結構動力學簡介解析課件

第10章結構動力學簡介山東農(nóng)業(yè)大學結構力學課程組第10章結構動力學簡介山東農(nóng)業(yè)大學結構力學課程組1學習結構動力學應該較扎實地掌握結構靜力分析、微積分和常微分方程等相關知識，主要是如下相關內容：1）能熟練的分析計算并繪制結構的彎矩圖或內力圖（靜定結構利用平衡、區(qū)段疊加、微分關系等；超靜定結構用力法、位移法或力矩分配法等計算分析并作圖）；2）能熟練地計算結構的指定位移δij、△ip；3）能熟練地計算結構的指定反力rij、RiP；4）要能熟練掌握常用的微積分知識和常微分方程知識（由加慣性力等之后的動靜法可知，動力學問題將是微分方程的求解問題，就本書內容屬于常系數(shù)常微分方程）；

5）要熟練的掌握線性代數(shù)（矩陣的表達、運算和矩陣方程的求解）。學習結構動力學應該較扎實地掌握結構靜力分析、微積分2如果對上述內容掌握的不好或已經(jīng)有所遺忘，必須進行適當?shù)膹土暎ú灰欢ㄏ到y(tǒng)復習，可以涉及什么問題時復習什么內容），要力爭達到上述要求?！扒谒?、多練”，這是學習任何理工科課程共同的學習方法。勤思——要抓住基本思想、基本方法將書讀?。欢嗑殹捎谏婕皵?shù)學知識比靜力分析稍難，多數(shù)內容不自行動手推一推，最多僅僅能達到牢記，而不能達到掌握。通過一定的習題練習，進一步理解和鞏固理論知識，從中總結解決問題的技巧、經(jīng)驗，這是“熟能生巧”必不可少的。如果對上述內容掌握的不好或已經(jīng)有所遺忘，必須進行適當?shù)?結構動力學與工程實際有著十分密切的關系，它在結構振動實驗、結構健康檢測和診治、結構工程、地震工程、風工程、動力基礎工程、海洋工程、船舶工程、航空工程和汽車工程等實際工程領域都得到十分廣泛的應用。實際工程不同，動力分析的內容也可能有所不同，但最基本的力學原理和方法（當然包括動力學原理、方法）是普遍適用的，因此學習中應該注意深刻理解和掌握原理和方法，以便能用它解決各種工程問題。本課內容包括：由直接平衡法建立有限自由度體系的運動方程，單自由度體系的振動分析，多自由度體系的振動分析，頻率和振型的實用計算方法，結構的地震響應分析等內容。

結構動力學與工程實際有著十分密切的關系，它在結構4參考書目1.楊弗康等編，結構力學（下冊），高教出版社2.楊天祥編，結構力學（下冊），高教出版社3.龍馭求等編，結構力學（下冊），高教出版社參考書目1.楊弗康等編，結構力學（下冊），高教出版社2.楊天5動力計算概述單自由度體系的自由振動單自由度體系的強迫振動多自由度體系的自由振動多自由度體系的強迫振動頻率的近似計算知識點動力計算概述知識點6教學基本要求了解結構動力計算的特點，能夠判斷動力計算自由度；掌握單體系振動微分方程的建立方法。掌握單自由度體系在不同的動荷載作用下強迫振動的分析方法以及動力特性。掌握阻尼對單自由度體系動力特性的影響。理解柔度法和剛度法建立振動微分方程的思路。掌握兩個自由度體系的頻率方程和自振頻率的求解，理解主振型和主振型正交性，掌握振型分解法。了解計算頻率的幾種近似法能夠正確計算單自由度體系的固有頻率和周期。教學基本要求了解結構動力計算的特點，能夠判斷動力計算自由度；7重點簡諧動荷載作用產(chǎn)生的最大動位移和最大動內力的計算。小阻尼對體系動力特性的影響。求解體系的自振頻率和主振型。振型分解法求多自由度體系在動荷載作用下的動力響應重點簡諧動荷載作用產(chǎn)生的最大動位移和最大動內力小阻尼對8難點一般動荷載作用下單自由度體系產(chǎn)生的動力響應。求解體系的自振頻率和主振型振型分解法求多自由度體系在動荷載作用下的動力響應難點一般動荷載作用下單自由度體系產(chǎn)生的動力響應。求解體系91、動力計算的特點、目的和內容1)特點：靜力荷載與動力荷載的特點及其效應。

靜力荷載是指其大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷載。這類荷載對結構產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計，由它所引起的內力和變形都是確定的。

動力荷載是指其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。這類荷載對結構產(chǎn)生的慣性力不能忽略，因動力荷載將使結構產(chǎn)生相當大的加速度，由它所引起的內力和變形都是時間的函數(shù)。

與靜力計算的對比：兩者都是建立平衡方程，但動力計算，利用動靜法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了慣性力，考慮的是瞬間平衡，荷載、內力都是時間的函數(shù)。建立的平衡方程是微分方程。

§10.1-10.2動力計算概述1、動力計算的特點、目的和內容1)特點：靜力荷載與動力荷載的102)目的和內容目的：計算結構的動力反應—內力、位移、速度與加速度，使結構在動內力與靜內力共同作用下滿足強度和變形的要求。

動力計算的內容：研究結構在動荷載作用下的動力反應的計算原理和方法。涉及到內外兩方面的因素：(1）確定動力荷載（外部因素，即干擾力）；(2）確定結構的動力特性（內部因素，如結構的自振頻率、周期、振型和阻尼等等），類似靜力學中的I、S等；計算動位移及其幅值；計算動內力及其幅值。2)目的和內容目的：計算結構的動力反應—內力、位移、11FP(t)tFP(t)t簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）一般周期荷載2、動力荷載分類

按變化規(guī)律及其作用特點可分為：

1）周期荷載：隨時間作周期性變化。（轉動電機的偏心力）2）沖擊荷載：短時內劇增或劇減。（如爆炸荷載）FP(t)tFP(t)ttrFPtrFPFP(t)tFP(t)t簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）一般周123）隨機荷載：(非確定性荷載)荷載在將來任一時刻的數(shù)值無法事先確定。（如地震荷載、風荷載）3）隨機荷載：(非確定性荷載)荷載在將來任一時刻的數(shù)值無法133、結構的動力特性結構在動荷載下的響應規(guī)律，與結構質量、剛度分布和能量耗散等有關。由結構自身上述物理量所確定的、表征結構動力響應特性的一些固有量，稱為結構的動力特性。對于動力特性相同的不同結構，在相同的動荷載作用下，它們在質量處的動力響應（位移、速度和加速度等等）是一樣的。因此，結構的動力特性是結構動力分析的重要研究內容。結構的動力特性包括以下三方面。

1）結構的自振頻率

當結構受到某種外界干擾后會產(chǎn)生位移或速度，但外界干擾消失后結構將在平衡位置附近繼續(xù)振動，這種振動稱為結構的自由振動。

自振頻率結構自由振動時的頻率稱為結構的自振頻率或固有頻率。

3、結構的動力特性結構在動荷載下的響應規(guī)律，與結構質量、剛14自振頻率個數(shù)：對多數(shù)工程結構來說，自振頻率的個數(shù)與結構的動力自由度數(shù)目相等。頻率譜：結構自振頻率按從小到大順序排列，稱為結構的頻率譜。不同類型的結構，頻率譜具有不同的特點。對于單跨梁、懸臂梁和不考慮扭轉振動的房屋建筑等結構，頻率譜中頻率的間隔較大，此類頻率譜稱為稀疏型的。對于連續(xù)梁、板、空間結構、考慮扭轉振動的房屋建筑等結構，頻率譜存在密集區(qū)，此類頻率譜稱為密集型的。

基頻：頻率譜中最小的頻率稱為結構的基本頻率，簡稱為基頻。其余依次稱為第二頻率、第三頻率等

2）結構的振型當結構按頻率譜中某一自振頻率作自由振動時,其變形形狀保持不變，這種變形形狀稱為結構的主振型，簡稱為振型。結構有多少個自振頻率，就有多少個相應的振型。自振頻率個數(shù)：對多數(shù)工程結構來說，自振頻率的個數(shù)與結構的動頻15

基本振型：與結構基本頻率對應的振型稱為結構的基本振型，其余依次稱為第二、第三振型等。結構的位移響應：對線性（線彈性）系統(tǒng)，結構的位移響應可用結構振型的線性組合來表示，3）結構的阻尼結構的自由振動其實是勢能與動能相互轉化的過程。如果在這一過程中沒有能量的耗散，則根據(jù)能量守恒定律，自由振動將是無衰減的等幅振動。但實際上，結構自由振動總是衰減的，直到最后恢復平衡（靜止）。這說明在結構的振動過程中存在著能量耗散，這種能量的耗散作用通常稱為阻尼。

產(chǎn)生能量耗散的因素很多，例如結構材料的內摩擦，各構件連接處的摩擦以及周圍介質的阻力等。有關阻尼作用機理的研究，目前尚未完全搞清楚。在動力分析中，為了便于數(shù)學處理，并盡可能符合實際，目前通常采用等效粘滯阻尼理論（就目前來說，阻尼理論只是一種假設）。它假設能量耗散是由阻尼力引起，作用于質量的阻尼力與質量的運動速度成比例，反映阻尼大小的參數(shù)由結構的動力試驗確定。

基本振型：與結構基本頻率對應的振型稱為結構的基本振型，結16

4、動力計算中體系的自由度與靜力計算一樣，在動力計算中，也需要事先選擇一個合理的計算簡圖。二者選取的原則基本相同，但在動力計算中，由于要考慮慣性力的作用，因此，還需要研究質量在運動中的自由度問題。

實際結構的質量都是連續(xù)分布的，嚴格地說來都是無限自由度體系。計算困難，常作簡化如下：

1)集中質量法把連續(xù)分布的質量集中為幾個質點，將一個無限自由度的問題簡化成有限自由度問題。確定體系運動過程中任意時刻全部質量位置所需確定的獨立幾何參數(shù)的個數(shù)稱為體系的振動自由度。4、動力計算中體系的自由度實際結構的質量都是連續(xù)172個自由度y2y12個自由度自由度與質量數(shù)不一定相等mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱廠房排架水平振時的計算簡圖單自由度體系單自由度體系2個自由度y2y12個自由度自由度與質量數(shù)不一定相等mm>>18水平振動時的計算體系多自由度體系構架式基礎頂板簡化成剛性塊θ(t)v(t)u(t)m1m2m32個自由度水平振動時的計算體系多自由度體系構架式基礎頂板簡化成剛性塊θ19動力自由度數(shù)的確定1)

平面上的一個質點W=22)W=2彈性支座不減少動力自由度3)計軸變時W=2不計軸變時W=1為減少動力自由度，梁與剛架不計軸向變形。4)W=15)W=2自由度數(shù)與質點個數(shù)無關，但不大于質點個數(shù)的2倍。6)W=27)W=1動力自由度數(shù)的確定1)平面上的一個質點W=22201）與幾何組成分析中的自由度不同。

M=ml分布質量，有無限自由度ml有關自由度的幾點說明：2）一般采用“集中質量法”，將連續(xù)分布的質量集中為幾個質點研究。1）與幾何組成分析中的自由度不同。M=213）并非一個質量集中點一個自由度（分析下例）。

4）結構的自由度與是否超靜定無關。2個自由度2個自由度4個自由度靜定結構6次超靜定結構3次超靜定結構3）并非一個質量集中點一個自由度（分析下例）。225）可用加鏈桿的方法確定動力自由度數(shù)。加入最少數(shù)量的鏈桿可以固定結構上所有質點的位置時，則該結構的動力自由度數(shù)目即等于所加入鏈桿的數(shù)目。5）可用加鏈桿的方法確定動力自由度數(shù)。加入最少數(shù)23y(x,t)x無限自由度體系2)廣義座標法：如簡支梁的變形曲線可用三角級數(shù)來表示

用幾條函數(shù)曲線來描述體系的振動曲線就稱它是幾個自由度體系，其中 ——是根據(jù)邊界約束條件選取的函數(shù)，稱為形狀函數(shù)。ak(t)——稱廣義座標，為一組待定參數(shù)，其個數(shù)即為自由度數(shù)，用此法可將無限自由度體系簡化為有限自由度體系。xyxa1，a2，……..any(x,t)y(x,t)x無限自由度體系2)廣義座標法：如簡支梁的變形曲245、動力計算的方法m…………..運動方程m設其中FP(t)＝FI(t)…………..平衡方程FI(t)－慣性力，與加速度成正比，方向相反改寫成虛功原理（拉格朗日方程）哈米頓原理（變分方程）都要用到抽象的虛位移概念根據(jù)達朗伯爾原理和所采用的阻尼理論，將慣性力、阻尼力假想地作用于質量上，再考慮作用于結構上的動荷載，結果使動力問題轉化成任一時刻都動平衡的靜力問題，此即理論力學中的動靜法。動力平衡法(直接平衡法)

（達朗伯爾原理）5、動力計算的方法m…………..運動方程m設其中FP(t)＝25

自由振動（固有振動）：靜平衡位置m獲得初位移ym獲得初速度自由振動產(chǎn)生原因：體系在初始時刻（t=0）受到外界的干擾。研究單自由度體系的自由振動重要性在于：1)它代表了許多實際工程問題，如水塔、單層廠房等。2)它是分析多自由度體系的基礎，包含了許多基本概念。自由振動反映了體系的固有動力特性。要解決的問題包括：建立運動方程、計算自振頻率、周期和阻尼……….

§10.3單自由度體系的振動分析振動過程中僅受彈性恢復力而不受外界干擾力作用的振動。

一、單自由度體系的自由振動自由振動靜平衡位置m獲得初位移ym獲得初速度自由振動產(chǎn)26

1、運動微分方程的建立方法：達朗伯爾原理應用條件：微幅振動（線性微分方程）1)剛度法：研究作用于被隔離的質量上的力，建立平衡方程。m..yj.yd靜平衡位置質量m在任一時刻的位移

y(t)=yj+ydk11力學模型.ydmmWFe(t)FI(t)+重力W=mg彈性力

恒與位移反向慣性力……………(a)恒與加速度反向1、運動微分方程的建立方法：達朗伯爾原理應用條件：微幅振動27其中

k11yj=W上式可以簡化為或由平衡位置計量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法?！?a)2)柔度法：研究結構上質點的位移，建立位移協(xié)調方程。..m靜平衡位置FI(t)可得與(b)相同的方程剛度法常用于剛架類結構，柔度法常用于梁式結構。其中k11yj=W上式可以簡化282、自由振動微分方程的解改寫為其中它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：積分常數(shù)C1，C2由初始條件確定設t=0

時（d）式可以寫成由上式可知，位移是由初位移y引起的余弦運動和由初速度v引起的正弦運動的合成.2、自由振動微分方程的解改寫為其中它是二階線性齊次微分方程，29

由上式可知，位移是由初位移y引起的余弦運動和由初速度v引起的正弦運動的合成，為了便于研究合成運動,令(e)式改寫成它表示合成運動仍是一個簡諧運動。其中A（表示質點m的最大動位移）和可由下式確定振幅初相角由上式可知，位移是由初位移y引起的余弦運動和由初速30y0ty-yTTTyt0yt0A-Ay0ty-yTTTyt0yt0A-A313、結構的自振周期和頻率由式及圖可見位移方程是一個周期函數(shù)。Tyt0A-A周期工程頻率園頻率(角頻率、簡稱為頻率）計算頻率和周期的幾種形式3、結構的自振周期和頻率由式及圖可見位移方程是一個周期函數(shù)。32其中δ11——是沿質點振動方向的結構柔度系數(shù)，它表示在質點上沿振動方向加單位荷載使質點沿振動方向所產(chǎn)生的位移。k11——使質點沿振動方向發(fā)生單位位移時，須在質點上沿振動方向施加的力。

yj=Wδ11——在質點上沿振動方向施加數(shù)值為W的荷載時質點沿振動方向所產(chǎn)生的位移。計算時可根據(jù)體系的具體情況，視δ11、k11、yj三參數(shù)中哪一個最便于計算來選用。其中33一些重要性質：（1）自振周期與且只與結構的質量和結構的剛度有關，與外界的干擾因素無關。干擾力只影響振幅。（2）自振周期與質量的平方根成正比，質量越大，周期越大（頻率越小）；自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，周期越?。l率越大）；要改變結構的自振周期，只有從改變結構的質量或剛度著手。（3）兩個外形相似的結構，如果周期相差懸殊，則動力性能相差很大。反之，兩個外形看來并不相同的結構，如果其自振周期相近，則在動荷載作用下的動力性能基本一致,是結構動力特性的重要數(shù)量標志。一些重要性質：34例1.計算圖示結構的頻率和周期。mEIl/2l/21例2.計算圖示結構的水平和豎向振動頻率。mlA,E,IE,I1E,A111IIEI1=mhk11例3.計算圖示剛架的頻率和周期。由截面平衡例1.計算圖示結構的頻率和周期。mEIl/2l/235例4、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質量m，不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。解：1）求δP=15l/32P=1l/2據(jù)此可得：ω1?ω2?ω3=1?1.512

?

2結構約束越強,其剛度越大;剛度越大,其自振動頻率也越大。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm例4、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質量m，不考361θ例5、求圖示結構的自振圓頻率。解法2：求

k11θ=1/hMBA=k11h=MBCk11lhmI→∞EIBAC1h解法1：求

δ111θ例5、求圖示結構的自振圓頻率。解法2：求k11θ=1/37例6、求圖示結構的自振頻率。lEImk1k11k11k解：求

k11對于靜定結構一般計算柔度系數(shù)方便。如果讓振動體系沿振動方向發(fā)生單位位移時，所有剛節(jié)點都不能發(fā)生轉動（如橫梁剛度為∞剛架)計算剛度系數(shù)方便。一端鉸結的桿的側移剛度為：兩端剛結的桿的側移剛度為：例6、求圖示結構的自振頻率。lEImk1k11k11k解：求384、簡諧自由振動的特性由式可得，加速度為：

在無阻尼自由振動中，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運動，即它們在同一時刻均達極值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。它們的幅值產(chǎn)生于時，其值分別為：

既然在運動的任一瞬時質體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時間也一樣，于是可在幅值處建立運動方程，此時方程中將不含時間t，結果把微分方程轉化為代數(shù)方程了，使計算得以簡化。慣性力為：4、簡諧自由振動的特性由式可得，加速度為：在無阻尼自39例7.計算圖示體系的自振頻率(不考慮重力)。ABCDEI=l/2l/2lkBCk..A1..A2

解：單自由度體系，以表示位移參數(shù)的幅值,各質點上所受的力為：建立力矩平衡方程化簡后得例7.計算圖示體系的自振頻率(不考慮重力)。ABCDEI=40m

受迫振動（強迫振動）：結構在動力荷載作用下的振動。k11y(t)ymk11yFP(t)mFP(t)FP(t)彈性力－ky、慣性力和荷載FP(t)之間的平衡方程為:1、簡諧荷載：mtFPyyqwsin2=+&&單自由度體系受迫振動的微分方程

二、單自由度體系的受迫振動m受迫振動（強迫振動）：結構在動力荷載作用下的振動。k141

tmFPtAtAqqwqqsinsinsin22=+-mtFPyyqwsin2=+&&設特解：二階線性非齊次常微分方程通解其中tytmFPystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=tmFPtAtAqqwqqsinsinsin22=+-m42最大靜位移yst：是把荷載最大值當作靜荷載作用時結構所產(chǎn)生的位移。特解可寫為：---荷載幅值作為靜荷載所引起的靜位移---動力系數(shù)---穩(wěn)態(tài)振幅---頻比最大靜位移yst：是把荷載最大值當作靜荷載作用時結構所產(chǎn)生的43通解可寫為：設t=0時的初始位移和初始速度均為零，在求出y的一階導數(shù)后聯(lián)合上式：過渡階段：振動開始兩種振動同時存在的階段；平穩(wěn)階段：后來只按荷載頻率振動的階段。（由于阻尼的存在）按自振頻率振動按荷載頻率振動通解可寫為：設t=0時的初始位移和初始速度均為零，在求出y的44平穩(wěn)階段任意時刻位移：最大動位移（振幅）為：動力系數(shù)μ為：1023123wqμ重要的特性：當θ/ω→0時,μ→1，荷載變化得很慢，可當作靜荷載處理。當0<θ/ω

<1時,μ>1，并且隨θ/ω的增大而增大。當θ/ω→1時,μ→∞。即當荷載頻率接近于自振頻率時，振幅會無限增大。稱為“共振”。通常把0.75<θ/ω<1.25稱為共振區(qū)。當θ/ω

>1時,μ的絕對值隨θ/ω的增大而減小。當θ很大時，荷載變化很快，結構來不及反應。平穩(wěn)階段任意時刻位移：最大動位移（振幅）為：動力系數(shù)μ為：145若要使振幅降低,應采取何種措施?通過改變頻比可增加或減小振幅.應使頻比減小.增加結構自頻.增加剛度、減小質量.應使頻比增大.減小結構自頻.減小剛度、增大質量.若要使振幅降低,應采取何種措施?通過改變頻比可增加或減小振幅46例8求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知動位移、動內力幅值計算計算步驟:1.計算荷載幅值作為靜荷載所引起的位移、內力；2.計算動力系數(shù)；3.將得到的位移、內力乘以動力系數(shù)即得動位移幅值、動內力幅值。mEIEIlFPl/4解.FPl/3動彎矩幅值圖例8求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知動位移、動內力幅值47例9求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移已知:解.Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4例9求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移解.Ql/2l48解.Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4動振幅幅值動彎矩幅值跨中最大彎矩跨中最大位移解.Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4動振49當動荷載作用在單自由度體系的質點上時，由于體系上各截面的內力、位移都與質點處的位移成正比，故各截面的最大動內力和最大動位移可采用統(tǒng)一的動力系數(shù)，只需將干擾力幅值乘以動力系數(shù)按靜力方法來計算即可。當動荷載作用在單自由度體系的質點上時，由于體系上各截面的內力50例10已知m=300kg，EI=90×105N.m2

,k=48EI/l3

,FP=20kN,θ=80s-1

求梁中點的動位移幅值及最大動力彎矩。2mEImkFPsinθt2m解：1)求ω2)求μ3)求ymax，Mmax如何求最大位移和最大彎矩？例10已知m=300kg，EI=90×105N.m2,51動荷載不作用于質點時的計算m=1=1令FP仍是位移動力系數(shù)是內力動力系數(shù)嗎?運動方程穩(wěn)態(tài)解振幅不是！動荷載不作用于質點時的計算m=1=1令FP仍是位移動力系數(shù)是52[列幅值方程求內力幅值]解:例11求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖.同頻同步變化mEIl/2l/2FP=1[列幅值方程求內力幅值]解:例11求圖示體系振幅、動彎矩幅53FP動彎矩幅值圖解:例12求圖示體系右端的質點振幅mlmkllAFPoFPFP動彎矩幅值圖解:例12求圖示體系右端的質點振幅mlmk542、一般荷載由于運動微分方程是線性的，疊加原理可以應用。體系在隨時間任意變化的動力荷載作用下的響應，可視作在一系列獨立瞬時沖量連續(xù)作用下響應的總和。因此只需對瞬時沖量作用所引起的微分響應進行積分，便可得到體系在一般動力荷載作用下的響應。一般荷載作用下的動力反應可分兩步討論：首先討論瞬時沖量的動力反應，然后在此基礎上討論一般荷載的動力反應。即可利用瞬時沖量的動力反應來推導一般荷載的的動力反應。2、一般荷載由于運動微分方程是線性的，疊加原551)瞬時沖量的動力反應FP(t)tFP瞬時沖量dS引起的振動可視為由初始條件引起的微幅自由振動。dt

cossin)(00www+=tvtytyt=0時作用瞬時沖量dS所引起的動力反應設t=0時體系處于靜止狀態(tài)，然后有瞬時沖量ds作用由動量定理：dv為瞬時沖量引起的速度增量。此時質體的位移增量可由上式積分求得，它是時間微段dt的二階微量，可以略去。1)瞬時沖量的動力反應FP(t)tFP瞬時沖量dS引起的振動562)任意荷載FP(t)的動力反應FP(t)tττ時刻的微分沖量對t瞬時(t>τ)引起的動力微分響應:初始靜止狀態(tài)的單自由度體系在任意荷載作用下的位移響應公式:當初始位移y0和初始速度v0不為零在任意荷載作用下的位移公式:t(Duhamel

積分，在數(shù)學上稱為卷積或褶積，這是單自由度體系受迫振動微分方程的一個特解。這是單自由度體系受迫振動微分方程的全解。2)任意荷載FP(t)的動力反應FP(t)tττ時刻的微分沖573)幾種典型荷載的動力反應(1）突加荷載

FP(t)tFP0yst=FP0δ11=FP0

/mω2ysty(t)ωt0π2π3π質點圍繞靜力平衡位置作簡諧振動3)幾種典型荷載的動力反應(1）突加荷載FP(t)t58(2）短時荷載

FP(t)tFP0u階段Ⅰ(0<t<u)：與突加荷載相同。階段Ⅱ(t>u)：無荷載，體系以t=u時刻的位移

和速度為初始條件作自由振動。sincos)(00www+=tvtyty或者直接由Duhamel積分作(2）短時荷載FP(t)tFP0u階段Ⅰ(0<t<u59另解：短時荷載可認為由兩個突加荷載疊加而成。FP(t)tFPFP(t)tFPuFP(t)tFPu當0<t<u當t>u另解：短時荷載可認為由兩個突加荷載疊加而成。FP(t)tFP60最大動反應1）當

u>T/2

最大動位移發(fā)生在階段Ⅰ2）當u<T/2

最大動位移發(fā)生在階段Ⅱμ=2μ1/611/22動力系數(shù)反應譜(μ與u/T之間的關系曲線)這也就是工程上之所以可將吊車制動力對廠房的水平作用視為突加荷載處理的原因最大動反應1）當u>T/2最大動位移發(fā)生在階段Ⅰ2）61(3）線性漸增荷載

FP(t)tFP0tr這種荷載引起的動力反應同樣可由Duhamel積分來求解:

對于這種線性漸增荷載,其動力反應與升載時間的長短有很大關系。其動力系數(shù)的反應譜如下：(3）線性漸增荷載FP(t)tFP0tr這種荷載引起6201.02.03.04.0μtrFP0動力系數(shù)反應譜動力系數(shù)μ介于1與2之間。如果升載很短，tr<T/4,則μ接近于2,即相當于突加荷載情況。如果升載很長，tr>4T,則μ接近于1,即相當于靜荷載情況。常取外包虛線作為設計的依據(jù)。01.02.03.04.03三、阻尼對振動的影響

實驗證明，振動中的結構，不僅產(chǎn)生與變形成比例的彈性內力，還產(chǎn)生非彈性的內力，非彈性力起阻尼作用。在不考慮阻尼的情況下所得出的某些結論也反應了結構的振動規(guī)律，如：

事實上，由于非彈性力的存在，自由振動會衰減直到停止；共振時振幅也不會無限增大，而是一個有限值。非彈性力起著減小振幅的作用，使振動衰減，因此，為了進一步了解結構的振動規(guī)律，就要研究阻尼。1)阻尼的存在忽略阻尼的振動規(guī)律考慮阻尼的振動規(guī)律結構的自振頻率是結構的固有特性，與外因無關。簡諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。自由振動的振幅永不衰減。自由振動的振幅逐漸衰減。共振時的振幅趨于無窮大。共振時的振幅較大但為有限值。三、阻尼對振動的影響實驗證明，振動中的結構，不僅產(chǎn)生642)在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素(1）結構在變形過程中材料內部有摩擦，稱“內摩擦”，耗散能量；(2）建筑物基礎的振動引起土壤發(fā)生振動，此振動以波的形式向周圍擴散，振動波在土壤中傳播而耗散能量；(3）土體內摩擦、支座上的摩擦、結點上的摩擦和空氣阻尼等等。

振動的衰減和能量的耗散都通過非彈性力來考慮，由于對非彈性力的描述不同，目前主要有兩種阻尼理論：*粘滯阻尼理論——非彈性力與變形速度成正比：*滯變阻尼理論關于阻尼，有兩種定義或理解：(1）使振動衰減的作用；(2）使能量耗散。3)阻尼力的確定：總與質點速度反向；大小與質點速度有如下關系：(1）與質點速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。(2）與質點速度平方成正比（如質點在流體中運動受到的阻力）。(3）與質點速度無關（如摩擦力）。其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。2)在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素(1）結構在變形過程中65yk11yk11my4)有阻尼的自由振動，動平衡方程：(阻尼比）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety設解為：特征方程為：c令根據(jù)三種情況，可得出三種運動形態(tài)。yk11yk11my4)有阻尼的自由振動，動平衡方程：(阻66)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety設解為：特征方程為：(1)ξ<1（低阻尼）情況低阻尼體系的自振圓頻率由初始條件)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltC67Ae-ξωttyty低阻尼y-t曲線無阻尼y-t曲線①阻尼對自振頻率的影響.

當ξ<0.2，則存在0.96<ωr/ω<1。在工程結構問題中，0.01<ξ<0.2，可近似取:Ae-ξωttyty低阻尼y-t曲線無阻尼y-t曲線①阻68等式左邊稱為振幅的對數(shù)遞減率.設An和An+m

是相隔m個周期的兩個振幅則:工程中常用此方法測定阻尼②阻尼對振幅的影響.振幅Ae-ξω

t

隨時間衰減，相鄰兩個振幅的比:振幅按等比級數(shù)遞減.經(jīng)過一個周期后，相鄰兩振幅An和An+1的比值的對數(shù)為:等式左邊稱為振幅的對數(shù)遞減率.設An和An+m是相隔m個周69臨界阻尼常數(shù)ccr為ξ=1時的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點）阻尼比,反映阻尼情況的基本參數(shù)。(3)ξ>1強阻尼：不出現(xiàn)振動，實際問題不常見。(2)ξ=1（臨界阻尼）情況)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動性。臨界阻尼常數(shù)ccr為ξ=1時的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點）70EI=∞m例13圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質量均集中在橫梁處共計為m9.8kN

，加一水平力FP=9.8kN，測得側移A0=0.5cm，然后突然卸載使結構發(fā)生水平自由振動。在測得周期T=1.5s及一個周期后的側移A1=0.4cm。求結構的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。解：=wxk112=wxmc2=wwxm22EI=∞m例13圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子71例14.對圖示剛架進行自由振動以測動力特性。加力20kN時頂部側移2cm，振動一周T=1.4s后，回擺1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。k2k2W=mg解：(1)大梁的重量,由(2)自振頻率(3)阻尼特性例14.對圖示剛架進行自由振動以測動力特性。加力20kN時72k2k2W=mg(4)6周后的振幅kkW=mg(4)6周后的振幅735）有阻尼的強迫振動①單獨由v0引起的自由振動：②瞬時沖量ds=FPdt=mv0所引起的振動，可視為以v0=FPdt/m，y0=0為初始條件的自由振動：③將荷載FP(t)的加載過程看作一系列瞬時沖量：FP(t)tτt5）有阻尼的強迫振動①單獨由v0引起的自由振動：②瞬時沖量d74③將荷載FP(t)的加載過程看作一系列瞬時沖量：④總反應FP(t)tτt這就是開始處于靜止狀態(tài)的單自由度體系在任意荷載FP(t)作用下所引起的有阻尼的強迫振動的位移特解。③將荷載FP(t)的加載過程看作一系列瞬時沖量：④總反應75如果還有初始y0和初始速度v0,則總位移為：這就單自由度體系在任意荷載FP(t)作用下所引起的有阻尼的強迫振動的位全解。如果還有初始y0和初始速度v0,則總位移為：這就單自由度體系76（1）突加荷載FP0低阻尼y-t曲線無阻尼y-t曲線ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π靜力平衡位置具有阻尼的體系在突加荷載作用下，最初所引起的最大位移接近于靜位移yst=FP0/mω2的兩倍，然后逐漸衰減，最后停留在靜力平衡位置。（1）突加荷載FP0低阻尼y-t曲線無阻尼y-t曲線ys77（2）簡諧荷載FP(t)=Fsinθt設特解為：y=Asin

θt+Bcosθt代入得：+{Asinθt

+Bcosθt}齊次解加特解得到通解：自由振動，因阻尼作用，逐漸衰減、消失。純強迫振動，平穩(wěn)振動，振幅和周期不隨時間而變化。結論：在簡諧荷載作用下，無論是否計入阻尼的作用，純強迫振動部分總是穩(wěn)定的周期運動，稱為平穩(wěn)振動。（2）簡諧荷載FP(t)=Fsinθt設特解為：y=Asi78（2）簡諧荷載FP(t)=Fsinθt設特解為：y=Asin

θt+Bcosθt代入得：+{Asinθt

+Bcosθt}齊次解加特解得到通解：y=Asinθt

+Bcosθt=yPsin(θt

－α)動振幅：yp，最大靜力位移：yst=F/k11=F/mω2（2）簡諧荷載FP(t)=Fsinθt設特解為：y=Asi79動力系數(shù)μ與頻率比θ/ω和阻尼比ξ有關4.03.02.01.001.02.03.0μθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點注意：①阻尼對簡諧荷載下的動力系數(shù)影響較大。動力系數(shù)μ隨阻尼比ξ的增大而迅速減小。特別是在θ/ω=1附近μ的峰值下降的最為顯著。②當θ接近ω時，μ增加很快，ξ對μ的數(shù)值影響也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振區(qū))內，阻尼大大減小了受迫振動的位移，因此,為了研究共振時的動力反映,阻尼的影響是不容忽略。在共振區(qū)之外阻尼對μ的影響較小，可按無阻尼計算。動力系數(shù)μ與頻率比θ/ω和阻尼比ξ有關4.03.02.01.80③μ

max并不發(fā)生在共振θ/ω=1時，而發(fā)生在，但因ξ很小，實際工程中可近似地認為：③μmax并不發(fā)生在共振θ/ω=1時，而發(fā)生在，81④由y=yPsin(θt－α

)可見，阻尼體系的位移比荷載FP=Fsinθt

滯后一個相位角α，

彈性恢復力力Fe(t)，慣性力FI(t)，阻尼力FR分別為：FP(t)=Fsinθt④由y=yPsin(θt－α)可見，阻尼體系的位移比荷82FP(t)=Fsinθt當→0，

θ<<ω時,α→0°，說明y(t)和FP（t）趨于同步，體系振動得很慢，慣性力FI(t)和阻尼力FR(t)

較小，動荷主要與彈性力Fe(t)

平衡，F(xiàn)e(t)

與位移y反向，荷載可作靜荷載處理。當→∝，θ>>ω時,α→180°，說明y(t)和FP（t）趨于反向，動力系數(shù)u→0，即體系的動位移趨向于零。體系振動得很快，慣性力FI(t)很大，動荷主要由慣性力FI(t)平衡，體系的動內力趨向于零。FP(t)=Fsinθt當→0，θ<<ω時,α→0°，83tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω2=mθ2FP(t)=Fsinθt當θ=ω時,α→90°tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω84tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω2=mθ2當θ=ω時,α→90°由此可見：共振時（θ=ω），慣性力與恢復力平衡；而動力荷載與阻尼力平衡。因此，在頻率比的共振區(qū)內，阻尼對體系的動力影響將其重要作用。動荷恰與阻尼力平衡，故運動呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)不會出現(xiàn)內力為無窮大的情況。而在無阻尼受迫振動時，因不存在阻尼力與動荷載平衡，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω85例15圖示塊式基礎.機器與基礎的質量為;地基豎向剛度為;豎向振動時的阻尼比為機器轉速為N=800r/min,其偏心質量引起的離心力為FP=30kN.求豎向振動時的振幅。解：例15圖示塊式基礎.機器與基礎的質量為86例16求突加荷載作用下的位移，開始時靜止，不計阻尼。m解：動力系數(shù)為2例16求突加荷載作用下的位移，開始時靜止，不計阻尼。m解：87m1m2y1(t)y2(t)m1m2K2K1K2K1y1(t)y2(t)11

§10.4兩自由度體系的自由振動自由振動分析的目的是確定體系的動力特性.可不計阻尼。1.運動方程及其解或m1m2y1(t)y2(t)m1m2K2K1K2K1y1(t88假設兩個質點為簡諧運動設方程的特解為m1m2y1(t)y2(t)上式所表示的運動有以下特點：1）在振動過程中，兩質點具有相同的頻率和相同的相位角，Y1和Y2是位移幅值。2）在振動過程中，兩質點的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但二者的比值始終保持不變，即：這種結構位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振型假設兩個質點為簡諧運動m1m2y1(t)y2(t)上式所表示89假設兩個質點為簡諧運動設方程的特解為代入方程,得---頻率方程—振型方程m1m2y1(t)y2(t)假設兩個質點為簡諧運動代入方程,得---頻率方程—振型方程m90顯然Y1=Y2=0為其解，為了求得不全為零的解，令---頻率方程—振型方程顯然Y1=Y2=0為其解，為了求得不全為零的解，令---91解頻率方程得的兩個根值小者記作稱作第一頻率也稱作基本頻率;值大者記作稱為第二頻率或高階頻率.解頻率方程得的兩個根值小者記作稱作第一頻率也稱作基本頻92將頻率代入振型方程特解2特解1由于行列式D=0，方程組中的兩個方程是線性相關的，實際上只有一個獨立方程。由其中的任一方程，可求出比值Y1/Y2,這個比值所確定的振動形式就是與第一圓頻率相對應的振型，稱為第一振型或基本振型。Y11、Y21分別表示第一振型中質點1和2的振幅。同理，可以求出的另一個比值Y1/Y2，這個比值所確定的另一個振動形式稱為第二振型將頻率代入振型方程特解2特解1由于行列式D=0，方程組93通解2.頻率與振型m1m2Y21Y11Y12Y22振動過程中，結構位移形狀保持不變的振動形式，稱為主振型。通解2.頻率與振型m1m2Y21Y11Y12Y22振動過程中94體系按特解振動時有如下特點1)各質點同頻同步;2)任意時刻,各質點位移的比值保持不變幾點說明：1)按振型作自由振動時，各質點的速度的比值也為常數(shù)，且與位移比值相同。2)發(fā)生按振型的自由振動是有條件的.體系按特解振動時有如下特點1)各質點同頻同步;2)任意時刻,954)N自由度體系有N個頻率和N個振型頻率方程解頻率方程得,從小到大排列依次稱作第一頻率,第二頻率...第一頻率稱作基本頻率,其它為高階頻率.將頻率代入振型方程得N個振型N個振型是線性無關的.3)振型與頻率是體系本身固有的屬性,與外界因素無關.4)N自由度體系有N個頻率和N個振型頻率方程解頻率方程得965)柔度法m1m2y1(t)y2(t)設解為此時慣性力幅值在自由振動過程中任意時刻t，質量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)應當?shù)扔隗w系在當時慣性力作用下的靜力位移。5)柔度法m1m2y1(t)y2(t)設解為此時慣性力幅值在97m1m2Y1Y2

當然解Y1=Y2=0，為了求得不全為零的解，令令主振型m1m2Y1Y2當然解Y1=Y2=0，令主振型98m1m2振型可看作是體系按振型振動時，慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移采用柔度矩陣時6)求振型、頻率可列幅值方程.振型方程頻率方程按振型振動時m1m2振型可看作是體系按振型振動時，采用柔度矩陣時6)求振99例16設圖示剛架橫梁剛度為無限大，層間側移剛度分別為k1和k2，試求剛架水平振動時的自振動頻率和主振型。m1m2k1k2解：（1）求頻率方程中的剛度系數(shù)11k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2例16設圖示剛架橫梁剛度為無限大，層間側移剛度分別為k1和100（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振型（2）求頻率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式若有（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振101（5）求主振型（4）求頻率若有若n=90則第一振型和第二振型分別為：可見當頂端質點的質量和剛度很小時，頂端水平側移很大。

建筑結構抗震設計中，將這種因頂端質點質量和剛度突變，而導致頂端巨大反應的現(xiàn)象，稱為鞭梢效應。如：屋頂消防水池、上人屋面設計的樓電梯間，女兒墻或屋頂建筑物等。（5）求主振型（4）求頻率若有若n=90則第一振型和第二振102例17質量集中在樓層上，層間側移剛度如圖。求自振頻率k11=4k/3解：1）求剛度系數(shù)：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5

剛度矩陣[K]和質量矩陣[M]：11例17質量集中在樓層上，層間側移剛度如圖。求自振頻率k11103展開得：2η3－42η2＋225η－225＝0解得：η1=1.293，η2=6.680，η3=13.0272）求頻率：代入頻率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝03）求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0的后兩式：

（令Y3i=1）（a）展開得：2η3－42η2＋225η－225＝02）求頻率：代10410.5690.16311.2270.92413.3422.76

Yij為正時表示質量mi的運動方向與單位位移方向相同，為負時，表示與單位位移方向相反。10.5690.16311.2270.92413.3422.1050.5a例18試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）計算頻率1a1（2）振型10.27713.61第一振型第二振型0.5a例18試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。1063、主振型及主振型的正交性

m1m2Y11Y21由功的互等定理：整理得：m1m2Y12Y22因，則存在：兩個主振型相互正交，因與質量有關，稱為第一正交關系。3、主振型及主振型的正交性m1m2Y11Y21由功的互等定107由功的互等定理：上式分別乘以ω12、ω22，則得：第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會轉移到其它主振型上，不會引起其它主振型的振動；各個主振型能單獨存在，而不相互干擾。由功的互等定理：上式分別乘以ω12、ω22，則得：第一主振型1081、柔度法（忽略阻尼）因為在簡諧荷載作用下，荷載頻率在共振區(qū)之外，阻尼影響很??；在共振區(qū)之內時，計不計阻尼，雖對振幅影響很大，但都能反映共振現(xiàn)象。tPqsintPqsiny1y2....P（2）動位移的解答及討論通解包含兩部分：齊次解對應按自振頻率振動的自由振動，由于阻尼而很快消失；特解對應按荷載頻率振動的簡諧振動是平穩(wěn)階段的純強迫振動。（1）建立振動微分方程各簡諧荷載頻率相同相位相同，否則用其他方法

§10.5兩自由度體系的受迫振動1、柔度法（忽略阻尼）tPqsintPqsiny1y2...109n各自由度體系，存在n個可能的共振點設純強迫振動解答為：代入：n各自由度體系，存在n個可能的共振點設純強迫振動解答為：代入110（3）動內力幅值的計算....

荷載、位移、慣性力同頻、同相、同時達到最大。位移達到最大時，內力也達到最大。求內力時可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結構，用靜力法求出內力，即為動內力幅值?；蛴茂B加公式求：由Y1，Y2值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：代入位移幅值方程可得求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）（3）動內力幅值的計算....荷載、位移、慣性力同頻111y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)在平穩(wěn)階段，各質點也作簡諧振動：Y1=D1/D0Y2=D2/D0如果荷載頻率θ與任一個自振頻率ω1、ω2重合，則D0=0,當D1、D2不全為零時，則出現(xiàn)共振現(xiàn)象....2.剛度法y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)在平穩(wěn)階段，各質點也112m2m1k2k1例19質量集中在樓層上m1、m2，層間側移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2當m1=m2=m，k1=k2=km2m1k2k1例19質量集中在樓層上m1、m2，層間側1133.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0兩個質點的位移動力系數(shù)不同。當

趨于無窮大?？梢娫趦蓚€自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.114kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內力yst1=yst2=P/k層間剪力:

Qst1=P動荷載產(chǎn)生的位移幅值和內力幅值θ2mY2θ2mY1由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。層間動剪力:kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內力y115例20m2m1k2k1質量集中在樓層上m1、m2，層間側移剛度為k1、k2k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2m1k1m2k2這說明在右圖結構上，適當增加m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動（動力吸振器原理）。

吸振器不能盲目設置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動時才有必要設置。設計吸振器時，先根據(jù)m2的許可振幅Y2，選定，再確定例20m2m1k2k1質量集中在樓層上m1、m2，層間側移116例21如圖示梁中點放一電動機。重2500N，電動機使梁中點產(chǎn)生的靜位移為1cm，轉速為300r/min，產(chǎn)生的動荷載幅值P=1kN，問：1）應加動力吸振器嗎？2）設計吸振器。(許可位移為1cm)Psinθt解：1）頻率比在共振區(qū)之內應設置吸振器。2）由k2m2彈簧剛度系數(shù)為：N/m=102kg例21如圖示梁中點放一電動機。重2500N，電動機使梁中點117tPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例22圖示簡支梁EI=常數(shù)，θ=0.75ω1求動位移幅值和動彎矩幅值。解：1)求柔度系數(shù)P2)作MP圖，求Δ1PΔ2PtPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例22118P1=1P2=1P5)計算動內力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd圖1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd圖6)比較動力系數(shù)因此，多自由度體系沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)。P1=1P2=1P5)計算動內力I1=0.6808PPI2=119l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如圖示對稱結構在對稱荷載作用下。與ω2相應的振型是12k2211mkw--2212YY==－1當θ=ω2

，D0=0，也有：不會趨于無窮大，不發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個。

對稱體系在對稱荷載作用下時，只有當荷載頻率與對稱主振型的自振頻率相等時才發(fā)生共振；當荷載頻率與反對稱主振型的自振頻率相等時不會發(fā)生共振。同理可知：對稱體系在反對稱荷載作用下時，只有當荷載頻率與反對稱主振型的自振頻率相等時才發(fā)生共振。

l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如圖示對稱結構120例23已知圖a剛架受簡諧荷載作用，θ=0.6ω,繪出動力彎矩圖Md，并求柱頂最大位移

ymax。解：利用對稱性取半邊結構如圖所示。柱頂位移

，代入方程，得慣性力：

（注意：質量應減半）例23已知圖a剛架受簡諧荷載作用，θ=0.6ω,繪出動力彎121由于

，代入上式，則方程變?yōu)?/p>

只考慮穩(wěn)態(tài)振動，設方程的特解

代入方程解得，

所以M圖如圖所示。由于，代入上式，則方程變?yōu)橹豢紤]穩(wěn)態(tài)振動，設方程的特解122例24求圖a所示體系的自振頻率及主振型。梁EI=常數(shù)。解：將原結構化成正對稱和反對稱半結構分別計算（圖b、c）。例24求圖a所示體系的自振頻率及主振型。梁EI=常數(shù)。123，

當ω=ω1時，振型為正對稱，則當ω=ω2時，振型為反對稱，則

，當ω=ω1時，振型為正對稱，則當ω=ω2時，振型為反對稱1241、能量法求第一頻率——Rayleigh法

根據(jù)能量守恒定律，當不考慮阻尼自由振動時，振動體系在任何時刻的動能T

和應變能U

之和應等于常數(shù)。根據(jù)簡諧振動的特點可知：在體系通過靜力平衡位置的瞬間，速度最大（動能具有最大值），動位移為零（應變能為零）；當體系達到最大振幅的瞬間（變形能最大），速度為零（動能為零）。對這兩個特定時刻，根據(jù)能量守恒定律得：

Umax=Tmax

ω求Umax

，Tmax

求頻率

如梁上還有集中質量mi，位移幅值.Yi為集中質量mi處的位移幅值。

§10.6近似法求自振頻率1、能量法求第一頻率——Rayleigh法根據(jù)能125假設位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點：1)必須滿足運動邊界條件：（鉸支端：Y=0；固定端：Y=0，Y′=0）

盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計。2)所設位移幅值函數(shù)應與實際振型形狀大致接近；如正好與第

n主振型相似，則可求的ωn的準確解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲線，得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難，計算高頻率誤差較大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。3)相應于第一頻率所設的振型曲線，應當是結構比較容易出現(xiàn)的變形形式。曲率小，拐點少。4)通?？扇〗Y構在某個靜荷載q（x）（如自重）作用下的彈性曲線作為Y（x）的近似表達式。此時應變能可用相應荷載q（x）所作的功來代替，即假設位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點：1)必須滿足運動邊1262）假設均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x)例25試求等截面簡支梁的第一頻率。1）假設位移形狀函數(shù)為拋物線lyx滿足邊界條件且與第一振型相近3）假設第一振型的精確解。精確解2）假設均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x)例25試127xh0l例26求楔形懸臂梁的自振頻率。設梁截面寬度為1，高度為h=h0x/l。解：單位長度的質量：設位移形狀函數(shù)：滿足邊界條件：

Rayleigh法所得頻率的近似解總是比精確解偏高。其原因是假設了一振型曲線代替實際振型曲線，迫使梁按照這種假設的形狀振動，相當于給梁加上了某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。當所設振型越接近于真實，則相當于對體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實，即偏高量越小。截面慣性矩：相比誤差為3%與精確解xh0l例26求楔形懸臂梁的自振頻率。設梁截面寬度為11281)假設多個近似振型都滿足前述兩個條件。2)將它們進行線性組合（a1、a2、?????????、an是待定常數(shù)）nnaaaxY┉+++=2211)(jjj

3)確定待定常數(shù)的準則是：獲得最佳的線性組合，這樣的Y（x）代入頻率計算公式中得到的ω2的值雖仍比精確解偏高，但對所有的a1，a2，…，an的可能組合，確實獲得了最小的ω2值。所選的a1，a2，…，an使ω2獲得最小值的條件是這是以a1，a2，…，an為未知量的n個奇次線性代數(shù)方程。令其系數(shù)行列式等于零，得到頻率方程，可以解出原體系最低n階頻率來。階次越低往往越準。

為了使假設的振型盡可能的接近真實振型，盡可能減小假設振型對體系所附加的約束，Ritz

提出了改進方法：1)假設多個近似振型都滿足前述兩個條件。2)將它們進1292w2w2w2w2w2w2w2w2w2w130例27用Rayleigh—Ritz

法求等截面懸臂梁的最初幾個頻率。xl解：懸臂梁的位移邊界條件為：（在左端）Y’=0Y=0只取第一項代入：代入頻率方程：其精確解：與精確解相比，誤差為27%。例27用Rayleigh—Ritz法求等截面懸臂梁的最131例28用Rayleigh—Ritz法求等截面懸臂梁的最初幾個頻率。xl解：取兩項代入：代入頻率方程：求得kij，mij：求得最初兩個頻率近似值：（0.48%）（58%）說明說明：1)由于φ1、φ2均近似于第一振型，由它們組合的第二振型自然很差，故第二頻率不準。2)Rayleigh—Ritz法所得結果仍然偏高，其原因同瑞利法。例28用Rayleigh—Ritz法求等截面懸臂梁的最初幾1322、集中質量法

在計算無限自由度體系的自振頻率時，可以用若干個集中質量來代替連續(xù)分布的質量。關于質量的集中方法有多種，最簡單的是靜力等效的集中質量法。該法既可求基本頻率，也可求較高頻率。且適用于各類結構。集中質量的數(shù)目越多結果越精確，但工作量也就越大。等效原則：使集中后的重力與原重力互為靜力等效，即兩者的合力相等。作法：將桿分為若干段，將每段質量集中于其質心或集中于兩端。l例29試用集中質量法求簡支梁自振頻率。2、集中質量法在計算無限自由度體系的自振頻率133ll/3l/3(－0.7%）l/3l/3l/3l/3l/3l/3l/3(－0.1%）(－3.1%）(－0.05%）(－4.8%）(－0.7%）ll/3l/3(－0.7%）l/3l/3l/3l/3l/3l134

對于對稱剛架，可分別用不同的集中質量方案求出對稱振動和反對稱振動的自振頻率。2ll2ll最小頻率對應著反對稱振型對于對稱剛架，可分別用不同的集中質量方案求出對稱振動135第10章結構動力學簡介山東農(nóng)業(yè)大學結構力學課程組第10章結構動力學簡介山東農(nóng)業(yè)大學結構力學課程組136學習結構動力學應該較扎實地掌握結構靜力分析、微積分和常微分方程等相關知識，主要是如下相關內容：1）能熟練的分析計算并繪制結構的彎矩圖或內力圖（靜定結構利用平衡、區(qū)段疊加、微分關系等；超靜定結構用力法、位移法或力矩分配法等計算分析并作圖）；2）能熟練地計算結構的指定位移δij、△ip；3）能熟練地計算結構的指定反力rij、RiP；4）要能熟練掌握常用的微積分知識和常微分方程知識（由加慣性力等之后的動靜法可知，動力學問題將是微分方程的求解問題，就本書內容屬于常系數(shù)常微分方程）；

5）要熟練的掌握線性代數(shù)（矩陣的表達、運算和矩陣方程的求解）。學習結構動力學應該較扎實地掌握結構靜力分析、微積分137如果對上述內容掌握的不好或已經(jīng)有所遺忘，必須進行適當?shù)膹土暎ú灰欢ㄏ到y(tǒng)復習，可以涉及什么問題時復習什么內容），要力爭達到上述要求?！扒谒?、多練”，這是學習任何理工科課程共同的學習方法。勤思——要抓住基本思想、基本方法將書讀?。欢嗑殹捎谏婕皵?shù)學知識比靜力分析稍難，多數(shù)內容不自行動手推一推，最多僅僅能達到牢記，而不能達到掌握。通過一定的習題練習，進一步理解和鞏固理論知識，從中總結解決問題的技巧、經(jīng)驗，這是“熟能生巧”必不可少的。如果對上述內容掌握的不好或已經(jīng)有所遺忘，必須進行適當?shù)?38結構動力學與工程實際有著十分密切的關系，它在結構振動實驗