清華大學(xué)馬連榮03函數(shù)極限課件

3.2區(qū)間套定理與列緊性定理定理3.2.1(閉區(qū)間套定理)滿足下列條件:也就是說(shuō),注如果將閉區(qū)間改成開(kāi)區(qū)間，則定理的結(jié)論不再成立.3.2.1閉區(qū)間套定理閉區(qū)間套定理的證明考察兩個(gè)點(diǎn)列：于是兩個(gè)極限都存在：并且因此再證明這一列區(qū)間的交集只包含一個(gè)點(diǎn)ξ.定理3.2.2(Bolzano-Weierstrass定理)有界點(diǎn)列必有收斂子列.3.2.2列緊性定理設(shè)數(shù)列有界.首先存在任意取定

分區(qū)間為中無(wú)窮多項(xiàng)，則其中至少有一個(gè)含有數(shù)列取其中含有數(shù)列中無(wú)窮多項(xiàng)的一個(gè)區(qū)間記為

任取

使得如此產(chǎn)生區(qū)間套其中是的一半.產(chǎn)生的一個(gè)子列滿足由區(qū)間套定理，

所以收斂于因?yàn)槔?.2.1設(shè)數(shù)列都有界.且數(shù)列都收斂.使得子列收斂.因?yàn)閿?shù)列有界,故存在正整數(shù)列的相應(yīng)子列有界，(因?yàn)橛薪?,

所以有收斂子列收斂數(shù)列的相應(yīng)子列當(dāng)然也收斂.

則存在正整數(shù)列

滿足證明:定義3.2.1(柯西列)就有注(柯西列的等價(jià)表述)證明：必要性.設(shè)數(shù)列收斂，則當(dāng)時(shí)，有從而有充分性.設(shè)數(shù)列為Cauchy列，則對(duì)于正數(shù)存在有所以有所以數(shù)列有界有收斂子列記對(duì)于任意

存在例3.2.3

證明：數(shù)列收斂.要即

只要

只要只要即即,只要.所以,有由Cauchy收斂準(zhǔn)則,數(shù)列收斂.2.3函數(shù)極限的概念和性質(zhì)2.3.1自變量x

的六種變化趨勢(shì)2.3.2函數(shù)極限的定義2.3.3函數(shù)極限的性質(zhì)表示動(dòng)點(diǎn)x從定點(diǎn)x0的左側(cè)無(wú)限趨向于x0

的無(wú)限過(guò)程.在這個(gè)無(wú)限過(guò)程中,始終保持x<x0.表示動(dòng)點(diǎn)x從定點(diǎn)x0的右側(cè)無(wú)限趨向于x0的無(wú)限過(guò)程.在這個(gè)無(wú)限過(guò)程中,始終保持x>x0.是動(dòng)點(diǎn)x受到限制的變化過(guò)程.2.3.1自變量x

的六種變化趨勢(shì)在這個(gè)過(guò)程中,x可以變得大于任意事先指定的正數(shù)M.表示變量x的值無(wú)限增大的過(guò)程.此時(shí)稱x趨向于正無(wú)窮大,或趨向于正無(wú)窮.表示變量x的值無(wú)限減小的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中,x可以變得小于任意事先指定的負(fù)數(shù)N.此時(shí)稱x趨向于負(fù)無(wú)窮大,或趨向于負(fù)無(wú)窮.表示變量x的絕對(duì)值|x|無(wú)限增大的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中,|x|可以變得大于任意事先指定的正數(shù)M.定義2.3.1（函數(shù)在一點(diǎn)的極限）記作或者注2.3.2函數(shù)極限的定義單側(cè)極限(左極限)定義2.3.2或者設(shè)函數(shù)在x0的左側(cè)某個(gè)區(qū)間(x0–,x0)中有定義.記作則稱當(dāng)xx0-時(shí),f(x)的左極限是A.(右極限)定義2.3.3或者記作則稱當(dāng)xx0+時(shí),f(x)的右極限是A.設(shè)函數(shù)在某區(qū)間(x0,x0+)中有定義.定義2.3.2（函數(shù)在無(wú)窮處的極限）或者類似地,可以定義當(dāng)x→-∞，x→

∞時(shí),函數(shù)的極限.證例2.3.2所以于是由函數(shù)極限概念推出要只要(因?yàn)?只要例2.3.4用極限定義證明證要只要1)只要只要2)當(dāng)時(shí),只要(因?yàn)榇藭r(shí))只要所以有即例2.3.5用極限定義證明證要只要只要只要所以所以極限的唯一性在x的同一個(gè)變化過(guò)程中,如果同時(shí)有存在極限的函數(shù)局部有界.具體地說(shuō)就是:則存在正數(shù),則存在正數(shù)

,性質(zhì)1性質(zhì)22.3.3函數(shù)極限的性質(zhì)則存在正數(shù)N,使得

f(x)在區(qū)間(N,+)有界.請(qǐng)自己寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論.則存在正數(shù)N,極限的保號(hào)性注1結(jié)論仍然成立.性質(zhì)3證對(duì)于定理2.3.2(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域有定義，則對(duì)于收斂于的任意的數(shù)列都有證

收斂于

因?yàn)?/p>

所以有因?yàn)槭諗坑?/p>

所以有有設(shè)對(duì)于收斂于的任意的數(shù)列都有假設(shè)不成立，則使得對(duì)于使得對(duì)于使得對(duì)于，使得對(duì)于上面取得的數(shù)列不成立.矛盾.

因?yàn)樗械亩际諗?所以都收斂到同一極限.例2.3.7證明不存在.證明：取

則數(shù)列收斂于0，

取

則數(shù)列也收斂于0，

所以不存在.

定理2.3.3(函數(shù)極限的Cauchy收斂準(zhǔn)則)設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域有定義，則證因?yàn)?/p>

所