1995年全國高考數(shù)學(xué)試題

一九九五年全國高考數(shù)學(xué)試題理科試題一．選擇題：本題共15個小題;第（1）-（10）題每小題4分，第（11）-（15）題每小題5分，共65分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）已知I為全集，集合M，NI，若MN=N，則（C）(A)y(B)y(C)y(D)yo1x-1ox（B）（C）o1x-1ox（A）（D）（B）（2）函數(shù)（3）函數(shù)（A）的圖象是的最小正周期是（C）（B）（C）（D）（4）正方體的全面積是（A）（B），它的頂點都在球面上，這個球的表面積是（B）（C）（D）（5）若圖中的直線的斜率分別為，則（D）yOx（A）（B）（C）（D）（6）在的展開式中，的系數(shù)是（D）（A）-297（B）-252（C）297（D）207（7）使（A）成立的的取值范圍是（B）（B）（B）（C）的漸近線方程是（C）（D）（8）雙曲線（A）（C）（D）（9）已知是第三象限角，且，那么等于（A）（B）（C）（D）（A）（10）已知直線，直線.有下面四個命題：（D）①③②④其中正確的兩個命題是（A）①與②（B）③與④（C）②與④（D）①與③（11）已知在[0，1]上是x的減函數(shù)，則的取值范圍是（B）（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）[2，+）（12）等差數(shù)列的前n項和分別為與，若（C）等于（A）1（B）（C）（D）（13）用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（A）（A）24個（B）30個（C）40個（D）60個（14）在極坐標(biāo)系中，橢圓的兩焦點分別在極點和（2c，0），離心率為e,則它的極坐標(biāo)方程是（D）（A）（B）（D）（C）B1D1A1F1C1BCA（15）如圖，A1B1C1-ABC是直三棱柱，∠BCA=900，點D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點。若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（A）（A）（B）（C）（D）二．填空題：本大題共5小題;每小題4分，共20分。把答案填在題中橫線上。（16）不等式的解是__________答：（17）已知圓臺上、下底面圓周都在球面上，且下底面過球心，母線與底面所成的角為，則圓臺的體積與球體積之比_______答：(18)函數(shù)的最小值是_______答：（19）直線過拋物線的焦點，并且與x軸垂直，若被拋物線截得的線段長為4，則_______答：4（20）四個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有________種（用數(shù)字作答）答：144三．解答題：本大題共6小題;共65分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。（21）（本小題滿分7分）在復(fù)平面上，一個正方形的四頂點按照逆時針方向依次為Z1，Z2，Z3，O（其中O是原點），已知Z2對應(yīng)復(fù)數(shù)。求Z1和Z3對應(yīng)的復(fù)數(shù)。解：設(shè)Z1，Z3對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為依題設(shè)得（22）（本小題滿分10分）求的值。解：原式=（23）（本小題滿分12分）如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足。（Ⅰ）求證：AF⊥DB;（Ⅱ）如果圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于，求直線DE與平面ABCD所成的角。DCFAEHB（Ⅰ）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，DA⊥平面ABE∵BE平面ABE，∴DA⊥EB.∵AB是圓柱底面的直徑，點E在圓周上，∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB∴AF⊥DB.（Ⅱ）解：過點E作EH⊥AB，H是垂足，連結(jié)DH.根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交線，且EH平面ABE，∴EH⊥平面ABCD.又DH平面ABCD，∴DH是ED在平面ABCD上的射影，從而∠EDH是DE與平面ABCD所成的角.設(shè)圓柱的底面半徑而R，則DA=AB=2R，于是V圓柱=2πR3，VD-ABE=AD·S△ABEV圓柱:VD-ABE=3π,得EH=R.可知H是圓柱底面的圓心，AH=R，=·EH.DH=∴∠EDH=（24）（本小題滿分12分）某地為促進淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補貼。設(shè)淡水魚的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克，根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)8≤x≤14時，淡水魚的市場日供應(yīng)量P千克與市場日需求量Q千克近似的滿足關(guān)系：當(dāng)P=Q時的市場價格稱為市場平衡價格。（Ⅰ）將市場平衡價格表示為政府補貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域;（Ⅱ）為使市場平衡價格不高于每千克10元，政府補貼至少為每千克多少元？解：（Ⅰ）依題設(shè)有化簡得當(dāng)判別式時，可得①②解不等式組①，得不等式組②無解。故所求的函數(shù)關(guān)系式為函數(shù)的定義域為[0，]（Ⅱ）為使，應(yīng)有化簡得解得從而政府補貼至少為每千克1元。（25）（本小題滿分12分）設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前n項和。（Ⅰ）證明（Ⅱ）是否存在常數(shù)c>0使得成立？并證明你的結(jié)論。（Ⅰ）證明：設(shè)的公比為，由題設(shè)知（1）當(dāng)（2）當(dāng)時，從而時，從而由（1）和（2）得根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知即（Ⅱ）解：要使①成立，則有②分兩種情況討論：（1）當(dāng)時，可知，不滿足條件①，即不存在常數(shù)c>0，使結(jié)論成立。（2）當(dāng)時，若條件①成立，因且故只能有即此時，但時，不滿足條件②，即不存在常數(shù)c>0，使結(jié)論成立。證法二：用反證法.假設(shè)存在常數(shù)c>0，使，則有由（4）得根據(jù)平均值不等式及（1）、（2）、（3）、（4）知因為c>0，故（5）式右端非負，而由（Ⅰ）知，（5）式左端小于零，矛盾。故不存在常數(shù)c>0，使（26）（本小題滿分12分）已知橢圓，直線.P是上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|=|OR|2.當(dāng)點P在上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。解：由題設(shè)知點Q不在原點.設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為yPQROx（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同時為零.當(dāng)點P不在y軸上時，由于點R在橢圓上及點O，Q，R共線，得方程組解得由于點P在直線上及點O，Q，P共線，解方程組解得當(dāng)點P在y軸上時，經(jīng)檢驗（1）~（4）式也成立由題設(shè)|OQ|·|OP|=|OR|2，得將（1）~（4）式代入上式，化簡整理得因x與xP同號或y與yP同號，以及（3），（4）知故點Q的軌跡方程為，所以點Q的軌跡是以（1，1）為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點。解法二：由題設(shè)點Q不在原點.又設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同時為零.設(shè)OP與x軸正方向的夾角為，則有由上式及題設(shè)|OQ|·|OP|=|OR|2，得由點P在直線上，點R在橢圓上，得方程組將（1），（2），（3），（4）代入（5），（6），整理得點Q的軌跡方程為所以點Q的軌跡是以（1，1）為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點。解法三：投影法設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同時為零.由題設(shè)|OQ|·|OP|=|OR|2設(shè)OP的方程為這就是Q點的參數(shù)方程，消去參數(shù)k得當(dāng)P在y軸上時，k不存在，此時Q（0，2）滿足方程，故Q點軌跡是以（1，1）為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點。解法四：極坐標(biāo)法在極坐標(biāo)系OX中，設(shè)∠POX=由得由得由|OQ|·|OP|=|OR|2得即將（1），（2）代入（3）故Q點軌跡是以（1，1）為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點。文科試題一．選擇題：本題共15個小題;第（1）-（10）題每小題4分，第（11）-（15）題每小題5分，共65分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）已知全集I={0，-1，-2，-3，-4，}集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，則（B）(A)y(B)y(C)y(D)yo1x-1oxo1x-1ox（A）{0}（B）{-3，-4}（C）{-1，-2}（D）（2）函數(shù)（3）函數(shù)的圖象是（D）的最小正周期是（C）（A）（4）正方體的全面積是（A）（B）（B）（C）（D），它的頂點都在球面上，這個球的表面積是（B）（C）（D）（5）若圖中的直線的斜率分別為，則（D）yOx（A）（B）（C）（D）（6）雙曲線的漸近線方程是（C）（C）（D）（A）（B）（7）使（A）成立的的取值范圍是（A）（D）（B）（C）（8）圓的位置關(guān)系是（C）（D）內(nèi)切（A）相離（B）外切（C）相交（9）已知是第三象限角，且，那么等于（A）（B）（C）（D）（A）（10）如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，D1F1C1A1E1B1DACBB1E1=D1F1=的余弦值是（A），則BE1與DF1所成角（A）（B）（C）（D）（11）已知是x的減函數(shù)，則的取值范圍是（B）（A）（0，2）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，+）（12）在的展開式中，的系數(shù)是（D）（A）-297（B）-252（C）297（D）207（13）已知直線，直線.有下面四個命題：（D）①③②④其中正確的兩個命題是（A）①與②（B）③與④（C）②與④（D）①與③（14）等差數(shù)列的前n項和分別為與，若（C）等于（A）1（B）（C）（D）（15）用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（A）（A）24個（B）30個（C）40個（D）60個二．填空題：本大題共5小題;每小題4分，共20分。把答案填在題中橫線上。（16）方程答：3的解是__________（17）已知圓臺上、下底面圓周都在球面上，且下底面過球心，母線與底面所成的角為，則圓臺的體積與球體積之比_______答：(18)函數(shù)的最大值是_______答：（19）直線過拋物線答：4的焦點，并且與x軸垂直，則被拋物線截得的線段長為_______（20）四個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有________種（用數(shù)字作答）答：144三．解答題：本大題共6小題;共65分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。（21）（本小題滿分7分）解方程解：設(shè)，則原方程可化為所以原方程的解為x=2.（22）（本小題滿分12分）設(shè)復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)的模和輻角。解：所以復(fù)數(shù)輻角為的模為;（23）（本小題滿分10分）設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前n項和。證明證明：設(shè)的公比為，由題設(shè)知（1）當(dāng)時，時，從而（2）當(dāng)從而由（1）和（2）得根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知即證法二：設(shè)的公比為，由題設(shè)知即（以下同證法一）（24）（本小題滿分12分）如圖，ABCD是圓柱的軸截面，點E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足。（Ⅰ）求證：AF⊥DB;（Ⅱ）如果AB=，圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于，求點E到截面ABCD的距離。DFCBAE（Ⅰ）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，DA⊥平面ABE∵BE平面ABE，∴DA⊥EB.∵AB是圓柱底面的直徑，點E在圓周上，∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB∴AF⊥DB.（Ⅱ）解：設(shè)點E到平面ABCD的距離為d記AD=h，因圓柱軸截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。S△ABD=AB·AD=VD-ABE=VE-ABD=S△ABD=又V圓柱=π·AD=，由題設(shè)知即（25）（本小題滿分12分）某地為促進淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補貼。設(shè)淡水魚的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克，根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)8≤x≤14時，淡水魚的市場日供應(yīng)量P千克與市場日需求量Q千克近似的滿足關(guān)系：當(dāng)P=Q時的市場價格稱為市場平衡價格。（Ⅰ）將市場平衡價格表示為政府補貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域;（Ⅱ）為使市場平衡價格不高于每千克10元，政府補貼至少為每千克多少元？解：（Ⅰ）依題設(shè)有化簡得當(dāng)判別式時，可得①②解不等式組①，得不等式組②無解。故所求的函數(shù)關(guān)系式為函數(shù)的定義域為[0，]（Ⅱ）為使，應(yīng)有化簡得解得從而政府補貼至少為每千克1元。（26