概率統(tǒng)計(jì)-第一章

成fn

(A).1.

定義在相同的條件下,進(jìn)行了n

次試驗(yàn),在這n次試驗(yàn)中,事件A

發(fā)生的次數(shù)nA

稱為事件A

發(fā)n生的頻數(shù).比值nA

稱為事件A

發(fā)生的頻率,并記一、頻率的定義與性質(zhì)2.性質(zhì)設(shè)A

是隨機(jī)試驗(yàn)E

的任一事件,則0

fn

(

A)

1;f

(

S

)若A1

,A2

,,Ak

是兩兩互不相容的事件,則f

(

A1

A2

Ak

)

fn

(

A1

)

fn

(

A2

)

fn

(

Ak

).試驗(yàn)序號(hào)12345675124251827n

5

n

50

n

50025121

25624725122580.43

06

2491

0.2100.40.8nH

f

nH

f

nH

f20.420.500.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5020.5160.44波動(dòng)實(shí)例將一枚硬幣拋擲

5

次、50

次、500次,各做7

遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.在

處221波動(dòng)最小隨n的增大,頻率f

呈現(xiàn)出穩(wěn)定性在

處波動(dòng)較小21從上述數(shù)據(jù)可得頻率有隨機(jī)波動(dòng)性,即對(duì)于同樣的

n,所得的f

不一定相同;拋硬幣次數(shù)n較小時(shí),頻率f

的隨機(jī)波動(dòng)幅度較大,但隨n的增大

,頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng)n

逐漸增大時(shí)頻率f總是在0.5

附近擺動(dòng),且逐漸穩(wěn)定于0.5.實(shí)驗(yàn)者nnHf德204810610.5181蒲豐404020480.5069K

1200060190.5016K

24000120120.5005f

(H

)

n的增大1

.2再來(lái)看一個(gè)驗(yàn)證頻率穩(wěn)定性的著名實(shí)驗(yàn)高爾頓(Galton)板試驗(yàn).試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿缦滤?自上端放入一小球,任其自由下落,在下落過(guò)程中當(dāng)小球碰到釘子時(shí),從左邊落下與從右邊落下的機(jī)會(huì)相等.碰到下一排釘子時(shí)又是如此.最后落入底板中的某一格子.因此,任意放入一球,則此球落入哪一個(gè)格子,預(yù)先難以確定.但是如果放入大量小球,則其最后所呈現(xiàn)的曲線,幾乎總是一樣的.單擊圖形 /暫停ESC鍵退出請(qǐng)看動(dòng)畫演示重要結(jié)論頻率當(dāng)n較小時(shí)波動(dòng)幅度比較大，當(dāng)n逐漸增大時(shí)，頻率趨于穩(wěn)定值，這個(gè)穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性的大?。褪鞘录母怕剩『苤?，在十個(gè)得這種病的人中只有一個(gè)能救活.”

當(dāng)

被這個(gè)消息嚇得夠嗆時(shí)，醫(yī)生繼續(xù)說(shuō)：“但你是幸運(yùn)的．因?yàn)槟阏业搅宋遥乙呀?jīng)看過(guò)九個(gè)

了，他們都死于此病.”醫(yī)生的說(shuō)法對(duì)嗎?思考.醫(yī)生在檢查完

的時(shí)候搖搖頭：“你的請(qǐng)1933年，

數(shù)學(xué)家

哥

提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.二、概率的定義與性質(zhì)哥

資料1.

概率的定義設(shè)E

是隨機(jī)試驗(yàn),S

是它的樣本空間.對(duì)于E的每一事件A

賦予一個(gè)實(shí)數(shù),記為P(A),稱為事件A

的概率,如果集合函數(shù)P(

)滿足下列條件:非負(fù)性:

對(duì)于每一個(gè)事件

A,

有

P(

A)

0;規(guī)范性:

對(duì)于必然事件

S,有

P(S

)

1;可列可加性:

設(shè)

A1

,

A2

,是兩兩互不相容的事件,即對(duì)于

i

j,

Ai

Aj

,

i,

j

1,

2,,則有P(

A1

A2

)

P(

A1

)

P(

A2

)

概率的可列可加性2.性質(zhì)(1)

P()

0.證明An

(n

1,2,),i

j.n1則

An

,且Ai

Aj

,由概率的可列可加性得

n1P()

P

An

P(

An

)n1n1P()

0

P()

P()

0.概率的有限可加性令A(yù)n1

An2

,證明

Ai

Aj

,

i

j,

i,

j

1,2,.由概率的可列可加性得k

1

nk

1

k1P(

A1

A2

An

)

P(

Ak

)

P(

Ak

)

P(

Ak

)

0

P(

A1

)

P(

A2

)

P(

An

).(2)若A1

,A2

,,An是兩兩互不相容的事件,則有P(

A1

A2

An

)

P(

A1

)

P(

A2

)

P(

An

).(3)設(shè)A,B

為兩個(gè)事件,且A

B,則P(

A)

P(B),

P(B

A)

P(B)

P(

A).證明

因?yàn)?/p>

A

B,所以

B

A

(B

A).BA又

(B

A)

A

,得

P(B)

P(

A)

P(B

A).于是

P(B

A)

P(B)

P(

A).又因

P(B

A)

0,

故

P(

A)

P(B).證明(4)對(duì)于任一事件A,P(A)

1.A

S

P(

A)

P(

S

)

1,故P(A)

1.(5)設(shè)A

是A

的對(duì)立事件,則P(A)

1

P(A).證明因?yàn)?/p>

A

A

S,

A

A

,

P(S)

1,所以

1

P(S)

P(

A

A)

P(

A)

P(

A).

P(

A)

1

P(

A).(6)(加法公式)對(duì)于任意兩事件A,B

有P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB).證明

由圖可得A

AB

BA

B

A

(B

AB),且A

(B

AB)

,故P(A

B)

P(A)

P(B

AB).又由性質(zhì)3

得P(B

AB)

P(B)

P(

AB),因此得P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB).推廣三個(gè)事件和的情況P(

A1

A2

A3

)1P(n

個(gè)事件和的情況P(

A1

A2

1i

jkn

P(i

1解(1)由圖示得P(BA)

P(B),2故

P(BA)

P(B)

1

.P(BA)

P(B)

P(

A)(2)由圖示得

1

1

1

.2

3

68(1)

A與B互斥;

(2)

A

B;

(3)

P(

AB)

1

.例1

設(shè)事件

A,

B

的概率分別為1

和

1

,

求在下列3

2三種情況下P(BA)的值.B

ASSAB又P(A

B

)

P(A)

P(B)

P(AB

),P(

A

AB)

P(

A)

P(BA),因而

P(BA)

P(B)

P(

AB)

1

1

3

.2

8

8(3)由圖示得A

B

A

AB,且A

BA

,SBA

AB頻率

(波動(dòng))

n

概率(穩(wěn)定).概率的主要性質(zhì)0

P(

A)

1,

P(S

)

1,

P()

0;P(

A)

1

P(

A);P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB);設(shè)