自動控制原理控制系統(tǒng)的數學模型課件

2.3傳遞函數

2.3.12.3.22.3.3傳遞函數的定義傳遞函數的基本性質控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數2.3傳遞函數

2.3.1傳遞函數的定義微分方程形式的數學模型在實際應用中一般會遇到如下的困難：

1）微分方程式的階次一高，求解就有難度，且計算的工作量大。

2）對于控制系統(tǒng)的分析，不僅要了解它在給定信號作用下的輸出響應，而且更重視系統(tǒng)的結構、參數與其性能間的關系。對于后者的要求，顯然用微分方程式去描述是難于實現的。在控制工程中，一般并不需要精確地求系統(tǒng)微分方程式的解，作出它的輸出響應曲線，而是希望用簡單的辦法了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定及其在動態(tài)過程中的主要特征，能夠判別某些參數的改變或校正裝置的加入對系統(tǒng)性能的影響。微分方程形式的數學模型在實際應用中一般會遇到如下的困難：下面以一個簡單的R-C電路為例，說明卷積積分的應用。

已知一R-C電路如圖2-12所示，其中輸入電壓為，輸出為電容兩端的充電電壓。由基爾霍夫定律得因為，則上式便改寫為這就是該電路的微分方程式。方程兩端進行拉氏變換2.3.1傳遞函數(transferfunction)的定義下面以一個簡單的R-C電路為例，說明卷積積分的應用。2.3若則有其中，

若則有若則有其中，若傳遞函數的圖示：當初始電壓為零時，電路輸出函數的拉氏變換函數與輸入函數拉氏變換之比，是一個只與電路結構與參數有關的函數，稱為傳遞函數。傳遞函數的圖示：當初始電壓為零時，電路輸出函數的拉氏變換函數式中，為系統(tǒng)的輸入量；為系統(tǒng)的輸出量。在零初始條件下，對上式進行拉氏變換得

設線性定常數系統(tǒng)的微分方程式為式中，為系統(tǒng)的輸入量；為系統(tǒng)的輸出量。系統(tǒng)的傳遞函數定義為與之比，即

于是得其中在零初始條件()下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。據此得出線性定常系統(tǒng)（或元件）傳遞函數的定義：

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，即t<0時，輸出量及其各階導數也均為0系統(tǒng)的傳遞函數定義為與之比，例2-1

R-L-C串聯(lián)電路方法一方法二運算法傳遞函數：傳遞函數的求法先列寫系統(tǒng)的微分方程，然后根據傳遞函數的定義求取

畫出運算電路模型，將電路元件變?yōu)檫\算阻抗，利用電路分析方法求取。例2-1R-L-C串聯(lián)電路傳遞函數：傳遞函數的求法先列寫適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律只取決于系統(tǒng)的結構和參數，與外施信號的大小和形式無關一個傳遞函數只能表示一個輸入與輸出之間的關系。對于多輸入—多輸出的系統(tǒng)，用傳遞函數矩陣去表征系統(tǒng)的輸入與輸出間的關系。2.3.2傳遞函數的基本性質傳遞函數的拉氏反變換是脈沖響應g(t).適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下傳遞函數矩陣描述輸出與輸入間的關系傳遞函數矩陣描述輸出與輸入間的關系如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應g(t)，就可以根據卷積積分求解系統(tǒng)在任意輸入r(t)作用下的輸出響應，即因為求取系統(tǒng)時域響應的兩種方法：對r(t)拉式變換得到R(s),由得到C(s)，然后進行拉式反變換得到c(t).由傳遞函數的拉式反變換得到g(t),由得到c(t).如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應g(t)，就可以根據卷積積分求解系求取該電路在單位階躍輸入時的響應。

方法1方法2求取該電路在單位階躍輸入時的響應。方法1方法2RLC無源網絡(例2-10)RLC無源網絡(例2-10)N(s)=0系統(tǒng)的特征方程，特征根 特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。

N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。！從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數項都為零。K——系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。當s=0時系統(tǒng)的放大系數或增益?zhèn)鬟f函數的特征方程N(s)=0系統(tǒng)的特征方程，特征根！從微分方程的角度看，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數的零點。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數的極點。！系統(tǒng)傳遞函數的極點就是系統(tǒng)的特征根。！零點和極點的數值完全取決于系統(tǒng)的結構參數。零點和極點M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根-2-31-1傳遞函數的零、極點分布圖：將傳遞函數的零、極點表示在復平面上的圖形。零點用“o”表示極點用“×”表示零、極點分布圖-2-31-1傳遞函數的零、極點分布圖：零、極點分布圖

2.3.3控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數環(huán)節(jié)是根據微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件。一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性共同組成。同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。典型環(huán)節(jié)(nominal(typical)element)2.3.3控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數環(huán)節(jié)是根據微分方程這種環(huán)節(jié)的特點是輸入不失真、不延遲、成比例地復現輸入信號。它的運動方程為對應的傳遞函數是式中，是環(huán)節(jié)的輸出量；是環(huán)節(jié)的輸入量；K為常數。

1.比例環(huán)節(jié)[Proportionalelement(link)]kR(S)C(S)方框圖：這種環(huán)節(jié)的特點是輸入不失真、不延遲、成比例地復現輸入信號。它例1：齒輪傳動例1：齒輪傳動例2：運算放大器例2：運算放大器該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對時間的積分成正比，即有對應的傳遞函數為2．積分環(huán)節(jié)[Integralloop(link)]方框圖：k/sR(s)C(s)積分環(huán)節(jié)具有記憶功能和明顯的滯后作用該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對時間的積分成正比，即有2．積分環(huán)節(jié)例1：積分調節(jié)器CUc(t)RUr(t)i1i2A傳遞函數為：例1：積分調節(jié)器CUc(t)RUr(t)i1i2A傳遞函數為慣性環(huán)節(jié)的特點是其輸出量緩慢地反映輸入量的變化規(guī)律。它的微分方程為對應的傳遞函數為式中，T是環(huán)節(jié)的時間常數。3.慣性環(huán)節(jié)[Inertialloop(link)]

慣性環(huán)節(jié)的特點是其輸出量緩慢地反映輸入量的變化規(guī)律。它的微分例1：RC慣性環(huán)節(jié)例1：RC慣性環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入信號對時間的微分成正比，即有對應的傳遞函數為

4．微分環(huán)節(jié)[derivativeloop(link)]理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入信號對時間的微分成正比，即有4．例1：RC微分網絡例1：RC微分網絡特點：這種環(huán)節(jié)的特點是輸出量不僅與輸入量本身有關，而且與輸入量的變化率有關運動方程對應的傳遞函數是

一階微分環(huán)節(jié)特點：這種環(huán)節(jié)的特點是輸出量不僅與輸入量本身有關，而且與輸入這種環(huán)節(jié)的特點是，如輸入為一階躍信號，則其輸出成周期性振蕩形式。式中，T為時間常數;K為放大系數;ξ為阻尼比，其值為0<ξ<1。由于該傳遞函數有一對位于s左邊面的共軛極點，因而這種環(huán)節(jié)在階躍信號作用下，其輸出必必然會呈現出振蕩性質。5．振蕩環(huán)節(jié)[oscillatoryloop(link)]這種環(huán)節(jié)的特點是，如輸入為一階躍信號，則其輸出成周期性振蕩形

例1：

R-L-C電路傳遞函數微分方程例1：R-L-C電路傳遞函數微分方程例2：機械平移系統(tǒng)例2：機械平移系統(tǒng)

在有滯后作用的系統(tǒng)中，其輸出信號與輸入信號的形狀完全相同，只是延遲一段時間后重現原函數。其動態(tài)方程為它們之間的傳遞函數為

6.滯后環(huán)節(jié)[lag/delayloop(link)]—環(huán)節(jié)的時間常數6.滯后環(huán)節(jié)[lag/delayloop(link)]例1：水箱進水管的延滯例1：水箱進水管的延滯比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)！串聯(lián)純微分環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲建模modelling數學模型mathematicalmodel微分方程式differentialequation非線性的nonlinear線性化linearization輸入量input輸出量output傳遞函數transferfunction拉氏變換LaplacetransformWORDSANDPHARASES建模modellingWOR2.3傳遞函數

2.3.12.3.22.3.3傳遞函數的定義傳遞函數的基本性質控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數2.3傳遞函數

2.3.1傳遞函數的定義微分方程形式的數學模型在實際應用中一般會遇到如下的困難：

1）微分方程式的階次一高，求解就有難度，且計算的工作量大。

2）對于控制系統(tǒng)的分析，不僅要了解它在給定信號作用下的輸出響應，而且更重視系統(tǒng)的結構、參數與其性能間的關系。對于后者的要求，顯然用微分方程式去描述是難于實現的。在控制工程中，一般并不需要精確地求系統(tǒng)微分方程式的解，作出它的輸出響應曲線，而是希望用簡單的辦法了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定及其在動態(tài)過程中的主要特征，能夠判別某些參數的改變或校正裝置的加入對系統(tǒng)性能的影響。微分方程形式的數學模型在實際應用中一般會遇到如下的困難：下面以一個簡單的R-C電路為例，說明卷積積分的應用。

已知一R-C電路如圖2-12所示，其中輸入電壓為，輸出為電容兩端的充電電壓。由基爾霍夫定律得因為，則上式便改寫為這就是該電路的微分方程式。方程兩端進行拉氏變換2.3.1傳遞函數(transferfunction)的定義下面以一個簡單的R-C電路為例，說明卷積積分的應用。2.3若則有其中，

若則有若則有其中，若傳遞函數的圖示：當初始電壓為零時，電路輸出函數的拉氏變換函數與輸入函數拉氏變換之比，是一個只與電路結構與參數有關的函數，稱為傳遞函數。傳遞函數的圖示：當初始電壓為零時，電路輸出函數的拉氏變換函數式中，為系統(tǒng)的輸入量；為系統(tǒng)的輸出量。在零初始條件下，對上式進行拉氏變換得

設線性定常數系統(tǒng)的微分方程式為式中，為系統(tǒng)的輸入量；為系統(tǒng)的輸出量。系統(tǒng)的傳遞函數定義為與之比，即

于是得其中在零初始條件()下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。據此得出線性定常系統(tǒng)（或元件）傳遞函數的定義：

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，即t<0時，輸出量及其各階導數也均為0系統(tǒng)的傳遞函數定義為與之比，例2-1

R-L-C串聯(lián)電路方法一方法二運算法傳遞函數：傳遞函數的求法先列寫系統(tǒng)的微分方程，然后根據傳遞函數的定義求取

畫出運算電路模型，將電路元件變?yōu)檫\算阻抗，利用電路分析方法求取。例2-1R-L-C串聯(lián)電路傳遞函數：傳遞函數的求法先列寫適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律只取決于系統(tǒng)的結構和參數，與外施信號的大小和形式無關一個傳遞函數只能表示一個輸入與輸出之間的關系。對于多輸入—多輸出的系統(tǒng)，用傳遞函數矩陣去表征系統(tǒng)的輸入與輸出間的關系。2.3.2傳遞函數的基本性質傳遞函數的拉氏反變換是脈沖響應g(t).適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下傳遞函數矩陣描述輸出與輸入間的關系傳遞函數矩陣描述輸出與輸入間的關系如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應g(t)，就可以根據卷積積分求解系統(tǒng)在任意輸入r(t)作用下的輸出響應，即因為求取系統(tǒng)時域響應的兩種方法：對r(t)拉式變換得到R(s),由得到C(s)，然后進行拉式反變換得到c(t).由傳遞函數的拉式反變換得到g(t),由得到c(t).如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應g(t)，就可以根據卷積積分求解系求取該電路在單位階躍輸入時的響應。

方法1方法2求取該電路在單位階躍輸入時的響應。方法1方法2RLC無源網絡(例2-10)RLC無源網絡(例2-10)N(s)=0系統(tǒng)的特征方程，特征根 特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。

N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。！從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數項都為零。K——系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。當s=0時系統(tǒng)的放大系數或增益?zhèn)鬟f函數的特征方程N(s)=0系統(tǒng)的特征方程，特征根！從微分方程的角度看，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數的零點。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數的極點。！系統(tǒng)傳遞函數的極點就是系統(tǒng)的特征根。！零點和極點的數值完全取決于系統(tǒng)的結構參數。零點和極點M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根-2-31-1傳遞函數的零、極點分布圖：將傳遞函數的零、極點表示在復平面上的圖形。零點用“o”表示極點用“×”表示零、極點分布圖-2-31-1傳遞函數的零、極點分布圖：零、極點分布圖

2.3.3控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數環(huán)節(jié)是根據微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件。一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性共同組成。同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。典型環(huán)節(jié)(nominal(typical)element)2.3.3控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數環(huán)節(jié)是根據微分方程這種環(huán)節(jié)的特點是輸入不失真、不延遲、成比例地復現輸入信號。它的運動方程為對應的傳遞函數是式中，是環(huán)節(jié)的輸出量；是環(huán)節(jié)的輸入量；K為常數。

1.比例環(huán)節(jié)[Proportionalelement(link)]kR(S)C(S)方框圖：這種環(huán)節(jié)的特點是輸入不失真、不延遲、成比例地復現輸入信號。它例1：齒輪傳動例1：齒輪傳動例2：運算放大器例2：運算放大器該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對時間的積分成正比，即有對應的傳遞函數為2．積分環(huán)節(jié)[Integralloop(link)]方框圖：k/sR(s)C(s)積分環(huán)節(jié)具有記憶功能和明顯的滯后作用該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對時間的積分成正比，即有2．積分環(huán)節(jié)例1：積分調節(jié)器CUc(t)RUr(t)i1i2A傳遞函數為：例1：積分調節(jié)器CUc(t)RUr(t)i1i2A傳遞函數為慣性環(huán)節(jié)的特點是其輸出量緩慢地反映輸入量的變化規(guī)律。它的微分方程為對應的傳遞函數為式中，T是環(huán)節(jié)的時間常數。3.慣性環(huán)節(jié)[Inertialloop(link)]

慣性環(huán)節(jié)的特點是其輸出量緩慢地反映輸入量的變化規(guī)律。它的微分例1：RC慣性環(huán)節(jié)例1：RC慣性環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入信號對時間的微分成正比，即有對應的傳遞函數為

4．微分環(huán)節(jié)[derivativeloop(link)]理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入信號對時間的微分成正比，即有4．例1：RC微分網絡例1：RC微分網絡特點：這種環(huán)節(jié)的特點是輸出量不僅與輸入量本身有關，而且與輸入量的變化率有關運動方程對應的傳遞函數是

一階微分環(huán)節(jié)特點：這種環(huán)節(jié)的特點是輸出量不僅與輸入量本身有關，而且與輸入這種環(huán)節(jié)的特點