考研數(shù)學(xué)概率論第二講補(bǔ)充課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二講補(bǔ)充內(nèi)容概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二講補(bǔ)充內(nèi)容1本講主要問(wèn)題一、二維隨機(jī)變量二、邊緣分布三、條件分布四、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量本講主要問(wèn)題一、二維隨機(jī)變量21.二維隨機(jī)變量的概念一、二維隨機(jī)變量實(shí)例1炮彈的彈著點(diǎn)的位置(X,Y)就是一個(gè)二維隨機(jī)變量.實(shí)例2考查某一地區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況,則兒童的身高H

和體重W就構(gòu)成二維隨機(jī)變量(H,W).二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X、Y

有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.說(shuō)明

1.二維隨機(jī)變量的概念一、二維隨機(jī)變量實(shí)3

定義

設(shè)

E

是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是S={e},設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量.由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X,Y),叫做二維隨機(jī)變量。如圖SeX(e)Y(e)定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的如圖4

注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)5三、二維隨機(jī)變量2.二維離散型隨機(jī)變量,...2,1,),,(=jiyxji

定義若二維隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取到的不相同的數(shù)偶是有限對(duì)或無(wú)限可列對(duì)時(shí),則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.

聯(lián)合分布律:三、二維隨機(jī)變量2.二維離散型隨機(jī)變量,...6其分布律表:性質(zhì)1有性質(zhì)2其分布律表:性質(zhì)1有性質(zhì)27例答案:例答案:8例設(shè)隨機(jī)變量

X

在1,2,3,4四個(gè)數(shù)中等可能地取值,另一個(gè)隨機(jī)變量

Y

在1~X

中等可能地取一整數(shù)值.試求(X,Y

)的分布律.答案:由題意知,{X=i,Y=j}的取值情況是:i=1,2,3,4,且是等可能的;然后j

取不大于

i

的正整數(shù).由乘法公式求得(X,Y

)的分布律.例設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)數(shù)答9

練習(xí)袋中有2只黑球、2只白球、3只紅球,在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到白球的只數(shù).(1)求(X,Y)的分布律.(2)求概率答案:(1)X所有可能取的不同值為0,1,2;Y所有可能取的不同值為0,1,2.(X,Y)的分布律為001/21204/212/711/212/71/70210

XY(2)練習(xí)袋中有2只黑球、2只白球、3只10三、二維隨機(jī)變量3.二維連續(xù)型隨機(jī)變量

定義

設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,如果存在定義在平面上的函數(shù)f(x,y),滿足條件則稱(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,而f(x,y)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù).三、二維隨機(jī)變量3.二維連續(xù)型隨機(jī)變量11表示介于f(x,y)和xoy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.說(shuō)明表示介于f(x,y)和xoy平面之間的空間區(qū)域的全12答案:答案:13例答案:例答案:14三、二維隨機(jī)變量4.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義幾何解釋(如圖)三、二維隨機(jī)變量4.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定15說(shuō)明(1)離散型隨機(jī)變量(X,Y)

的分布函數(shù)歸納為(2)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)

的分布函數(shù)為說(shuō)明(1)離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分16例答案:例答案:171.離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二、邊緣分布1.離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二、邊緣分布18考研數(shù)學(xué)概率論第二講補(bǔ)充課件19例1已知下列分布律求其邊緣分布律.答案:例1已知下列分布律求其邊緣分布律.答案:202.連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布四、邊緣分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布四、邊緣分布21邊緣分布函數(shù)的定義邊緣分布函數(shù)的定義22例3設(shè)(X,Y)的概率密度為其中區(qū)域G如下圖所示,求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度答案:例3設(shè)(X,Y)的概率密度為其中區(qū)域G如下圖所示,求(X23-101P{X=u}3/16

3/163/8

1/161/161/8P{Y=v}1/41/41/23/41/4

1

-1

1-101P{M=u}

-1

1

0

1/42/4

1/4003/41/4P{N=v}1/41/41/21這兩個(gè)二維隨機(jī)變量的分布律是不相同的，但是卻具有相同的邊緣分布.聯(lián)合分布邊緣分布-101P{X=u}3241.離散型隨機(jī)變量的條件分布律三、條件分布為在Y=yj

條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.

定義設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,對(duì)于固定的j,若P{Y=yj}>0,則稱對(duì)于固定的i,若P{X=xi}>0,則稱為在X=xi

條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.1.離散型隨機(jī)變量的條件分布律三、條件分布為25條件分布律具有分布律的以下特性：

(1)

P{X=xi|Y=yj}0;(2)條件分布律具有分布律的以下特性：(1)P{X=x26例已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為1.0000.0130.0320.0450.910P{X=i}0.0200.0010.0040.0050.01020.0800.0020.0080.0100.06010.9000.0100.0200.0300.8400P{Y=j}3210求(1)在X=1條件下Y的條件分布律;(2)在Y=0條件下X的條件分布律.答案:例已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為1.27五、條件分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布條件概率密度的定義為在條件Y=y下的X的條件概率密度.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y),若對(duì)固定的y,fY(y)>0,則稱記做fX|Y(x|y).即同理在條件X=x下的Y的條件概率密度五、條件分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布條件28條件分布函數(shù)的定義稱為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù).記做P{X

x

|Y=y},或FX|Y(x|y).即同理在條件X=x下Y的條件分布函數(shù)為思考條件分布函數(shù)的定義稱為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù).記做29答案:答案:30

練習(xí)答案:又知邊緣概率密度為練習(xí)答案:又知邊緣概率密度為31四、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

定義設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,若對(duì)于任意的a,b(a<b);c,d(c<d),則稱隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立.說(shuō)明

四、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定義設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變322)若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為在平面上幾乎處處成立.2)若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布33例已知隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為答案:不獨(dú)立.例已知隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為答案:34例答案:例答案:35求隨機(jī)變量(X,Y)的分布律.例設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為答案:由獨(dú)立性得求隨機(jī)變量(X,Y)的分布律.例設(shè)兩36例答案:例答案:37概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二講補(bǔ)充內(nèi)容概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二講補(bǔ)充內(nèi)容38本講主要問(wèn)題一、二維隨機(jī)變量二、邊緣分布三、條件分布四、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量本講主要問(wèn)題一、二維隨機(jī)變量391.二維隨機(jī)變量的概念一、二維隨機(jī)變量實(shí)例1炮彈的彈著點(diǎn)的位置(X,Y)就是一個(gè)二維隨機(jī)變量.實(shí)例2考查某一地區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況,則兒童的身高H

和體重W就構(gòu)成二維隨機(jī)變量(H,W).二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X、Y

有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.說(shuō)明

1.二維隨機(jī)變量的概念一、二維隨機(jī)變量實(shí)40

定義

設(shè)

E

是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是S={e},設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量.由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X,Y),叫做二維隨機(jī)變量。如圖SeX(e)Y(e)定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的如圖41

注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)42三、二維隨機(jī)變量2.二維離散型隨機(jī)變量,...2,1,),,(=jiyxji

定義若二維隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取到的不相同的數(shù)偶是有限對(duì)或無(wú)限可列對(duì)時(shí),則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.

聯(lián)合分布律:三、二維隨機(jī)變量2.二維離散型隨機(jī)變量,...43其分布律表:性質(zhì)1有性質(zhì)2其分布律表:性質(zhì)1有性質(zhì)244例答案:例答案:45例設(shè)隨機(jī)變量

X

在1,2,3,4四個(gè)數(shù)中等可能地取值,另一個(gè)隨機(jī)變量

Y

在1~X

中等可能地取一整數(shù)值.試求(X,Y

)的分布律.答案:由題意知,{X=i,Y=j}的取值情況是:i=1,2,3,4,且是等可能的;然后j

取不大于

i

的正整數(shù).由乘法公式求得(X,Y

)的分布律.例設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)數(shù)答46

練習(xí)袋中有2只黑球、2只白球、3只紅球,在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到白球的只數(shù).(1)求(X,Y)的分布律.(2)求概率答案:(1)X所有可能取的不同值為0,1,2;Y所有可能取的不同值為0,1,2.(X,Y)的分布律為001/21204/212/711/212/71/70210

XY(2)練習(xí)袋中有2只黑球、2只白球、3只47三、二維隨機(jī)變量3.二維連續(xù)型隨機(jī)變量

定義

設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,如果存在定義在平面上的函數(shù)f(x,y),滿足條件則稱(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,而f(x,y)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù).三、二維隨機(jī)變量3.二維連續(xù)型隨機(jī)變量48表示介于f(x,y)和xoy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.說(shuō)明表示介于f(x,y)和xoy平面之間的空間區(qū)域的全49答案:答案:50例答案:例答案:51三、二維隨機(jī)變量4.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義幾何解釋(如圖)三、二維隨機(jī)變量4.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定52說(shuō)明(1)離散型隨機(jī)變量(X,Y)

的分布函數(shù)歸納為(2)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)

的分布函數(shù)為說(shuō)明(1)離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分53例答案:例答案:541.離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二、邊緣分布1.離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二、邊緣分布55考研數(shù)學(xué)概率論第二講補(bǔ)充課件56例1已知下列分布律求其邊緣分布律.答案:例1已知下列分布律求其邊緣分布律.答案:572.連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布四、邊緣分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布四、邊緣分布58邊緣分布函數(shù)的定義邊緣分布函數(shù)的定義59例3設(shè)(X,Y)的概率密度為其中區(qū)域G如下圖所示,求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度答案:例3設(shè)(X,Y)的概率密度為其中區(qū)域G如下圖所示,求(X60-101P{X=u}3/16

3/163/8

1/161/161/8P{Y=v}1/41/41/23/41/4

1

-1

1-101P{M=u}

-1

1

0

1/42/4

1/4003/41/4P{N=v}1/41/41/21這兩個(gè)二維隨機(jī)變量的分布律是不相同的，但是卻具有相同的邊緣分布.聯(lián)合分布邊緣分布-101P{X=u}3611.離散型隨機(jī)變量的條件分布律三、條件分布為在Y=yj

條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.

定義設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,對(duì)于固定的j,若P{Y=yj}>0,則稱對(duì)于固定的i,若P{X=xi}>0,則稱為在X=xi

條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.1.離散型隨機(jī)變量的條件分布律三、條件分布為62條件分布律具有分布律的以下特性：

(1)

P{X=xi|Y=yj}0;(2)條件分布律具有分布律的以下特性：(1)P{X=x63例已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為1.0000.0130.0320.0450.910P{X=i}0.0200.0010.0040.0050.01020.0800.0020.0080.0100.06010.9000.0100.0200.0300.8400P{Y=j}3210求(1)在X=1條件下Y的條件分布律;(2)在Y=0條件下X的條件分布律.答案:例已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為1.64五、條件分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布條件概率密度的定義為在條件Y=y下的X的條件概率密度.設(shè)二維隨機(jī)變