2021年海南省海口市海南農(nóng)墾三亞高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021年海南省?？谑泻Ｄ限r(nóng)墾三亞高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)是復(fù)數(shù)，表示滿足的最小正整數(shù)，則對虛數(shù)單位，（

）A.8

B.6

C.4

D.2參考答案：C2.在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC,CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為:(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C設(shè)線段AC的長為cm，則線段CB的長為()cm,那么矩形的面積為cm2，由，解得。又，所以該矩形面積小于32cm2的概率為，故選C【點評】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型的計算，以及分析問題的能力，屬于中檔題。3.設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)為A.2

B.2

C.

D.

參考答案：A4.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)+f(x)=0,且在[3，4]上是增函數(shù)，A、B是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則(

)A.f(sinA)<f(cosB)

B.f(sinA)>f(cosB)C.f(sinA)>f(sinB)

D.f(cosA)>f(cosB)參考答案：A9.過點引直線與曲線相交于A,B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取最大值時，直線的斜率等于A.

B.

C.

D.參考答案：B6.設(shè)集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，則A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞4} D．{x|﹣2＜x＜5}參考答案：B【考點】交集及其運算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；集合．【分析】先求出集合A，再由交集定義求解．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}．故選：B．【點評】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意交集定義的合理運用．7.使函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)的的一個值是（

）A． B． C． D．參考答案：B8.已知直線l：交雙曲線：于A，B兩點，過A作直線l的垂線AC交雙曲線于點C．若，則雙曲線的離心率為(

)A. B. C.2 D.參考答案：A【分析】聯(lián)立直線xy和雙曲線方程可得A，B的坐標，以及|AB|，直角三角形的性質(zhì)可得|AC||AB|，設(shè)出直線AC的方程，聯(lián)立雙曲線方程，運用韋達定理可得C的橫坐標，由弦長公式，化簡計算可得a＝b，進而得到所求離心率．【詳解】聯(lián)立直線xy和雙曲線方程可得x2，y2，可設(shè)A（，），可得|AB|＝2|OA|，在直角三角形ABC中，∠ABC＝60°，可得|AC||AB|，設(shè)直線AC的方程為yx，代入雙曲線方程可得（b2﹣3a2）x2x﹣a2b20，可得xC，即有|xC﹣xA|＝||，可得|AC|＝2?，即為a2+b2＝|b2﹣3a2|，可得a＝b，e．故選：A．【點睛】本題考查雙曲線的方程和運用，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及聯(lián)立方程組，運用韋達定理，考查化簡運算能力，屬于綜合題．求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).9.已知集合，，則（A）

（B）

（C）（D）參考答案：C因為，所以，選C.10.已知a，b，c為△ABC的三個角A，B，C所對的邊，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：2參考答案：C【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】由3bcosC=c（1﹣3cosB）．利用正弦定理可得3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化簡整理即可得出．【解答】解：由正弦定理，設(shè)，∵3bcosC=c（1﹣3cosB）．∴3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化簡可得sinC=3sin（B+C）又A+B+C=π，∴sinC=3sinA，∴因此sinC：sinA=3：1．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在的展開式中，的系數(shù)為

.（用數(shù)字作答）。參考答案：答案：

12.已知函數(shù)（）有三個零點，則的取值范圍為

．參考答案：問題轉(zhuǎn)化為有三個交點時，的取值范圍。的圖象如下：．

13.設(shè)g（x）=，則g（g（））=．參考答案：【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．【解答】解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案為：．【點評】本題考查了求分段函數(shù)的函數(shù)值的問題，解題時應(yīng)對自變量進行分析，是基礎(chǔ)題．14.＝

．參考答案：由定積分的幾何意義可知表示的為單位圓在第一象限內(nèi)的面積，即由微積分基本定理可知所以

15.給定下列結(jié)論：①在區(qū)間內(nèi)隨機地抽取兩數(shù)則滿足概率是；②已知直線l1：，l2：x-by+1=0，則的充要條件是；③為了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm）。根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖（如下），那么在這100株樹木中，底部周長小于110cm的株數(shù)是70株；④極坐標系內(nèi)曲線的中心與點的距離為．以上結(jié)論中正確的是_____________________(用序號作答)

參考答案：①③④16.（5分）（2015?浙江模擬）函數(shù)f（x）=sinx+cosx的單調(diào)增區(qū)間為，已知sinα=，且α∈（0，），則f（α﹣）=．參考答案：[2kπ﹣，2kπ+]，【考點】：正弦函數(shù)的圖象；函數(shù)的值．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：利用輔助角公式將三角函數(shù)進行化簡即可得到結(jié)論．解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得k∈Z，故函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ﹣，2kπ+]，∵sinα=，且α∈（0，），∴cosα=，f（α）=sin（α+）=sin（α+）=[sinαsin+cosαcos]=，故答案為：[2kπ﹣，2kπ+]，．【點評】：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．17.已知向量=（3，1），

=（，－3），且⊥，則實數(shù)的取值為_______參考答案：1。由⊥，得，得。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，C為切點，連接AC，過點A作AD⊥CD于點D，交⊙O于點E．（Ⅰ）證明：∠AOC=2∠ACD；（Ⅱ）證明：AB?CD=AC?CE．參考答案： 證明：（Ⅰ）連結(jié)BC，∵CD是⊙O的切線，C為切點，∴∠ACD=∠ABC，∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠AOC=∠OCB+∠OBC，∴∠AOC=2∠ACD．（Ⅱ）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵AD⊥CD于D，∴∠ADC=90°，∵CD是⊙O的切線，C為切點，OC為半徑，∴∠OAC=∠CAE，且OC⊥CD，∴OC∥AD，又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD，∴Rt△ABC∽Rt△CED，∴，∴AB?CD=AC?CE．略19.（本小題滿分13分）已知函數(shù)（Ⅰ）當時，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若關(guān)于的方程有解，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：見解析【考點】導(dǎo)數(shù)的綜合運用【試題解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為.

.

當時，,令，得，

所以隨的變化情況如下表：極小值

所以在處取得極小值,

無極大值.

的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（Ⅱ）因為關(guān)于的方程有解,令，則問題等價于函數(shù)存在零點,

所以.

令，得.當時，對成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，，

所以函數(shù)存在零點.

…………….11分當時，隨的變化情況如下表：

0

+

↘極小值

↗所以為函數(shù)的最小值,

當時，即時，函數(shù)沒有零點,當時，即時，注意到,所以函數(shù)存在零點.綜上，當或時，關(guān)于的方程有解.

法二：因為關(guān)于的方程有解，所以問題等價于方程有解，

令，所以,

令，得當時，隨的變化情況如下表：0↗極大值↘所以函數(shù)在處取得最大值，而.，所以函數(shù)存在零點.

當時，隨的變化情況如下表：↘極小值↗所以函數(shù)在處取得最小值，而.當時，即時，函數(shù)不存在零點.當，即時，

所以函數(shù)存在零點.

綜上，當或時，關(guān)于的方程有解.法三：因為關(guān)于的方程有解，所以問題等價于方程有解，設(shè)函數(shù)，所以.

令，得，隨的變化情況如下表：0↗極大值↘

所以函數(shù)在處取得最大值，而，

又當時，,所以,所以函數(shù)的值域為,

所以當時，關(guān)于的方程有解，所以.

20.噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴重問題，為了了解聲音強度D（單位：分貝）與聲音能量I（單位：）之間的關(guān)系，將測量得到的聲音強度和聲音能量（，2，…，10）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖散點圖及一些統(tǒng)計量的值．表中，．（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為聲音強度D關(guān)于聲音能量I的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求聲音強度D關(guān)于聲音能量I的回歸方程；（3）當聲音強度大于60分貝時屬于噪音，會產(chǎn)生噪音污染，城市中某點P共受到兩個聲源的影響，這兩個聲源的聲音能量分別是和，且．已知點P的聲音能量等于聲音能量與之和．請根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷P點是否受到噪音污染的干擾，并說明理由．附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．參考答案：解：（1）更適合．（2）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于，∴，∴關(guān)于的線性回歸方程是，即關(guān)于的回歸方程是．（2）點的聲音能量，∵，∴，根據(jù)（1）中的回歸方程，點的聲音強度的預(yù)報值，∴點會受到噪聲污染的干擾．

21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，為正常數(shù)．（1）若，且，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若，且對任意都有，求的的取值范圍．參考答案：（1），∵，令，得，或，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.（2）∵，∴，∴，設(shè)，依題意，在上是減函數(shù).當時，，，令，得：對恒成立，設(shè)，則，∵，∴，∴在上是增函數(shù)，則當時，有最大值為，∴.10分當時，，，令，得：，

設(shè)，則，∴在上是增函數(shù)，∴，

∴，

綜上所述，.22.已知圓C：；（1）若圓C的切線在x軸，y軸上的截距相等，求此切線方程；（2）從圓C外一點向圓引一條切線，切點為M，O為原點，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P點的坐標．參考答案：解：（1）∵切線在x軸，y軸上的截距相等，∴第一種情況：切線的斜率是±1．

----------------------1分分別依據(jù)斜率設(shè)出切線的斜率，用點到直線的距離公式，或△法，解得切線的方程為：x＋y－3=0,x＋y＋1=0,

----------------------2分∴第二種情況：切線經(jīng)過原點（0,0）．

----------------------3分設(shè)此時切線斜率為k，直線為kx-y=0，用點到直線的距離公式可求得，解得切線方程

----------------------5分綜上，此圓截距相等的切線方程為x＋y－3=0,x＋y＋1=0,.

------------6分(2)將圓的方程化成標準式（x＋1)2＋(y－2)2=2，圓心C（－1，2），半徑r=，圓心C（－1，2）關(guān)于直線的對稱點Q（5，－4），圓Q半徑r=------------9分所以圓Q得方程為（x－5)2＋(y+4)2=2

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