第7章自旋和角動(dòng)量加法新-7.1電子自旋

第七章自旋和角動(dòng)量8P144～162，第6章§6.2§7.1電子§7.2角動(dòng)量的本征§7.3角動(dòng)量的§7.4堿金屬原子能譜的雙線結(jié)Zeeman效§7.1電子的自一、Stern－Gerlach實(shí)驗(yàn)四、電子的磁矩【物理學(xué)前沿介紹】自旋電子學(xué)除了軌道角動(dòng)量外，電子還具有自旋角動(dòng)量，簡(jiǎn)稱自旋（pn）。自旋是電子的內(nèi)稟角動(dòng)量，與通常的坐標(biāo)空間沒(méi)有關(guān)系，因此沒(méi)有經(jīng)典對(duì)應(yīng)。自旋是一種相對(duì)論效應(yīng)，不能被hdigr方程自動(dòng)包括，只能依據(jù)實(shí)驗(yàn)事實(shí)和角動(dòng)量的一般性質(zhì)，對(duì)自旋和自旋磁矩的形式作出假定。目前，對(duì)自旋的物理本質(zhì)了解得還不十分透徹。早期揭示電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)事實(shí)是堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)和反常Zeeman效應(yīng)（1912）。直接證實(shí)電子具有自旋磁矩的實(shí)驗(yàn)，是Stern－Gerlach實(shí)（1922）一、 實(shí)Stern－Gerlach實(shí)驗(yàn)結(jié)果：基態(tài)銀原子束通過(guò)沿z 軸不均勻的磁場(chǎng)后，分離成朝相反方向的兩束，表明基態(tài)銀原子具有磁矩。磁矩沿z軸分量的測(cè)量值為兩個(gè)值B子

Bohr e9.2741021 2還測(cè)得銅，金和堿金屬原子磁矩沿 軸的分量都等Bohr磁子基態(tài)銀原子由球?qū)ΨQ的原子實(shí)和一個(gè)軌道角動(dòng)量l0的價(jià)電子組成。球?qū)ΨQ原子實(shí)的磁矩為零，而l0的價(jià)電子也不提供軌道磁矩。因此，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的基態(tài)銀原子的磁矩只能是價(jià)電子的內(nèi)稟磁矩，即電子具有與內(nèi)稟磁矩對(duì)應(yīng)的自旋角動(dòng)量。925年lenbk和oudmt提出了電子具有自旋角動(dòng)量的假定。實(shí)際上，為解釋堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)，14年auli就引入了取值為“經(jīng)典不能描述的雙重值”的第四個(gè)量子數(shù)，即電子的自旋量子數(shù)，并提出了ali不相容原理。若用 表示自旋角動(dòng)量，則自旋磁矩算符可寫(xiě)sS?sS常數(shù)由實(shí)驗(yàn)確定。在沿z軸正方向的不均勻磁場(chǎng)B自旋磁矩受力fdszBS?zdBmdB 其中S?z為自旋算符在z軸上m為自旋角動(dòng)量的磁量子數(shù)。原子束分離成兩束表明m只能取兩個(gè)值，若用S代表角量子數(shù)，按角動(dòng)量的性質(zhì)2S1所以，電子的自旋角量子數(shù)為S12磁量子數(shù)為m12，沿z軸方向磁矩的大小為2因?yàn)榇啪氐臏y(cè)量值為Bohr磁子B，即2常數(shù)2 ，所以自旋磁矩算符的形式2Bsl而電子的軌道磁l

?L，因子2的出現(xiàn)?自旋是一種相對(duì)論效應(yīng)。如不，今后均指S1二、自旋算符和Pauli矩陣

2情況。自旋具有角動(dòng)量的特征，滿足下面對(duì)易關(guān)系[[?,?]iS?，[?,?]iS?，[?,?] z x y??2]?2]?2]xyz自旋用兩個(gè)算符{?2,?z}描述。本征值問(wèn)題為121 12?

1m 1

m 2 ?

1mm2

m，m12212{?2,?z12121212

1212,1212{

}，{12(sz),12(sz，.它們構(gòu)成電子自旋態(tài)空間的一組正交完備基。正交歸一化條件為

一般的自旋態(tài)可用它們展開(kāi)(sz)C112(sz)C212(szC1C2C1{???2?z?2

SS

?2?

?2?

32 4 4

2

0

（常數(shù)3 3 ?z的表 S

zz zz

2

在自身表象上?2和?z的表示矩陣都是對(duì)角矩陣，在任何表?2均為常數(shù)SS234因 和?在自身表象上也是對(duì)角矩陣，所 ?2?2?2在任何表象上也都是常數(shù)z zSS2S2S2xyz4在?2?}1

)1，

1

z)z易

??? ??? ? ?? 證明

[?2,?]?[?,?][S?,?] xix而

?

y?x?2

][2,[Sy,則

] 其它

??? （4）在{?2,?z}表象上 和

的表由Hermite性和表象變換不改變跡，在{?2?z}?可表示xb *bS a 易關(guān)系? ??0的 2 0 2 1 2 a

0

a

b*Sx2 0 而 Sx

2 4 b2 b21bei，為這里有一個(gè)相位的不定性。上選擇?表象上?的表示為

0，這 0x2設(shè) 的表示yb *bSb b ??

a2 b* b* i2 0b4 b

0 2

0 0 0y2 0y202．Pauli算符Pauli矩陣Pauli算符? ?S2由自旋的性質(zhì)立刻得到?23，?2?2?2xyz以?x?y?y?x?y?z?z?yi?證明上兩式相加得其它兩式類似可證。

在{?2,?z表象上Pauli算符的表示矩陣稱為Pauli矩x1,yi,0z0容易證明（課后練習(xí)）Pauli算符對(duì)的?x，?x?z，?z三、電子的波函數(shù)除了空間坐標(biāo)外電子的運(yùn)動(dòng)還和自旋有關(guān)，所以表示電子狀態(tài)的基底應(yīng)該為 r 正交歸一（格）化條件為 zrszr r z

, rszdrrszsz其中sz只取2兩個(gè)值，因此基底常寫(xiě)成{r,2

r,2考慮自 度，電子的波函數(shù)表示或?qū)懗删仃囆问?/p>

Ψ(r,sz)

rsz Ψ(r) (r其 (r)

r,2

Ψ(r,sz(r)歸一化條件表示為

r,2 Ψ(r

Ψ(r即

Ψ(r)drΨ(r其

2d3r

Ψ(r

2d3r(r

2d3r

在全空間自旋向上的概率(r)在r附近自旋向上的概率密度(r

2d3r在全空間自旋向下的概率(r)2

在 附近自旋向下的概率密Hamilton量與自旋無(wú)關(guān)，或可寫(xiě)成空間坐分與自旋變量部分之和，則電子的波函數(shù)可分離變 Ψ(r,sz)Φ(r)(sz其中(sz)是描述電子自旋狀態(tài)的波函數(shù)。電子具有軌道磁矩?和自旋磁矩 Bl2Bs

在外磁場(chǎng)BB0ez中，電子磁矩與磁場(chǎng)的作用能為WW?l? BBsB0?(L2S?zzz【例】處于穩(wěn)恒磁場(chǎng)B中的電子t0時(shí)刻處于? 旋向上的本征態(tài)。計(jì)算t(0)時(shí)刻電子自旋翻轉(zhuǎn)的概zB沿（,）方向B0，即BxB0sincos，ByB0sinsin，BzB0cos解.這是求狀態(tài)(t的問(wèn)題，應(yīng)求解方 (r, H(r,但因本題

t0，則只需求解能量本征方程，再將(t)按定態(tài)展開(kāi)。解能量本征方程求定態(tài)解因自旋獨(dú)立于空間坐標(biāo)，則可不考慮軌道運(yùn)動(dòng)? sB BBB(?xBx?yBy?zBz 0Η B Bx By Bz 0 BxiByBB B

z zB 0

sinei能量本征方程為

sine BxiByC C

E B

C

BzE Bx Bx BzE得能量本征值B2BB2B2Bxyz當(dāng)EBB0

cos sineiC

cos1C

Csineicos(2) sin(寫(xiě)成對(duì)稱的形式，本征態(tài)為

2)ei/2sin(2)ei/2類似，當(dāng)EBB0將

(t)

2)ei/22)ei/ Ψ(t)A

exp(i

Bt)

exp(i

B 本題給定初態(tài)為

因此展開(kāi)系數(shù)

Ψ(0)AΨcos(2)ei/ sin(2)ei/

而

2)ei/AΨ(0)sin(2)ei/ 計(jì)算 時(shí)刻自旋翻轉(zhuǎn)（向下）的概自旋向下對(duì)應(yīng)本征態(tài)為 ，翻轉(zhuǎn)概率112W(t)

Ψ

4sin2()cos2()sin2(BB0 sin2sin2(BB0 如果BB0ez，W(t)sin2sin2(BB0t)自旋不翻轉(zhuǎn)。因?yàn)檫@時(shí) BB0?z，自旋?z守恒 如果BB0exBB0ey，率W(t)sin2(BB0

2旋翻轉(zhuǎn)的概 【思考】BB0ex或BB0ey時(shí)，自旋為什么會(huì)【物理學(xué)前沿介紹】Spin-Electronicsor在一般半導(dǎo)體材料中，電子在傳導(dǎo)過(guò)程中自旋隨機(jī)翻轉(zhuǎn)，自旋所攜帶的信息全部。所以目前的半導(dǎo)體只能用載流子的電荷傳遞