數(shù)微積分的基本理論和方法，鞏固多元函數(shù)微積分的基本理論和方法，獲得獨立地分析和解決某些相關理論和實際問題的能力．為進一步學習其他課程、為將來從事教學，科研及其他實際工作打好微積分知識基礎．（2）通過基本概念的正確講解，基本理論的系統(tǒng)闡述，基本運算能力的嚴格訓練，使學生受到嚴格的思維訓練，為初步掌握數(shù)學思維方法打下基礎．（3）作為教育方向的專業(yè)培養(yǎng)目標，在有關內(nèi)容方面注重高等數(shù)學對初等數(shù)學認識上的提高和指導作用，使學生在今后的工作中有較高的起點．5.2過程與方法方面通過問題背景引出定義，采用猜測對比等方法引出定理，證明采用分析條件與結論間關系，嚴格推理。計算上注重書寫步驟。5.3情感、態(tài)度與價值觀方面培養(yǎng)學生對新知識、推廣知識的好奇心和求知欲，培養(yǎng)感悟能力，注意力、記憶力、觀察力、思維力、想象力等，培養(yǎng)良好的個性心理品質和自我調節(jié)控制心理的能力，培養(yǎng)科學的信念，堅韌的毅力、奮發(fā)的精神等。6．課程內(nèi)容6.1課程的內(nèi)容概要教學章節(jié)內(nèi)容概要第十八章隱函數(shù)定理及應用§1隱函數(shù)1．介紹隱函數(shù)的定義2．隱函數(shù)定理的內(nèi)容與證明3．隱函數(shù)定理的應用（判定隱函數(shù)的存在性，隱函數(shù)求導方法）§2隱函數(shù)組1．介紹隱函數(shù)組的定義2．隱函數(shù)組定理的內(nèi)容與證明3．隱函數(shù)組定理的應用（判定隱函數(shù)組的存在性，隱函數(shù)求導方法）§3幾何應用1．空間（或平面）曲線的切線與法平面方程2．空間曲面的切平面與法線方程§4條件極值1．函數(shù)的極值與最值2．函數(shù)的條件極值第十九章含參量積分§1含參量正常積分1．含參量正常積分的定義2．含參量正常積分的性質（連續(xù)性，可微性與可積性）3．含參量正常積分性質的應用——求定積分的值§2含參量反常積分1．含參量反常積分的定義2．含參量反常積分的性質（連續(xù)性，可微性與可積性）3．含參量反常積分性質的應用——求廣義積分的值§3歐拉積分1．歐拉積分的定義（函數(shù)與函數(shù)）2．函數(shù)與函數(shù)的性質與關系3．利用函數(shù)與函數(shù)的關系，計算特殊的定（或廣義）積分的值第二十章曲線積分§1第一型曲線積分1．問題背景2．第一型曲線積分的定義與性質3．第一型曲線積分的計算§2第二型曲線積分1．問題背景2．第二型曲線積分的定義與性質3．第二型曲線積分的計算4．．第一型曲線與第二型曲線積分的關系第二十一章重積分§1二重積分概念1．問題背景2．二重積分的定義與性質§2二重積分計算（與書上有所區(qū)別）1．直角坐標系下計算二重積分2．極坐標系下計算二重積分3．一般變換下計算二重積分§3格林公式。曲線積分與路徑無關的條件1．格林公式內(nèi)容及證明2．格林公式3．曲線積分與路徑無關的條件的命題與證明4．曲線積分與路徑無關的條件的應用§4三重積分1．問題背景2．三重積分的定義與性質3．三重積分的計算（1）直角坐標系下計算三重積分（2）柱坐標系下計算三重積分（3）球坐標系下計算三重積分（4）一般變換下計算三重積分§5重積分應用1．平面圖形的面積與空間立體的體積2．空間曲面的面積3．非均勻物體的質量4．非均勻物體的重心5．引力第二十二章曲面積分§1第一型曲面積分1．問題背景2．第一型曲面積分的定義與性質3．第一型曲面積分的計算§2第二型曲面積分1．問題背景2．第二型曲面積分的定義與性質3．第二型曲面積分的計算§3高斯公式與斯托克斯公式1．高斯公式的證明與應用2．斯托克斯公式的應用6.2教學重點、難點、學時安排教學章節(jié)講課學時自學學時教學重點、難點第十八章隱函數(shù)定理及應用14學時4§1隱函數(shù)42重點：定理條件難點：定理證明§2隱函數(shù)組42§3幾何應用，§4條件極值4重點：求切線（平面）方程及條件極值難點：解方程組求穩(wěn)定點本章小結、習題課2重點：總結，綜合提高第十九章含參量積分12學時5§1含參量正常積分2重點：一致收斂的定義與性質難點：一致收斂判定§1含參量正常積分（續(xù)）§2含參量反常積分4§2含參量反常積分（續(xù)）§3歐拉積分45本章小結、習題課2重點：總結，綜合提高第二十章曲線積分6學時3§1第一型曲線積分2重點：定義、性質、計算難點：曲線方程的恰當表示及曲線方向§2第二型曲線積分43第二十一章重積分20學時4§1二重積分4重點：定義、性質，作圖、計算難點：積分區(qū)域的型、型區(qū)域表示§2二重積分變換42難點：作恰當變換，區(qū)域的不等式表示§3格林公式42重點：格林公式條件與應用難點：格林公式的證明§4三重積分4重點：定義與性質，積分區(qū)域的作圖，計算與積分區(qū)域的不等式表示難點：空間積分區(qū)域的作圖；柱坐標與球坐標變換時積分區(qū)域的不等式表示§5重積分應用，本章小結、習題課4難點：作圖和問題的重積分表示；計算方法選擇重點：總結，綜合提高第二十二章曲面積分8學時4§1第一型曲面積分42重點：定義、性質、計算和高斯公式難點：曲面作圖、曲面的方向§2第二型曲面積分§3高斯公式與斯托克斯公式427.課程教學實施7.1教學單元一7.1.1教學日期：7.1.2教學目標：7.1.3教學內(nèi)容：第十八章隱函數(shù)定理及其應用——§1隱函數(shù)。本節(jié)主要是兩個問題:1.隱函數(shù)存在條件；2.若存在，那么隱函數(shù)具有的性質。教學重點：隱函數(shù)的求導方法及其應用．教學難點：隱函數(shù)存在性定理的證明．7.1.4教學過程：一．隱函數(shù)概念1．隱函數(shù)概念通過實例形象闡述隱函數(shù)與顯函數(shù)概念.如這種形式的函數(shù)稱為顯函數(shù)．又如，能確定一個定義在上的隱函數(shù)．如果方程中把解出，這個函數(shù)也可表示為顯函數(shù)形式：．再如，不能解出或的表達式，是否有函數(shù)關系不清。從而引入隱函數(shù)的定義：函數(shù)關系由方程確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)．2．本節(jié)的兩個主要問題：（i）隱函數(shù)的存在性（ii）隱函數(shù)的解析性質（連續(xù)性，可微性，可積性）二．隱函數(shù)存在唯一定理定理18.1（隱函數(shù)存在唯一性定理）若滿足下列條件：(i)函數(shù)在以為內(nèi)點的某一區(qū)域上連續(xù)；(ii)（通常稱為初始條件）；(iii)在內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)；(iv)，則在點的某鄰域內(nèi)，方程惟一地確定了一個定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)（隱函數(shù)），使得1．時且；2．在內(nèi)連續(xù)．證明：（難點，課后多看書，理解其證明方法）證明后記住注意事項（互動問題）：1．定理18.1的條件僅僅是充分的．例如方程，在點不滿足條件（iv），但它仍能確定惟一的連續(xù)函數(shù)．當然，由于條件（iv）不滿足，往往導致定理結論的失敗，例如所示的雙紐線，其方程為．由于與均連續(xù)，故滿足定理條件（i）、（ii）、（iii）．但因致使在原點的無論怎樣小的臨域內(nèi)都不可能存在惟一的隱函數(shù)．2．在定理證明過程中．條件（iii）和（iv）只是用來保證存在的某一鄰域，在此鄰域內(nèi)F關于變量y是嚴格單調的．因此對于本定理所要證明的結論來說，可以把這兩個條件減弱為“F在點某一鄰域內(nèi)關于y嚴格單調”．現(xiàn)在采用較強的條件（iii）和（iv），只是為了在實際應用中便于檢驗．3．如果把定理的條件（iii）、（iv）改為連續(xù)，且．這時結論是存在惟一的連續(xù)函數(shù)．4．情況如何？三．隱函數(shù)可微性定理定理18.2（隱函數(shù)可微性定理）設滿足隱函數(shù)存在惟一性定理中的條件（i）—（iv）,又設在內(nèi)還存在連續(xù)的偏導數(shù)，則有方程（1）所確定的隱函數(shù)在其定義域內(nèi)有連續(xù)導函數(shù)，且（5）證明：（是難點，課后多看書，理解其證明方法）定理18.3若（i）函數(shù)在以點為內(nèi)點的區(qū)域上連續(xù)；(ii)；(iii)在內(nèi)存在且連續(xù)；(iv)則在點的某鄰域內(nèi)，方程惟一地確定了一個定義在的某鄰域內(nèi)的元連續(xù)函數(shù)（隱函數(shù)），使得1．當時，且，2．在內(nèi)有連續(xù)偏導數(shù)：而且證明：（是難點，課后多看書，理解其證明方法，特別與定理18.1和18.2的證明比較——相似的）四．隱函數(shù)定理應用舉例例1判定方程在鄰域內(nèi)能否確定隱函數(shù)，若能，求。解：設（7）由于（1）為初等函數(shù)，在平面上任一點都連續(xù)；（2）；（3），顯然偏導數(shù)與在平面上任一點都連續(xù)；（4）故依定理18.1方程（7）確定了一個連續(xù)可導隱函數(shù)，據(jù)定理18.2，按公式（5），其導數(shù)為：．例2討論笛卡兒（Descartes）葉形線所確定的隱函數(shù)的一階與二階導數(shù)．解：，則，據(jù)求導公式知：，所以課堂互動練習：1．討論方程（8）在原點附近所確定的二元隱函數(shù)及其偏導數(shù)．（學生練習，抽學生回答）2．考慮反函數(shù)的存在性與其導數(shù)。（與學生一起互動完成）設在的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導函數(shù)，且，考慮方程（9）由于所以只要，就能滿足隱函數(shù)定理的所有條件，這時方程（14）能確定出在的某鄰域內(nèi)的連續(xù)可微隱函數(shù)，并稱它為函數(shù)的反函數(shù)．反函數(shù)的導數(shù)是（10）事實上，這就是在第五章里曾經(jīng)得到過的反函數(shù)求導公式．7.1.5教學方法：講授法7.1作業(yè)：P162:1,2,3(3),(4);(5),(6),5課后反思：1．定理18.1的條件僅僅是充分的．請舉例說明。2．如果把定理的條件（iii）、（iv）改為連續(xù)，且．這時結論是存在惟一的連續(xù)函數(shù)．因此請總結判定隱函數(shù)存在的解題步驟。7.11．新學期的打算，怎樣學好〈〈數(shù)學分析〉〉？2．復習〈數(shù)學分析〉〉（上冊）介紹的隱函數(shù)求導法則7.1吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P220-2307.2教學單元二7.2.1教學日期：7.2.2教學目標：熟悉隱函數(shù)組概念；掌握隱函數(shù)組求導方法．7.2.3教學內(nèi)容：第十八章隱函數(shù)定理及其應用——§2隱函數(shù)組。教學重點：隱函數(shù)組求導．教學難點：隱函數(shù)組存在性證明．7.2.4教學過程：一．隱函數(shù)組概念前一節(jié)討論的是由一個方程所確定的隱函數(shù)，本節(jié)將討論由方程組所確定的隱函數(shù)組．設和為定義在區(qū)域上的兩個四元函數(shù)．若存在平面區(qū)域，對于中的每一點，分別有區(qū)間和K上惟一的一對值，它們與，一起滿足方程組（1）則說方程組（1）確定了兩個定義在上，值域分別落在和內(nèi)的函數(shù)．我們稱這兩個函數(shù)為有方程組(1)所確定的隱函數(shù)組．若分別記在這兩個函數(shù)為則在上成立恒等式二．隱函數(shù)組定理定理18.4（隱函數(shù)組定理）若方程組（1）中(i)與在以點為內(nèi)點的區(qū)域內(nèi)連續(xù)；(ii)（初始條件）；(iii)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)；(iv)在點不等于零，則在點的某一（四維空間）鄰域內(nèi)，方程組(1)惟一地確定了定義在點的某一（二維空間）鄰域內(nèi)的兩個二元隱函數(shù)使得1．，且當時，且2．在內(nèi)連續(xù)；3．在內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)，且(2)（3）課堂討論：1．在定理18.4中，若將條件(iv)改為，則方程(1)所確定的隱函數(shù)組相應是；其他情形均可類似推得．總之，由方程組定義隱函數(shù)組及隱函數(shù)組求導時，應先明確哪些變量是自變量，哪些變量是因變量，然后再進行有關的運算和討論．2．公式（2）、（3）的由來1）滿足確定隱函數(shù)組所需要的條件下，通過對方程組（1）兩邊分別求偏導數(shù)，得到（4）（5）要想從（4）、（5）分別解出與，與，其充分條件是它們的系數(shù)行列式不為零，即（6）（6）式左邊的行列式稱為函數(shù)、關于變量，的函數(shù)行列式(或雅可比（Jacobi）行列式)，亦可記作．可利用高代知識解得（2）、（3）。3．條件（4）在隱函數(shù)組定理中所起的作用，與定理18.1中的條件（iv）相當．課堂互動解題:討論方程組在點近旁能確定怎樣的隱函數(shù)組，并求其偏導數(shù)．三．反函數(shù)組與坐標變換1．反函數(shù)組的定義設函數(shù)組(7)是定義在平面點集上的兩個函數(shù)，對每一點，由方程組(9)有平面上惟一的一點與之對應．我們稱方程組(9)確定了到的一個映射．記作．這時映射(7)可寫成如下函數(shù)形式,或寫成點函數(shù)形式,并稱為映射下的象，而則是的原象．記在映射下的象集為．反過來，若為一一映射（即不僅每一個原象只對應一個象，而且不同的原象對應不同的象）．這時每一點，由方程組(9)都有惟一的一點與之相對應．由此所產(chǎn)生的新映射稱為映射的逆映射（逆變換），記作，即或亦即存在定義在上的一個函數(shù)組，，（8）把它代入（7）而成為恒等式：，，（9）這時我們又稱函數(shù)組（8）是函數(shù)（7）的反函數(shù)組．2．反函數(shù)組的存在性與可導性問題定理18.5（反函數(shù)組定理）設方程組及其一階導數(shù)在某區(qū)域上連續(xù)，點是D內(nèi)點，且,,,則在點的某一鄰域內(nèi)存在惟一的一組反函數(shù)，使得，且當時，有以及恒等式(11)．此外，反函數(shù)組(10)在內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導數(shù)，且,,,．（10）由（10）看到：互為反函數(shù)組的(7)與(8)，它們的雅可比行列試互為倒數(shù)，即．這與（一元）反函數(shù)求導公式相類似．2．坐標變換(1)平面上的點的直角坐標與極坐標之間的坐標變換公式為．(11)由于所以除原點外，在一切點上由函數(shù)組（14）所確定的反函數(shù)組是，對于函數(shù)組，，，在相應于定理18.5的條件下所確定出的反函數(shù)組為，，，它們是三維空間中直角坐標與曲面坐標之間的坐標變換．(2)直角坐標與球坐標之間的變換公式為(12)由于．所以即除去軸上的一切點，由方程組（15）可確定出為的函數(shù)，即三．隱函數(shù)組定理應用舉例參看書上例.并總結隱函數(shù)組定理應用——求導數(shù)的方法。7.2講授法7.2.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：P169:1,2(2),(3),3(2)課后反思：1．定理18.5的條件僅僅是充分的．請舉例說明。2．請總結判定隱函數(shù)存在的解題步驟。7.2.7課前準備情況及其他相關特殊要求1．極坐標變換中的含義2．方程兩邊對一個變量求導法則。7.2.8參考資料吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P230-2457.3教學單元三7.37.3.27.3.3教學內(nèi)容：第十八章隱函數(shù)定理及其應用教學重點：求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程．教學難點：切線的方向向量與平面的法向量公式及靈活應用7.3一．預備知識（復習）據(jù)解析幾何知識：（課堂互動）1．空間直線方程：（理解式子中元素含義）過，方向向量為的空間直線方程為：參數(shù)式為：（為參數(shù)）2．平面方程：（理解式子中元素含義）過，法向量為的平面方程為：二．平面曲線的切線與法線設平面曲線由方程給出，它在點的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)定理條件，于是在附近所確定的連續(xù)可微隱函數(shù)（或和方程（1）在附近表示同一曲線，從而該曲線在點處存在切線和法線，其方程分別為（或）與（或）由于（或），所以曲線在點處的切線與法線方程為切線：，（2）法線：．（3）例1求笛卡爾葉形線在點（2，1）處的切線與法線解：令，則，所以所以，所求切線方程為即法線方程為即三．空間曲線的切線與法平面1．推導由參數(shù)方程．（4）表示的空間曲線上在某一點處的切線和法平面方程。其中，，并假定(4)式中的三個函數(shù)在處可導，且推導：在曲線上點附近選取一點，于是連接上的點與的割線方程為．其中，以除上式各分母，得．當時，，且．即得曲線在處的切線方程為．（5）由此可見，當不全為零時，它們是該切線的方向數(shù)。過點可以作無窮多條直線與切線垂直，所有這些直線都在同一平面上，稱這平面為曲線在點處的法平面（平面n）它通過點，且以L在的切線為它的法線，所以法平面的方程為（6）2．推導當空間曲線由方程組（7）給出時，求它在點處的切線與法平面方程推導：若的方程在點的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)組定理的條件（這里不妨設條件(iv)是），則方程組(7)在點附近能確定惟一連續(xù)可微的隱函數(shù)組(8)使得且．由于在點附近方程組(7)與函數(shù)組(8)表示同一空間曲線，因此以為參數(shù)時，就得到點附近曲線的參量方程：于是由（5）式曲線在處的切線方程為．即．（9）按（6）式曲線在處的法平面方程為：（10）同樣可推出：當或在處不等于零時，曲線在處的切線與法平面方程仍分別?。?）與（10）的形式由此可見，當．不全為零時，它們是空間曲線（7）在點處的切線的方向數(shù)。課堂互動問題：能否給出方程（7）在點處的切線的方向數(shù)的簡單表示，方便記憶。（聯(lián)想行列式，寫出）例2求曲線在點處的切線與法平面方程。解：設，，則；。所以，曲線在點的切線的方向向量為所以，曲線在點的切線的方程為：曲線在點的法平面的方程為：即課堂練習題:求球面與錐面所截出的曲線的點處的切線與法平面方程。四．曲面的切平面與法線設曲面有方程（11）給出，它在點的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)定理條件（這里不妨設），于是方程（11）在點附近確定惟一連續(xù)可微的隱函數(shù)使得，且，．由于在點附近（11）與表示同一曲面，從而切平面方程：．法線方程：．它們也可分別寫成如下形式：切平面方程：（12）法線方程：．（13）這種形式對于或也同樣適合例3求橢球面在處的切平面方程與法線方程解：令，則，，所以，，所以，所求平面的法向量為，方程為即法線方程為例4綜合題（華東師大1994考研題）證明曲面的所有切平面都經(jīng)過某定點，其中為可微函數(shù)．證明：，則所以曲面上任意點的切平面方程為化簡得：由此可見：切平面過點課堂練習：作業(yè)2（1）、3（1）7.3.5教學方法：講授法，講練結合7.3.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：P175:1,2,3(1),5,6課后反思：1．在點處的切線方向向量公式：怎樣才能記??？2．本節(jié)知識與解析幾何知識的聯(lián)系及題型變化7.3.7課前準備情況及其他相關特殊要求1．新學期的打算，怎樣學好〈〈數(shù)學分析〉〉？2．復習〈數(shù)學分析〉〉（上冊）介紹的隱函數(shù)求導法則3．復習平面方程與直線方程的求法7.3.8參考資料吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P245-2557.4教學單元四7.4.1教學日期：7.4.2教學目標：熟悉掌握條件極值概念及求法．7.4.3教學內(nèi)容：第十八章隱函數(shù)定理及其應用——§4條件極值。教學重點：條件極值定義與條件最值的定義，條件極值（最值）的求法及應用教學難點：條件極值（最值）的應用——求方程組的駐點．7.4.4教學過程：一．條件極值問題先提出下面例子：要設計一個容積為的長方體形開口水箱.確定長、寬和高,使水箱的表面積最小．分別以、和表示水箱的長、寬和高,該例可表述為:在約束條件．（1）之下求函數(shù)．的最小值．條件極值問題的一般陳述：.在條件組，（2）的限制下，求目標函數(shù)（3）的極值．二．條件極值的必要條件設在約束條件之下求函數(shù)的極值。當滿足約束條件的點是函數(shù)的條件極值點，且在該點函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時，由方程決定隱函數(shù),于是點就是一元函數(shù)的極限點，有.代入，就有．（以下、、、均表示相應偏導數(shù)在點的值)即．亦即．可見向量與向量正交．注意到向量也與向量正交，即得向量與向量線性相關，即存在實數(shù)，使．亦即由上述討論知：函數(shù)在約束條件之下的條件極值點應是方程組（4）的解．三．Lagrange乘數(shù)法若引進所謂Lagrange函數(shù),稱其中的實數(shù)為Lagrange乘數(shù)，則上述方程組（4）即為方程組對于一般條件極值問題的拉格朗日函數(shù)是：（5）其中為拉格郎日乘數(shù)，并有下面定理：定理18.6設在條件的限制下，求函數(shù)的極值問題，其中與在區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導數(shù)．若的內(nèi)點是上述問題的極值點，且雅可比矩陣（6）的秩為，則存在個常數(shù)，使得為拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點，即為下述個方程：（7）的解．應用時難點：解上述方程組，下面例中介紹方法（注意聽講）。四．用Lagrange乘數(shù)法解應用問題舉例例1求容積為的長方體形開口水箱的最小表面積。例2拋物面被平面截成一個橢圓.求該橢圓到坐標原點的最長和最短距離。例3綜合題（華東師大1994考研題）設橢圓的任意切線與軸分別交于兩點，試求線段長度的最小值．解：設，則，過橢圓上任意點的切線方程為：令，則，同理令得．由此得交點為，，于是線段長度的平方，設并令由前兩個方程得：所以問題轉化為求，只需由兩個方程得的，代入第三個方程即得：于是，即．例4綜合題（華東師大1994考研題）證明曲面的所有切平面都經(jīng)過某定點，其中為可微函數(shù)．證明：，則所以曲面上任意點的切平面方程為化簡得：由此可見：切平面過點．例5求函數(shù)在條件下的極小值,并證明不等式：,其中，為任意正常數(shù)。課堂練習：習題中選擇1-2題7.4.5教學方法：講練結合7.4.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：作業(yè)：P181:1(3),2,3課后反思：1．總結和鞏固二元函數(shù)在有界閉域上求最值的方法。2．條件極值與無條件極值的有無關系，怎樣轉化？7.4.7課前準備情況及其他相關特殊要求1．復習一元函數(shù)極值、最值的求法2．復習、回憶解多元方程組的方法7.4.8參考資料吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P255-2667.5教學單元五7.5.1教學日期：7.5.2教學目標：理解含參變量定積分的定義，熟悉含參變量定積分的性質，掌握含參變量定積分的應用——求特殊定積分的值。7.5.3教學內(nèi)容：第十九章含參變量積分——§1含參變量定積分。教學重點：含參變量定積分的性質及應用．教學難點：含參變量定積分應用——可微性應用7.5.4教學過程：一．含參量正常積分概念設是定義在矩形區(qū)域上的二元函數(shù)，當取上某定值時，若作為的函數(shù)在上可積，則其積分值是關于的函數(shù)，記為，即，（1）一般地，設是定義在區(qū)域上的二元函數(shù)，其中為定義在上的連續(xù)函數(shù)，若當取上某定值時，作為的函數(shù)在區(qū)間上可積，則其積分值是關于的函數(shù)，記為，即，（2）由（1）和（2）定義的兩個函數(shù)，通常稱為定義在上含參量的（正常）積分，或簡稱含參量積分．若含參量積分可以表達具體的函數(shù)式，那么就很容易研究它的性質，但是若含參量積分不可以表達具體的函數(shù)式，將如何研究它的性質呢？下面討論含參量積分性質二．含參量積分性質1．連續(xù)性定理19.1（連續(xù)性）若二元函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)，則在上連續(xù)．證明：（讓學生了解證明思路）注意事項說明：（1）若定理中換成，則在上連續(xù)．（2）定理的結論可以寫成如下形式：．定理19.2（連續(xù)性）若二元函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，則在上連續(xù)．證明：（讓學生了解證明思路）2．可微性定理19.3（可微性）若函數(shù)與其偏導數(shù)都在矩形區(qū)域上連續(xù)，則在上可微，且證明：（讓學生了解證明思路）定理19.4（可微性推廣）設，在區(qū)域上連續(xù)，為定義在上其值含于內(nèi)的可微函數(shù)，則在上可微，且．3．可積性若分別在和上可積，則存在兩個求積順序不同的積分：，．把上述兩個積分簡記為，．前者表示先對求積然后對求積，后者表示先對求積然后對求積，它們統(tǒng)稱為累次積分，或稱二次積分．定理19.5（可積性）若在矩形區(qū)域上連續(xù)，則分別在和上可積，且＝．證明：（讓學生了解證明思路）三、參變量定積分性質的應用舉例（聯(lián)想性質及方法的選擇）例1求．例2求．解：因為，所以原式．又因為函數(shù)在上連續(xù)，據(jù)含參量正常積分的可積性知：例3計算積分．參看書，學習理解怎樣作輔助函數(shù)（難點）。例4設在的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，驗證當充分小時，函數(shù)．的各階導數(shù)存在，且．課堂練習：習題中選擇1-2題7.5.5教學方法：講授法7.5.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：P191:1,2,3,5(1)課后反思：反常積分數(shù)項級數(shù)；含參量反常積分函數(shù)項級數(shù)（與函數(shù)項級數(shù)對應思考復習）7.5.7課前準備情況及其他相關特殊要求1．變動上限函數(shù)的性質2．復習定積分的計算方法7.5.8參考資料吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P273-2827.6教學單元六7.6.1教學日期：7.6.2教學目標：了解含參變量廣義積分的收斂與一致收斂的概念，掌握含參變量廣義積分一致收斂的判別法．熟練掌握含參變量反常積分一致收斂的性質的應用7.6.3教學內(nèi)容：第十九章含參變量積分——§2含參變量反常積分。教學重點：含參變量廣義積分一致收斂的判定與性質及其應用。教學難點：含參變量廣義積分一致收斂性質及其應用7.6.4教學過程：一．含參量反常積分概念定義1設函數(shù)定義在無界區(qū)域上，若對每個固定的，反常積分（1）都收斂，則它的值是在上取值的函數(shù)，記為，即，（2）稱（1）式為定義在上的含參量的無窮限反常積分，或簡稱含參量反常積分．二．含參量反常積分一致收斂性概念定義2若含參量積分與，對任給的正數(shù)，總存在某一個實數(shù)，使得當時，對一切，都有即則稱含參量反常積分在上一致收斂于，或簡稱含參量反常積分在上一致收斂．定義若含參量積分與，存在某個正數(shù)，對任何的實數(shù)，總是相應存在某個及某個，使得則稱含參量反常積分在上不一致收斂三．含參量反常積分一致收斂性判定1．柯西準則定理19.7含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是：對任給的正數(shù)，總存在某一個實數(shù)，使得當時，對一切，都有證明2．含參量積分一致收斂性與函數(shù)項一致收斂性之間的關系定理19.8含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是：對任一趨于的遞增數(shù)列（，函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂．證明3．M判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法M判別法：設有函數(shù)，使得，若收斂，則在上一致收斂．狄利克雷判別法：設對一切實數(shù)，含參量正常積分對參量在上一致有界，即存在正數(shù)，對一切及一切，都有（2）對每個，函數(shù)關于是單調遞減且當時，對參量，一致收斂于0，則含參量反常積分在上一致收斂．阿貝爾判別法：設（1）在上一致收斂；（2）對每一個，函數(shù)為的單調函數(shù)，且對參量，在上一致有界，則含參量反常積分在上一致收斂．四．關于一致收斂判定的例題（重點：聽老師介紹方法選擇）例1證明含參量反常積分在上一致收斂（其中），但在內(nèi)不一致收斂．例2證明含參量反常積分在上一致收斂．例3證明含參量反常積分在上一致收斂．五．含參量反常積分的性質定理19.9（連續(xù)性）設在上連續(xù)，若反常積分在上一致收斂，則在上連續(xù)．證明：定理19.10（可微性）設與在上連續(xù)．若在上收斂，在上一致收斂，則在上可微，且證明定理19.11（可積性）設在連續(xù)，在上一致收斂，則在上可積，且證明定理19.12設在上連續(xù)，若（1）關于在任何閉區(qū)間一致收斂，關于在任何閉區(qū)間一致收斂；（2）積分中有一個收斂，則．證明六．利用含參量反常積分的性質計算反常積分例4計算．（重點掌握此類題的解題方法．與前一節(jié)例2作比較。）解：因為，所以，原式=．又由于而收斂，所以收斂，于是例5計算．例6計算．七．含參量的無界函數(shù)反常積分（這部分內(nèi)容學生自學．）課堂練習：習題中選擇1-2題7.6.5教學方法：講授法7.6.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：P201:1(2)(3),4(1)(2)課后反思：1．在一致收斂等條件下，積分與極限運算、與積分運算，求導運算可以交換運算順序。（與函數(shù)項級數(shù)對應思考復習，方便記憶）2．總結含參量正常積分的性質與含參量反常積分的性質應用的相似點7.6.7課前準備情況及其他相關特殊要求1．反常積分的計算7.6.8參考資料吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P282-2967.7教學單元七7.77.7.2教學目標：了解歐拉積分的形式，掌握其性質，熟悉遞推公式及應用7.7.3教學內(nèi)容：第十九章含參量積分——§3歐拉積分。教學重點：歐拉積分的形式及應用．教學難點：應用中將所求積分化為歐拉積分7.7.4教學過程：一．函數(shù)（特殊的含參量反常積分）1．形式：特別：2．性質：3．遞推公式：或二．函數(shù)（特殊的含參量反常積分）1．形式：2．其他形式：或3．性質三．函數(shù)與函數(shù)的關系；——余元公式；——加倍公式；四．應用舉例例1計算．解：令，則例2計算．解：令，則，因為在上連續(xù)，所以課堂練習：習題中選擇1-2題7.7.5教學方法：講授法7.7.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：P201:1(2)(3),4(1)(2)課后反思：1．在一致收斂等條件下，積分與極限運算、與積分運算，求導運算可以交換運算順序。（與函數(shù)項級數(shù)對應思考復習，方便記憶）2．總結含參量正常積分的性質與含參量反常積分的性質應用的相似點。7.7.7課前準備情況及其他相關特殊要求1．反常積分的計算7.7.8參考資料吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P296-3047.8教學單元八7.8.1教學日期：7.8.2教學目標：掌握第一型曲線積分的概念及計算．7.8.3教學內(nèi)容：第二十章曲線積分——§1第一型曲線積分教學重點：第一型曲線積分的計算教學難點：問題背景與第一型曲線積分的概念．7.8.4教學過程：一．問題背景（與定積分作比較）問題：設有一根有限的金屬曲線，其線密度是不均勻的,在上的點處的密度為，設是在上連續(xù)函數(shù)，問該曲線的質量多少？解決方法：當是直線段時，應用定積分就能計算得該物體的質量．當是平面或空間中某一可求長度的曲線段時怎樣計算物體的質量的？我們可以類似定積分處理方法來解決．（1）分割：把分成個可求長度的小曲線段（…），并在每一個上任取一點．由于為上的連續(xù)函數(shù)，故當?shù)幕￠L都很小時，每一小段的質量可近似的等于，其中為在小曲線段的長度．（2）作和：在整個上的質量就近似地等于和式．（3）取極限：令，則．由上面看到，求具有某種物質的曲線的質量，與求直線段的質量一樣，也是通過“分割、近似求和、取極限”來得到的．下面給出這類積分的定義．二．第一型曲線積分的定義定義設為平面上可求長度的曲線段，為定義在上的函數(shù)．對曲線作分割，它把分成個可求長度的小曲線段…），的弧長記為，分割的細度為，在上任取一點（）（…）．若有極限且的值與分割與點（）的取法無關，則稱此極限為在上的第一型曲線積分，記作(1)若為空間可求長線段，為定義在上的函數(shù)，則可類似地定義在空間曲線上的第一型曲線積分，并且記作．(2)三．第一型曲線積分的性質關于第一型曲線積分也和定積分一樣具有下述一些重要性質．下面列出平面上第一型曲線積分的性質．、若存在，為常數(shù)，則也存在，且．、若曲線由曲線…首尾相接而成，且…都存在，則也存在，且．、若與都存在，且在上，則．、若存在，則也存在，且．、若存在，的弧長為，則存在常數(shù)，使得．這里．對于空間第一型曲線積分的性質，可自行仿此寫出．四．第一型曲線積分的計算定理設有光滑曲線：．函數(shù)為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則．證明課堂互動提問：（下面特殊情況：與同學討論得出答案）1．當曲線由方程,表示，且在上有連續(xù)的導函數(shù)時，式成為．2．當曲線由方程,表示，且在上有連續(xù)的導函數(shù)時，式成為．3．當曲線由極坐標方程,表示，且在上有連續(xù)的導函數(shù)時，式成為什么？大家一起完成。．五．應用例題（應用的關鍵在于選擇曲線的解析表示，是本節(jié)重點）例1計算第一型曲線積分．其中是半圓周．課堂提問：例1中改為怎樣做？例2設是從到一段（圖），試計算第一型曲線積分．例3計算，其中為球面被平面所截得的圓周．7.8講授法7.8作業(yè)：P213:1(2)(3)(4)(5),2課后反思：1．通過弧長公式把第一類曲線積分化為定積分計算。對空間曲線你能給出計算公式嗎？2．總結第一類曲線積分計算的解題步驟。7.81．復習已學的定積分的定義基幾何意義2．復習已學的定積分的計算方法7.8吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P311-3177.9教學單元九7.97.9.2教學目標：7.9.3教學內(nèi)容：第二十章曲線積分——§教學重點：第二型曲線積分的計算及物理上的應用。教學難點：第二型曲線積分的概念，兩類曲線積分的聯(lián)系。7.9一．問題背景（與定積分作比較）問題：一質點受力的作用沿平面曲線從點移動到點，求力所作的功．解決方法：在曲線內(nèi)插入個分點，與一起把有向小曲線段（…）．若記小曲線段的弧長為，則分割的細度為．設力在軸和軸方向的投影分別為與，那么，．又設小曲線段在軸與軸上的投影分別為與，其中與分別為分點與的坐標．記，于是力在小曲線段上所作的功．其中為小曲線段上任一點．因而，力沿曲線所作的功近似地等于．當細度時，上式右邊和式的極限就應該是所求的功．這種類型的和式極限就是下面所要討論的第二型曲線積分．二．第二型曲線積分的定義定義1設函數(shù)與定義在平面有向可求長度曲線上．對的任一分割，它把分成個小曲線段，（…）。其中．記各小曲線段的弧長為，分割的細度．記，（…）．在每個小曲線段上任取一點，若極限+存在且與分割與點的取法無關，則稱此極限為函數(shù),，沿有向曲線上的第二型曲線積分，記為或三．第二型曲線積分的其它記法及性質1．第二型曲線積分的其它記法上述積分也可記作或+為書寫簡潔起見，式常簡寫成或若為封閉的有向曲線，則記為若記，，d(d,d)，則式可寫成向量形式或倘若為空間有向可求長度曲線，，，為定義在上的函數(shù)，則可按上述類似地定義沿空間有向曲線上的第二型曲線積分，并記為或簡寫成．當把與看作三維向量時，式也可寫成或．2．第二型曲線積分的性質.若…存在，則也存在，且其中…為常數(shù)．若有向曲線是由有向曲線首尾相接而成，且存在，則…也存在,且．3．設是的反向曲線(即和方向相反),則．四．第二型曲線積分的計算與第一型曲線積分一樣，第二型曲線積分也可化為定積分來計算．1．設平面曲線．其中在上具有一階連續(xù)導函數(shù)，且點與的坐標分別為與.又設與為上的連續(xù)函數(shù)，則沿從到的第二型曲線積分仿照§中定理的方法分別證明2．于沿封閉曲線的第二型曲線積分的計算，可在上任意選取一點作為起點，沿所指的方向前進，最后回到這一點．3．對于沿空間有向曲線的第二型曲線積分的計算公式也與（6）式相仿．設空間有向光滑曲線的參量方程為：:．起點為，終點為，則課堂提問：（下例特殊情況）1．當曲線由方程,表示，且在上有連續(xù)的導函數(shù)時，式變成什么？大家一起完成．2．當曲線由方程,表示，且在上有連續(xù)的導函數(shù)時，式變成什么？大家一起完成．3．當曲線由極坐標方程,表示，且在上有連續(xù)的導函數(shù)時，式變成什么？大家一起完成。．四．應用舉例（應用的關鍵在于選擇曲線的解析表示，是本節(jié)重點，還要注意的方向性）例1（書上例）計算,其中分別沿如圖中路線(i)直線；(ii)（拋物線：）；(iii)（三角形周界）．例2計算，這里：（i）沿拋物線，從到的一段（圖）；（ii）沿直線段：（iii）沿封閉曲線．例3計算第二型曲線積分是螺旋線：從到上的一段．例4求在力作用下，(i)質點由沿螺旋線到所作功，其中;(ii)質點由沿直線到所作的功．課堂練習：例1-4題中可選擇1-2題作為課堂練習，視情況而定。五．兩類曲線積分的聯(lián)系雖然第一型曲線積分與第二型曲線積分來自不同的物理原型，且有著不同的特性，但在一定條件下，如在規(guī)定了曲線的方向之后，可以建立它們之間的聯(lián)系．設為從到的有向光滑曲線，它以弧長為參數(shù)，于是:．其中為曲線的全長，且點與的坐標分別為與()．曲線上每一點的切線方向指向弧長增加的一方．現(xiàn)以分別表示切線方向與軸與軸正向的夾角，則在曲線上的每一點的切線方向余弦是若,為曲線上的連續(xù)函數(shù)，則由（6）式得最后一個等式是根據(jù)第一型曲線積分化為定積分的公式．這里必須指出，當式左邊第二型曲線積分中改變方向時，積分值改變符號，相應在式右邊第一型曲線積分中，曲線上各點的切線方向指向相反的方向（即指向弧長減少的方向）這時夾角和分別與原來的夾角相差一個弧度，從而和都要變號．因此，一旦方向確定了，公式總是成立的．這樣，根據(jù)條件和公式便建立了兩種不同曲線積分之間的聯(lián)系．課堂提問：（下例特殊情況）若切線方向改為外法線方向時，兩種不同曲線積分之間的關系。7.9講授法7.9作業(yè)：p221:1(1)(2)(3)(5),2課后反思：1．性質3說明第二類曲線積分與曲線的方向有關,這是兩種類型曲線積分的一個重要差別.通過弧長公式把第一類曲線積分化為定積分計算。對空間曲線你能給出計算公式嗎？2．總結兩類曲線積分計算解題的相似點與不同點。7.91．恒力作功公式2．定積分的計算方法7.9吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P318-3267.10教學單元十7.10.1教學日期：7.10.2教學目標：理解并掌握二重積分的概念、性質．7.10.3教學內(nèi)容：第二十一章重積分——§1二重積分的概念。教學重點：二重積分的概念與性質教學難點：二重積分的證明題．7.10.4教學過程：一．問題背景——求曲頂柱體的體積（與前面的積分做比較）問題：設為定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的非負連續(xù)函數(shù)．求以曲面為頂，為底的柱體的體積．解決方法：分割：先用一組平行于坐標軸的直線網(wǎng)把區(qū)域分成個小區(qū)域（稱為區(qū)域的一個分割）．近似求和：以表示小區(qū)域的面積．這個直線網(wǎng)也相應地把曲頂柱體分割成個以為底的小曲頂柱體．由于在上連續(xù)，故當每個的直徑都很小時，在上各點的函數(shù)值都相差無幾，因而可在上任取一點，用以為高，為底的小平頂柱體的體積作為的體積的近似值，即把這些小平頂柱體的體積加起來，就得到曲頂柱體體積的近似值取極限：當直線網(wǎng)的網(wǎng)眼越來越細密，即分割的細度（為的直徑）趨于零時，就有這類問題在物理學與工程技術中也常遇到，如求非均勻平面的質量、重心、轉動慣量等等．二．二重積分定義定義1平面區(qū)域：設為平面上可求面積的有界閉區(qū)域；二元函數(shù)：為定義在上的函數(shù);分割：用任意的曲線把分成個可求面積的小區(qū)域，，，這些小區(qū)域構成的一個分割;分割的細度：以表示小區(qū)域的直徑，稱為分割的細度;積分和：在每個上任取一點，作和式（表示小區(qū)域的面積）;稱它為函數(shù)在上屬于分割的一個積分和．定義2設是定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的函數(shù)．是一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某個正數(shù)，使對于的任何分割，當它的細度時，屬于的所有積分和都有（1）則稱在上可積，數(shù)稱為函數(shù)在上的二重積分，記作（2）積分變量積分變量被積函數(shù)積分區(qū)域三．二重積分幾何意義（結合圖形理解）當時，二重積分就表示以為曲頂，以為底的曲頂柱體的體積．當時，二重積分的值就等于積分區(qū)域的面積．四．二重積分的可積條件（了解結論）設函數(shù)在上有界，為的一個分割，它把分成個可求面積的小區(qū)域，，．令，則定義：上和：與下和：。定理21.1函數(shù)在有界可求面積區(qū)域上可積的必要條件是它在上有界．定理21.2在上可積的充要條件是：定理21.3在上可積的充要條件是：對于任給的正數(shù)，存在的某個分割，使得．定理21.4有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積．定理21.5設是定義在有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)．若的不連續(xù)點都落在有限條光滑曲線上，則在上可積．證明五．二重積分的性質若在區(qū)域上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且．若，在上都可積，則在上也可積，且若在和上都可積，且與無公共內(nèi)點，則在上也可積，且若與在上可積，且則若在上可積，則函數(shù)在上也可積，且若在上可積，且則這里是積分區(qū)域的面積．（中值定理）若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則存在，使得這里是積分區(qū)域的面積．中值定理得幾何意義：以為底，為曲頂?shù)那斨w體積等于一個同底的平頂柱體的體積，這個平頂柱體的高等于在區(qū)域中某點的函數(shù)值．六．應用舉例例1設在有界平面閉區(qū)域上連續(xù)，且在的任意子區(qū)域上有：證明：在上．證明：假設在上不恒為零．則存在，使，不妨設．因為在上連續(xù)，據(jù)連續(xù)函數(shù)的局部保號性定理：存在的鄰域，使，有記為的面積，顯然．所以這與題設矛盾．即在上．例2設平面區(qū)域在和軸上的投影長度分別為和，的面積為，為內(nèi)任意點，證明：（1）；（2）．證明：設在和軸上的投影區(qū)間范圍為和，則，則當時，，．所以有：．7.10講授法7.10作業(yè)：p229:3,4,6課后反思：1．定理21.6及定理21.7告訴我們二重積分可以轉化為兩個累次定積分計算．因此掌握好定積分計算就能夠解決二重積分計算．重點掌握兩種類型的區(qū)域不等式；2．定理21.8是計算二重積分重要公式；注意選擇適當?shù)姆e分次序．3．總結各類積分定義的相似之處7.101．復習定積分的定義，線積分的定義及問題背景2．復習定積分的計算方法7.10吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P331-3367.11教學單元十一7.11.1教學日期：7.11.2教學目標：熟練掌握二重積分的計算．7.11.3教學內(nèi)容：第二十一章重積分——§2教學重點：一般區(qū)域的不等式表示教學難點：二重積分化為二次積分．7.11.4教學過程：一．矩形區(qū)域上二重積分計算定理21.6設在矩形區(qū)域上可積，且對每個，積分存在，則累次積分也存在，且證明定理21.7設在矩形區(qū)域上可積，且對每個，積分存在，則累次積分也存在，且定理21.7的證明與定理21.6相仿．特別當在矩形區(qū)域上連續(xù)時，則有例計算，其中．2．一般區(qū)域上二重積分的計算由二重積分定義知道，若在區(qū)域上可積，則與定積分情況一樣，常選取一些特殊的分割方法，如選用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來分割，則每一小網(wǎng)眼區(qū)域的面積．此時通常把記作（1）重點介紹兩個區(qū)域的不等式確定方法（結合圖形）-型區(qū)域：-型區(qū)域：（2）．兩個特殊區(qū)域上二重積分的計算公式定理21.8若在型區(qū)域上連續(xù)，其中在上連續(xù)，則即二重積分可化為先對，后對的累次積分．類似可證，若為型區(qū)域，其中在上連續(xù)，則二重積分可化為先對，后對的累次積分．（3）一般區(qū)域上二重積分計算一般區(qū)域都可以分成幾個型區(qū)域與型區(qū)域，由區(qū)域可加性質及型區(qū)域與型區(qū)域的計算公式就可以解決一般區(qū)域上二重積分計算．三．典型題實例例2更換積分的順序，并在極坐標系下化為累次積分解：二次積分對應二重積分的積分區(qū)域如圖：畫圖用-型不等式表為，則交換順序為：例3計算二重積分，其中例4計算，其中是以點、和為頂點的三角形區(qū)域.解：積分區(qū)域畫圖，用-型不等式表為所以，例5計算二重積分，其中為由直線，及所圍成的三角形區(qū)域．例6求兩個底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積．課堂練習：1交換累次積分的順序．2設是由直線及圍成的區(qū)域，試計算：的值．7.10講授法7.10作業(yè)：p235:2(1)(2),3(2)(3)課后反思：總結計算二重積分的解題步驟，型區(qū)域與型區(qū)域的選擇7.101．復習定積分的計算方法2．畫平面圖形7.10吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P336-3627.12教學單元十二7.17.127.12.3教學內(nèi)容：第二十一章重積分教學重點：極坐標下二重積分的計算。教學難點：一般變換下二重積分的計算。7.1一．二重積分的變量變換公式1．二重積分的變量變換公式的引入在定積分的計算中，我們得到了如下結論：設在區(qū)間上連續(xù)，當從變到時，嚴格單調地從變到，且連續(xù)可導，則當時，記，則。利用這些記號，公式又可寫成當時，式可寫成故當為嚴格單調且連續(xù)可微時，式和式可統(tǒng)一寫成如下的形式：2．二重積分的變量變換公式下面我們把公式推廣到二重積分的場合。為此，先給出下面的引理。引理設變換將平面上由按段光滑封閉曲線所圍的閉區(qū)域，一對一地映成平面上的閉區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導數(shù)且它們的函數(shù)行列式則區(qū)域的面積證明定理設在有界閉區(qū)域上可積，變換，將平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對一地映成平面上的閉區(qū)域，函數(shù)，在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導數(shù)且它們的函數(shù)行列式則證明3．應用實例例求，其中是由所圍區(qū)域。例求拋物線和直線所圍區(qū)域的面積。二．用極坐標計算二重積分1．極坐標變換變換的函數(shù)行列式為2．極坐標變換適應范圍（1）當積分區(qū)域是圓域的一部分；（2）被積函數(shù)的形式為時，采用極坐標變換往往能達到簡化積分區(qū)域或被積函數(shù)的目的。3．用極坐標計算二重積分公式定理設滿足定理的條件，且在極坐標變換下，平面上有界閉區(qū)域與平面上區(qū)域對應，則成立4．二重積分在極坐標下如何化為累次積分計算。(i)若原點，且平面上射線常數(shù)與的邊界至多交于兩點，則必可表示成，于是有類似地，若平面上的圓常數(shù)與的邊界至多交于兩點，則必可表示成，所以(ii)若原點為的內(nèi)點，的邊界的極坐標方程為，則可表示成所以(iii)若原點在的邊界上，則為于是5．廣義極坐標變換廣義極坐標變換：并計算得對廣義極坐標變換也有與定理相應的定理。三．經(jīng)典實例例計算，其中為圓域：。例求球面被圓柱面所割下部分的體積（稱為維維安尼體）。課堂練習：1計算，其中為圓域：。2求橢球體的的體積。7.1講授法7.12作業(yè)：P254:2(1)(2)(3),4(1),5(1),8(1)(2)課后反思：積分區(qū)域在直角坐標與極坐標系中的相互轉化是怎樣的，解題步驟怎樣？7.11．復習二重積分的幾何意義2．復習極坐標變換3．復習定積分的計算方法7.1吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P355-3627.13教學單元十三7.17.137.13.3教學內(nèi)容：第二十一章重積分——§教學重點：掌握格林公式。教學難點：利用格林公式計算。7.1一．格林公式1．區(qū)域邊界的方向邊界曲線的正方向規(guī)定為：當人沿邊界行走時，區(qū)域總在它的左邊。與上述規(guī)定的方向相反的方向稱為負方向，記為。2．格林公式定理若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則有這里為區(qū)域的邊界曲線，并取正方向。公式稱為格林公式。證明為便于記憶，格林公式也可寫成下述形式：3．格林公式應用——計算曲線積分例計算，其中曲線是半徑為的圓在第一象限部分。例計算，其中為任一不包含原點的閉區(qū)域的邊界線。解：設，，則．（1）當閉曲線所圍區(qū)域內(nèi)不含原點時：則據(jù)曲線積分與路徑無關得：（2）當閉曲線所圍區(qū)域內(nèi)含原點時：及它們的偏導在無定義，當然不連續(xù)．此時，以原點為圓心，半徑充分小作圓周：，使在所圍區(qū)域內(nèi)，在與為邊界的區(qū)域內(nèi)滿足格林公式得4．曲線積分計算平面圖形面積：（2）例計算拋物線與軸所圍的面積。二．曲線積分與路線的無關性在第二十章§中計算第二型曲線積分的開始兩個例子中，讀者可能已經(jīng)看到，在例中，以為起點為終點的曲線積分，若所沿的路線不同，則其積分值也不同，但在例中的曲線積分值只與起點和終點有關，與路線的選取無關。本段將討論曲線積分在什么條件下，它的值與所沿路線的選取無關。首先，介紹單連通區(qū)域的概念。若對于平面區(qū)域內(nèi)一封閉曲線，皆可不經(jīng)過以外的點而連續(xù)收縮于屬于的某一點，則稱此平面區(qū)域為單連通區(qū)域；否則稱為復連通區(qū)域。更通俗地說,單連通區(qū)域是沒有“洞”的區(qū)域，復連通區(qū)域是有“洞”的區(qū)域。定理設是單連通閉區(qū)域。若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則以下四個條件等價：(i)沿內(nèi)任一按段光滑封閉曲線，有(ii)對中任一按段光滑曲線，曲線積分與路線無關，只與的起點及終點有關；(iii)是內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即在內(nèi)有(iv)在內(nèi)處處成立證明注意：定理要求為單連通區(qū)域是重要的，如本節(jié)例，對任何不包含原點的單連通區(qū)域，以證得在這個內(nèi)的任何封閉曲線上，皆有（3）倘若為繞原點一周的封閉曲線，則函數(shù)只在剔除原點外的任何區(qū)域上有定義，所以必含在某個復連通區(qū)域內(nèi)。這時它不滿足定理的條件，因而就不能保證式成立。定義1若，則稱為的一個原函數(shù)。的原函數(shù)求法：若滿足定理的條件，則．例試應用曲線積分求的原函數(shù)。三．綜合例題設函數(shù)在光滑閉曲線所圍的區(qū)域上具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，證明：其中是沿外法線方向的導數(shù)。證明：因為所以據(jù)格林公式得：課堂練習：習題中選擇1-2題7.1講授法7.1作業(yè)：P244:1(1)(2),3,5(1)(3)課后反思：格林公式連通了沿閉曲線的積分與二重積分之間的聯(lián)系，條件是什么？7.11．復習第二型曲線的積分的計算方法2．復習二重積分的計算方法7.1吳良森等主編《數(shù)學分析學習指導書》，P346-3547.14教學單元十四7.147.14.27.14.3教學內(nèi)容：第二十一章重積分教學重點：三重積分計算．教學難點：空間立體區(qū)域的不等式表示（直角坐標，柱坐標，球坐標中）7.14一．問題背景問題：設一個空間立體，其密度函數(shù)為，求的質量．問題求解：分割：我們把分割成個小塊．近似求和：在每個小塊上任取一點，則其中，為小塊的體積。取極限：，其中．二．三重積分的概念定義設為定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域上的函數(shù)，現(xiàn)用若干光滑曲面所組成的曲面網(wǎng)來分割，它把分成個小區(qū)域．記的體積為．在每個中任取一點，作積分和．是一個確定的數(shù)．若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對于的任何分割，只要，屬于分割的所有積分和都有則稱在上可積，數(shù)稱為函數(shù)在上的三重積分，記作或其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)域．當時，在幾何表示的體積．三重積分具有與二重積分相應的可積條件和有關性質（參見§），這里不一一細述了．例如，類似于二重積分，有(i)有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積；（ii）如果有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)的間斷點集中在有限多個零體積（可類似于零面積那樣來定義）的曲面上，則在上必可積．三．三重積分的計算——化為三次積分1．直角坐標系中計算定理若函數(shù)在長方體上的三重積分存在，且對任何，二重積分存在，其中，則積分也存在，且（1）由§知道，式右端中的二重積分可化為累次積分來計算，于是我們就把式左邊的三重積分來計算．如化為先對，然后對，最后對來求積分，則為（2）有時為了計算上的方便，也可采用其他的計算順序．為了討論一般區(qū)域上的三重積分的計算，先研究一類簡單區(qū)域上的積分．設積分區(qū)域由集合所確定，這里在平面上的投影區(qū)域是一個型區(qū)域，它對于平行于軸且通過內(nèi)點的直線與的邊界至多交于兩點．現(xiàn)設在上連續(xù)，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則有（3）同樣地，當把區(qū)域投影到平面或平面上時，也可寫出相應的累次積分公式．對于一般區(qū)域上的三重積分，?？砂阉纸獬捎邢迋€簡單區(qū)域上的積分和來計算．例1計算，其中為由平面所圍的區(qū)域．例2求，其中是橢球體2．在一般變換下三重積分的計算公式和二重積分一樣，某些類型的三重積分作適當?shù)淖兞孔儞Q后能使計算方便．設變換，把空間中的區(qū)域對一地映成空間中的區(qū)域，并設函數(shù)及它們的一階偏導數(shù)在內(nèi)連續(xù)且函數(shù)行列式于是與二重積分換元法一樣，可以證明（用本章§中證明二重積分類似的方法）成立下面的三重積分換元公式：（4）其中為上可積．下面介紹幾個常用的變換公式：（1）柱面坐標變換由于變換的函數(shù)行列式按式，三重積分的柱面坐標換元公式為這里為在柱面坐標變換下的原象．與極坐標變換一樣，柱面坐標變換并非是一對一的，并且當時，但我們?nèi)钥勺C明式成立．在柱面坐標系中，用的平面分割時，變換后在直角坐標系中，是以軸為中心軸的圓柱面，是過軸的半平面，是垂直于軸的平面．用柱面坐標計算三重積分，通常是找出在平面上的投影區(qū)域，即當時，其中二重積分部分應用極坐標計算．例3計算，其中是由曲面為界面的區(qū)域．（2）球坐標變換由于當在上取值時，，所以在球坐標變換下，按公式，三重積分的球坐標換元公式為這里為在球坐標變換下的原象．類似地，球坐標變換并不是一對一的，并且當時，．但我們?nèi)匀豢梢宰C明式成立．在球坐標系中，用的平面分割時，變換后在直角坐標系中，是以原點為心的球面，是以原點為頂點，軸為中心軸的圓錐面，是過軸的半平面．在球坐標系下，當區(qū)域為集合時，式可化為累次積分（3）廣義球坐標變換由于當在上取值時，，所以在球坐標變換下，按公式，三重積分的球坐標換元公式為這里為在球坐標變換下的原象．例4求，其中為由所圍